0 前言

　　 《高层建筑混凝土结构技术规程》(JGJ 3—2010) ^[1]第8.1.3条指出，框架-剪力墙结构的抗震设计方法应根据规定水平力作用下结构底层框架部分承受的地震倾覆力矩与结构总地震倾覆力矩的比值来确定相应的抗震设计方法；《建筑抗震设计规范》(GB 50011—2010) ^[2](简称10抗规)第6.1.3条指出框架-剪力墙结构框架部分的抗震等级应根据底层框架部分承担的地震倾覆力矩与结构总地震倾覆力矩的比值来确定；《高层建筑混凝土结构技术规程》(DBJ 15-92—2013) ^[3]第9.1.6条指出，当地震作用下核心筒或内筒承担的底部倾覆力矩不超过总倾覆力矩的60%时，在重力荷载代表值作用下，核心筒或内筒剪力墙的轴压比限值可适当放松。

　　 关于框架部分承担的倾覆力矩计算方法，《建筑抗震设计规范》(GB 50011—2001) ^[4](简称01抗规)提出了抗规法，给出了计算公式，在实际应用过程中，不少工程师认为采用抗规法计算所得框架部分承担的倾覆力矩偏小，因而提出了基于结构底部竖向构件轴力及弯矩计算框架部分承担的倾覆力矩的轴力法 ^[5,6,7,8]。现行YJK,PKPM,ETABS等常用的计算软件均提供了这两种计算方法，但软件给出的两种方法计算结果往往差异较大，使设计者决定采用时感到困惑；在近年不少项目的超限审查中，出现超限专家对框架部分承担的倾覆力矩计算应采用哪一种计算方法持有不同意见，难以达成一致结论。本文对两种计算方法进行了分析研究，找到了两种计算方法的实质、计算结果差别的原因及存在的问题，在此基础上进一步改进了轴力法，提出了基于力偶的算法。期盼通过本文的讨论能使问题更加清晰，早日使业界对这一问题取得共识。

1 抗规法的分析

　　 01抗规第6.1.3条条文说明中给出的框架部分的地震倾覆力矩计算公式为：

　　 Mf=∑i=1n∑j=1mVijhi         (1)Μf=∑i=1n∑j=1mVijhi         (1)

　　 式中：n为结构层数；m为第i层框架柱的总根数；V_ij为第i层第j根框架柱在基本振型地震作用下的剪力，10抗规将“在基本振型地震作用下”改为了“在规定的水平力作用下”;h_i为第i层层高。

　　 令∑j=1mVij=Vci∑j=1mVij=Vci,则式(1)可简化为：

　　 Mf=∑i=1nVcihi         (2)Μf=∑i=1nVcihi         (2)

　　 框架-剪力墙结构受力示意图如图1所示。在规定水平力的作用下，如图2所示，将结构在各层梁反弯点处切开，得左侧框架部分，右侧带框架梁的剪力墙部分。图中F_i为作用在第i层的规定水平力；V_i为第i层梁的剪力；p_i为第i层梁的轴力，可理解为通过水平构件如梁、板传递到框架部分的规定水平力；N为柱、墙底部轴力；V_ci,V_wi分别为第i层柱、墙的剪力；M_c,M_w分别为柱底、墙底弯矩；x_i,x′_i分别为第i层梁反弯点距离框架柱及剪力墙的距离。

　　 根据图2,在各层规定水平力F_i作用下，连结柱和剪力墙的梁产生轴力p_i(水平力)和剪力V_i,在p_i作为外力的作用下，左侧框架部分底部受到的外力矩作用为：

　　 图1 框架-剪力墙结构 受力示意图  

　　  

　　 图2 隔离体 示意图 

　　  

　　 Mf=pn(hn+hn−1+⋯+h1)+pn−1(hn−1+⋯+h1)+⋯+p1h1         (3)Μf=pn(hn+hn-1+⋯+h1)+pn-1(hn-1+⋯+h1)+⋯+p1h1         (3)

　　 由于框架部分各层剪力为：

　　 Vci=pi+pi+1+⋯+pn−1+pn         (4)Vci=pi+pi+1+⋯+pn-1+pn         (4)

　　 将式(4)代入式(3)并整理后，可得：

　　 Mf=Vc1h1+Vc2h2+⋯+Vc(n−1)hn−1+Vcnhn=∑i=1nVcihi         (5)Μf=Vc1h1+Vc2h2+⋯+Vc(n-1)hn-1+Vcnhn=∑i=1nVcihi         (5)

