供水管网的水力模型在供水行业各个领域中都有重要的应用, 如工程优化设计、水力水质模拟、水厂优化调度等^[1]。借助于计算机技术, 管网模型可对真实管网进行数字化模拟, 进行管网水力计算, 以反映实际管网的水力状态。然而, 由于管网建模中管网简化、参数不准确、管网用水量实时变化等原因, 管网模型的节点流量、粗糙系数、水泵特性曲线等输入参数与实际情况不能完全一致, 因而模型输出结果也有一定的误差^[1,2]。输出结果中的误差可能造成对真实管网状态的错误估计, 进而导致管网压力过高、过低, 水质模拟不准确等后果。因此, 综合评估管网模型的不确定性、衡量模型输出结果的可信度, 对管网安全、可靠的运行有着重要意义。Hutton等^[2]综合分析了管网中不确定因素的来源;舒诗湖^[3]介绍了管网不确定性分析的理论与发展, 并提供了常用的不确定性分析方法;王军慧^[4]使用蒙特卡洛模拟方法对实际管网的水力与水质不确定性进行了计算。然而, 传统的不确定性分析方法通常采用扰动法计算管网雅克比矩阵, 或使用蒙特卡洛模拟方法计算不确定性, 需要反复、多次求解管网水力、水质模型, 计算量大, 在管网较大时可能无法满足实时计算的需求。本文提出了管网水力模型的解析计算方法, 计算时仅需求解一次管网水力模型, 具有计算方便、计算速度快等特点。

基于管网拓扑结构、管径、管长、粗糙系数、节点需水量等信息, 结合能量守恒、质量守恒方程, 供水管网的水力模型可由式 (1) 表示^[5]:

$\{\begin{array}{l}\mathit{A}q-Q=0\\ \mathit{A}{}^{\mathbf{{\rm T}}}{\rm H}+h+A{}_{10}\mathit{{\rm H}}{}_0=0\end{array}(1)$

式中 A——管网拓扑关系矩阵;

q ——不同管段的流量, L/s;

Q ——不同节点的需水量, L/s;

h ——不同管段的水头损失, m;

H ——不同节点的压力, m;

H₀ ——定压节点的压力, m;

A₁₀ ——管网定压节点的拓扑关系矩阵。

矩阵A和A₁₀描述了管网节点、管段之间的拓扑关系。A、A₁₀中的元素可根据式 (2) 确定:

$\mathit{A}(i,j)=\{\begin{array}{cc}-1,\hfill & \text{如}\text{果}\text{节}\text{点}i\text{是}\text{管}\text{道}j\text{的}\text{起}\text{始}\text{节}\text{点}\hfill \\ 0,\hfill & \text{如}\text{果}\text{节}\text{点}i\text{与}\text{管}\text{道}j\text{不}\text{连}\text{接}\hfill \\ 1,\hfill & \text{如}\text{果}\text{节}\text{点}i\text{是}\text{管}\text{道}j\text{的}\text{终}\text{止}\text{节}\text{点}\hfill \end{array}(2)$

目前, 已有许多方法可用于求解管网水力模型, 如梯度下降法^[5]、牛顿-拉夫森算法^[6]等。此外, 也可使用EPANET^[7]等软件求解水力模型。

引起管网水力模型不确定性的因素众多, 主要可分为3类^[2]:①模型结构的不确定性, 主要由建模过程中简化管网、计算误差等引起;②管网参数不确定性, 主要由管网中管道粗糙系数、节点需水量等参数无法准确、充分的测量导致;③管网测量/数据的不确定性, 只定义模型初始情况, 或由于调整、校核模型的数据的误差引起的不确定性。不确定性可使用方差、协方差矩阵、置信区间等衡量。对于随机向量x=[x₁, …, x_N]^T, 向量中元素x_i和x_j的协方差可由式 (3) 计算:

$C(x{}_i,x{}_j)=\epsilon [(x{}_i-\epsilon (x{}_i))(x{}_j-\epsilon (x{}_j))](3)$

式中ε——运算符, 表示求期望值。

元素x_i的方差为σ² (x_i) =C (x_i, x_i) ;向量x的协方差矩阵可由式 (4) 表示:

$\text{C}\text{o}\text{v}(\mathit{x})=\left[\begin{array}{ccc}C(x{}_1,x{}_1)& \cdots & C(x{}_{{\rm N}},x{}_1)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ C(x{}_1,x{}_{{\rm N}})& \cdots & C(x{}_{{\rm N}},x{}_{{\rm N}})\end{array}\right](4)$

元素x_i置信水平100 (1-α) %的置信区间为:

$(\epsilon (x{}_i)-{\rm Z}{}_{\alpha /2}\sigma (x{}_i))<x{}_i<(\epsilon (x{}_i)+{\rm Z}{}_{\alpha /2}\sigma (x{}_i))(5)$

式 (5) 表示元素落在该置信区间内的概率为100 (1-α) %。对于正态分布, 置信水平为95%时, Z_α/2=1.96。

要分析不确定因素对模型输出结果造成的影响, 首先应探究这些因素与模型输出之间的关系。然而, 由于模型中不确定因素众多, 将每一种因素对模型输出的影响都准确衡量是不现实的。本研究中, 将模型的不确定性集中到两种参数上进行考虑:①管道粗糙系数:供水管网模型中的管道粗糙系数无法直接测量, 且测量成本高, 通常根据管材、使用时间等按照经验确定, 因此管道粗糙系数通常含有较大误差, 此外, 管道长度、直径的误差也可反映到管道粗糙系数中;②管网节点需水量:节点需水量的测量成本高, 且不同时刻节点需水量不同。节点需水量一般根据服务范围、用户数量等按照经验确定, 含有较大误差。

系统输入误差、输出误差之间的关系常用一阶二次矩法计算, 如式 (6) 所示:

$\text{C}\text{o}\text{v}(\mathit{Y})=[(\frac{\partial \mathit{Y}}{\partial \mathit{X}})\text{C}\text{o}\text{v}(\mathit{X})(\frac{\partial \mathit{Y}}{\partial \mathit{X}}){}^{\text{Τ}}](6)$

式中 X、Y——输入、输出向量;

Cov (X) 、Cov (Y) ——模型输入、输出参数的协方差矩阵;

∂Y/∂X ——雅克比矩阵, 由向量Y对向量X求偏导得出。

管网不同输入、输出向量之间的雅克比矩阵D可通过式 (7) ～式 (11) 求出^[8]:

$\begin{array}{l}\mathit{D}=(\mathit{A}\mathit{B}\mathit{A}{}^{\text{Τ}}){}^{-1}(7)\\ \partial {\rm H}/\partial C=\mathit{D}\mathit{A}\mathit{S}(8)\\ \partial q/\partial C=\mathit{S}-\mathit{B}\mathit{A}{}^{\text{Τ}}\mathit{D}\mathit{A}\mathit{S}(9)\\ \partial {\rm H}/\partial Q=-\mathit{D}(10)\\ \partial q/\partial Q=\mathit{B}\mathit{A}{}^{\text{Τ}}\mathit{D}(11)\end{array}$

式 (8) ～式 (11) 分别为节点水头对管道粗糙系