　　 同理，图2右侧剪力墙部分在p_i作为外力的作用下，底部的外力矩作用为：

　　 Ms=(F1−p1)h1+(F2−p2)(h2+h1)+⋯+(Fn−pn)(hn+hn−1+⋯+h1)         (6)Μs=(F1-p1)h1+(F2-p2)(h2+h1)+⋯+(Fn-pn)(hn+hn-1+⋯+h1)         (6)

　　 由于剪力墙部分各层剪力为：

　　 Vwi=(Fi−pi)+(Fi+1−pi+1)+⋯+(Fn−1−pn−1)+(Fn−pn)         (7)Vwi=(Fi-pi)+(Fi+1-pi+1)+⋯+(Fn-1-pn-1)+(Fn-pn)         (7)

　　 将式(7)代入式(6)并整理后，可得：

　　 Ms=Vw1h1+Vw2h2+⋯+Vw(n−1)hn−1+Vwnhn=∑i=1nVwihi         (8)Μs=Vw1h1+Vw2h2+⋯+Vw(n-1)hn-1+Vwnhn=∑i=1nVwihi         (8)

　　 由以上推导可见，抗规法的实质是定义框架部分承担的倾覆力矩为底层框架及以上隔离体所分配到的层水平外力p_i对底层框架的力矩之和。但根据图2,在各层规定水平外力作用下，连结框架和剪力墙的梁反弯点处，除产生水平力p_i外，尚同时伴有剪力V_i,在框架部分底部各柱底产生轴力N,轴力N也参与抵抗外力矩。

2 轴力法的分析

　　 由于对抗规法存在质疑，近年来部分设计人员提出了基于结构底部竖向构件轴力及弯矩的轴力法，并在一些软件中得到反映。

　　 图3 轴力法计算简图

　　  

　　 文献[5]根据图3的三维框架-剪力墙结构计算模型及其中一榀结构底部的内力，提出式(9)的公式计算框架部分X向承担的倾覆力矩作用。

　　 Mf=∑i=1nNi(xi−x0)+∑i=1nMci         (9)Μf=∑i=1nΝi(xi-x0)+∑i=1nΜci         (9)

　　 式中：n为底层框架柱的总数；N_i为结构底层第i根框架柱在规定水平力作用下的轴力；x_i为第i根框架柱的横坐标；x₀为取矩点的横坐标；M_ci为第i根框架柱柱底弯矩。

　　 式(9)表明，轴力法与竖向构件的位置、轴力、弯矩有关，其计算结果反映的是框架部分的抵抗力矩。从式中也可以看出，轴力法的计算结果取决于求矩点位置的确定。对于轴力法求矩点x₀的位置，不同的软件给出不同的算法。

　　 PKPM,YJK等软件根据式(10)计算得到求矩点x₀ ^[5]:

　　 x0=∑|FNj|xj∑|FNj|         (10)x0=∑|FΝj|xj∑|FΝj|         (10)

　　 式中：F_Nj为底层第j根竖向构件的轴力；x_j为底层第j根竖向构件的横坐标。

　　 该法对求矩点x₀未给出明确的定义。ETABS软件采用式(11)计算得到求矩点x₀ ^[6]:

　　 x0=∑EjAjxj∑EjAj         (11)x0=∑EjAjxj∑EjAj         (11)

　　 式中E_j,A_j分别为底层第j根竖向构件的弹性模量和截面面积。

　　 式(11)表明，ETABS软件计算的求矩点为基底截面重心，该点位置取决于构件的材料属性、截面面积及构件位置，其计算方法简便，但其计算结果与竖向构件的受力状态无关，在理论上是不够严密的。

　　 很显然，分别把式(10)、式(11)代入式(9),其计算结果是不一致的，即根据不同的求矩点计算方法求得的框架部分承担的倾覆力矩不同，因此合理的求矩点位置是轴力法应该进一步解决的问题。

3 力偶法

　　 为了解决轴力法的不足，本文在该法的基础上提出力偶法。

3.1 组成结构倾覆力矩的三对力偶

　　 由力的平衡原理可知，结构在水平荷载作用下，各竖向构件产生的轴力N_i其和必须是零，即ΣN_i=0。该轴力可分解为大小相等、方向相反的一对拉压力；根据理论力学知识，力偶是大小相等、方向相反、作用线平行但不重合的一对力，力偶的大小仅与这对力的大小及力的作用点距离有关，由此可见，结构在水平荷载作用下，对底部产生的倾覆力矩可视为由底部各柱、墙截面的弯矩及由竖向构件的轴向拉压力形成的力偶来共同抗御。

　　 为便于理解，以图4所示的情形对倾覆力矩的力偶形式进行阐述。图4中各符号含义：N为构件底部轴力、M为构件底部弯矩，下标c代表框架柱、w代表剪力墙，上标t代表轴力为拉力、c代表轴力为压力；1,2,…,i,…,n代表楼层。

　　 图4 力偶法计算示意图  

　　  

　　 如图4所示，在水平力作用下，框架柱、剪力墙构件底部的合弯矩分别为：

　　 Mc=Mtc1+Mtc2+Mcc1+Mcc2         (12a)Mw=Mtw1+Mtw2+Mcw1+Mcw2         (12b)Μc=Μc1t+Μc2t+Μc1c+Μc2c         (12a)Μw=Μw1t+Μw2t+Μw1c+Μw2c         (12b)

　　 受拉框架柱、受压框架柱、受拉剪力墙、受压剪力墙的合拉力、合压力分别为：

　　 Ntc=Ntc1+Ntc2         (13a)Ncc=Ncc1+Ncc2         (13b)Ntw=Ntw1+Ntw2         (13c)Ncw=Ncw1+Ncw2         (13d)Νct=Νc1t+Νc2t         (13a)Νcc=Νc1c+Νc2c         (13b)Νwt=Νw1t+Νw2t         (13c)Νwc=Νw1c+Νw2c         (13d)

　　 假设框架柱合拉力、合压力合力点坐标分别为x^t_c,x^c_c,剪力墙的合拉力、合压力合力点坐标分别为x^t_w,x^c_w。由力的平衡有：

　　 Ntc+Ncc=−(Ntw+Ncw)         (14)Νct+Νcc=-(Νwt+Νwc)         (14)

　　 在此假定|Ntc|<|Ncc||Νct|<|Νcc|,则|Ntw|>|Ncw||Νwt|>|Νwc|。结合图4,结构底部可形成三对力偶。

　　 受拉柱合拉力与受压柱合压力形成力偶M_o-f(假定拉力为正，压力为负):

　　 Mo−f=Ntc×(xcc−xtc)         (15a)Μo-f=Νct×(xcc-xct)         (15a)

　　 受拉墙合拉力与受压墙合压力形成力偶M_o-w:

　　 Mo−w=|Ncw|×(xcw−xtw)         (15b)Μo-w=|Νwc|×(xwc-xwt)         (15b)

　　 框架柱不平衡轴力Nuccu=N^t_c+N^c_c与剪力墙不平衡轴力Nuwwu=Ntwwt+Ncwwc形成不平衡力偶M_o-wf:

　　 Mo−wf=(Ntc+Ncc)×(xuc−xuw)         (15c)Μo-wf=(Νct+Νcc)×(xcu-xwu)         (15c)

　　 式中xuccu,xuwwu分别为框架柱不平衡轴力作用点、剪力墙不平衡轴力作用点。

　　 此处需特别注意的是，根据上述假定，框架柱不平衡轴力作用点为xuccu=x^c_c,剪力墙不平衡轴力作用点为xuwwu=xtwwt;对称结构，不平衡轴力为0,此时M_o-wf亦为0。

　　 结构底层倾覆力矩可表达为：

　　 Mov=Mo−f+Mo−w+Mo−wf+Mc+Mw         (16)Μov=Μo-f+Μo-w+Μo-wf+Μc+Μw         (16)

　　 式(16)即以力偶形式表达的结构底部总倾覆力矩，式中各力偶作用、各构件底部弯矩当其方向与外力矩方向相反时取为正值，反之取负值。

3.2 对轴力法求矩点位置的论证

　　 在式(10)的基础上，假定第k根受拉竖向构件(剪力墙及框架柱)轴力为F_tk,第l根受压竖向构件(剪力墙及框架柱)轴力为F_cl,由平衡条件可知：

　　 ∑|Ftk|=∑|Fcl|         (17)∑|Ftk|=∑|Fcl|         (17)

　　 又因为：

　　 ∑|FNj|=∑|Ftk|+∑|Fcl|=2∑|Ftk|         (18)∑|FΝj|=∑|Ftk|+∑|Fcl|=2∑|Ftk|         (18)

　　 受拉构件拉力合力点x_t为：

　　 xt=∑|Ftk|xk∑|Ftk|         (19)xt=∑|Ftk|xk∑|Ftk|         (19)

　　 受压构件压力合力点x_c为：

　　 xc=∑|Fcl|xl∑|Fcl|         (20)xc=∑|Fcl|xl∑|Fcl|         (20)

　　 则受拉合力点与受压合力点间的中点坐标为：

　　 xm=xt+xc2=∑∣∣Ftk∣∣xk∑∣∣Ftk∣∣+∑∣∣Fcl∣∣xl∑∣∣Fcl∣∣2         (21)xm=xt+xc2=∑|Ftk|xk∑|Ftk|+∑|Fcl|xl∑|Fcl|2         (21)

　　 即有：

　　 xm=∑|Ftk|xk+∑|Fcl|xl2∑|Ftk|=∑|Ftk|xk+∑|Fcl|xl∑|FNj|         (22)xm=∑|Ftk|xk+∑|Fcl|xl2∑|Ftk|=∑|Ftk|xk+∑|Fcl|xl∑|FΝj|         (22)

　　 因此，x_m= x₀。由此可见，式(10)的求矩点为受拉构件合力点与受压构件合力点之间的中点。

3.3 力偶法的计算公式

　　 力偶法的目标主要是分别计算框架部分和剪力墙部分承担的倾覆力矩。为此，需将式(16)改写成式(23)的表达形式，即：

　　 Mov=Mf+Ms         (23)Μov=Μf+Μs         (23)

　　 式中M_f,M_s分别为底层框架部分、底层剪力墙部分承担的倾覆力矩。

　　 显然，式(16)中的M_o-f,M_c是由框架部分承担的，M_o-w,M_w是由剪力墙部分承担的；对于非对称结构，存在由框架部分的不平衡轴力Nuccu及剪力墙部分的不平衡轴力Nuwwu共同形成的不平衡力偶M_o-wf。如图4所示，将位于框架不平衡轴力Nuccu一侧且与剪力墙相连的各层框架梁的反弯点作为分界点，该不平衡力偶可分解成分别由框架部分及剪力墙部分承担的两部分力偶，其中分解出的框架部分如图5所示。

　　 图5 不平衡力偶及轴力示意图 

　　  

　　 图5中的V^u_i为第i层梁上不平衡剪力，可按式(24)计算：

　　 Vui=(Ncc(i)−Ncc(i+1))−(Ntc(i)−Ntc(i+1))         (24)Viu=(Νc(i)c-Νc(i+1)c)-(Νc(i)t-Νc(i+1)t)         (24)

　　 式中：N^c_c(i)为第i层受压框架柱合压力；N^t_c(i)为第i层受拉框架柱合拉力。

　　 各层梁上不平衡剪力之和即底层框架不平衡轴力为：

　　 Nuc=∑i=1nVui         (25)Νcu=∑i=1nViu         (25)

　　 由此可见，各层梁上不平衡剪力与底层不平衡轴力可分解成n组不平衡力偶，n为楼层总数。第i层梁上不平衡剪力与底部框架柱不平衡轴力形成的力偶M^u_c(i)为：

　　 Muc(i)=Vui(xuc−xi)         (26)Μc(i)u=Viu(xcu-xi)         (26)

　　 式中的x_i为位于框架不平衡轴力Nuccu一侧且与剪力墙相连的第i层框架梁的反弯点位置。

　　 不平衡力偶M_o-wf分解到框架的部分Muccu为：

　　 Muc=∑i=1nVui(xuc−xi)         (27)Μcu=∑i=1nViu(xcu-xi)         (27)

　　 因此，由力偶形式表达的底层框架部分承担的倾覆力矩可表达为：

　　 Mf=Mo−f+Muc+Mc         (28)Μf=Μo-f+Μcu+Μc         (28)

　　 同理，可得到由力偶形式表达的底层剪力墙部分承担的倾覆力矩可表达为：

　　 Ms=Mo−w+Muw+Mw         (29a)Muw=∑i=1nVui(xi−xuw)         (29b)Μs=Μo-w+Μwu+Μw         (29a)Μwu=∑i=1nViu(xi-xwu)         (29b)

　　 式中Muwwu为不平衡力偶M_o-wf分解到剪力墙的部分。

4 抗规法、轴力法及力偶法的相互关系

　　 根据抗规法的定义，当框架梁两端为铰接，即梁无剪力时，框架柱底合轴力与剪力墙底合轴力均为零，此时抗规法、轴力法、力偶法取得一致结果。

　　 轴力法计算的框架部分承担的倾覆力矩式(9)可改写为：

　　 Mf=Mo−f+Mc+Nucx0         (30)Μf=Μo-f+Μc+Νcux0         (30)

　　 将式(30)与式(28)对比，力偶法与轴力法的差别在于不平衡力矩部分求矩点不一致，轴力法求矩点定在竖向构件合拉力与合压力的中点，力偶法则严格根据梁受力反弯点位置进行计算，理论严密合理。当为对称结构时，力偶法与轴力法计算结果一致；在一般情形下，两种方法的计算结果存在一定的差异。

5 算例

5.1 非对称结构算例

　　 图6为非对称的平面框架-剪力墙结构，柱截面为600mm×600mm, 梁截面为600mm×300mm, 剪力墙墙厚200mm, 混凝土强度等级均为C30。在图6所示的水平力作用下，分别采用抗规法、轴力法、力偶法计算框架部分承担的倾覆力矩，计算结果详见表1,非对称结构框架部分承担的倾覆力矩占比为框架部分承担的倾覆力矩占整个结构的比值，余同。

　　 图6 非对称结构示意图

　　  

　　 非对称结构框架部分承担的倾覆力矩占比 表1

方法	抗规法	轴力法	力偶法
倾覆力矩占比	16.7%	45.1%	32.0%

 

　　  

　　 本算例为多跨的非对称结构，由表1结果可见，抗规法与其他方法计算结果相差较大；轴力法与力偶法因求矩点不同，其计算结果有一定的差异。

5.2 对称结构算例

　　 图7为框架-剪力墙布置示意图，呈对称结构，构件尺寸、材料等级等同5.1节案例。在图7所示的水平力作用下，分别采用抗规法、轴力法、力偶法计算框架部分承担的倾覆力矩，计算结果见表2;由表2可见，对于多跨的对称结构，抗规法与其他方法计算结果依旧相差较大；轴力法、力偶法计算结果一致。

　　 图7 对称结构示意图  

　　  

　　 对称结构框架部分承担的倾覆力矩占比 表2

方法	抗规法	轴力法	力偶法
倾覆力矩占比	17.7%	55.5%	55.5%

 

　　  

6 判别结构体系的层剪力比

　　 文献[9]的研究表明，结构的倾覆力矩比受组成剪力墙的位置是否靠近质心位置关系较大，同样截面尺寸的剪力墙靠近平面的两端时，其倾覆力矩远大于其位置在靠近质心时，这对于剪力墙数量不是很多的剪力墙结构体系判别有较大影响；同时剪力墙结构的倾覆力矩比在结构不同高度楼层是有变化的，仅由结构底层的倾覆力矩比来判断剪力墙结构或框架-剪力墙结构的结构体系有时不够全面。文献[9]提出采用结构的层剪力比来对结构体系进行判别，其剪力比的计算方法可参见文献[10]。

7 结论

　　 (1)抗规法的定义是底层框架及以上隔离体所分配到的层水平外力对底层框架的力矩之和；轴力法则是在计算框架部分承担的倾覆力矩时，考虑了结构底部竖向构件轴力形成的倾覆力矩的作用，因而两者定义不同，其计算结果必然不同。

　　 (2)采用轴力法计算结构底部竖向构件轴力形成抵抗外倾覆力矩时，PKPM采用的求矩点位置在受拉构件合轴力与受压构件合轴力作用点间距的中点，与结构实际受力状况不符。本文在轴力法的基础上分析了柱、墙底部轴力形成的三对力偶作用，并根据力偶与求矩点位置无关这一特性提出了力偶法，它与轴力法的区别在于框架柱底合轴力与剪力墙底合轴力组成力偶的分配，轴力法求矩点定在竖向构件合拉力与合压力的中点，力偶法则严格根据梁受力反弯点位置进行计算，理论严密合理。当为对称结构时，力偶法与轴力法计算结果一致。

　　 (3)当连梁框架柱与剪力墙梁两端铰接，梁无剪力时，轴力法与力偶法由柱底与剪力墙底合轴力组成的力偶为零，此时抗规法、轴力法、力偶法计算结果相同。

　　 (4)本文以上论述表明抗规法与轴力法、力偶法的差别源于其对框架部分承担倾覆力矩的定义不同，不宜简单的结论孰是孰非。但从力学分析的角度看，力偶法更符合力矩计算的要求。经将轴力法改进完善后的力偶法可供工程界参考使用。

　　 (5)由结构底层的倾覆力矩比来判断剪力墙结构或框架-剪力墙结构的结构体系不够全面，建议补充剪力比作为判别条件之一。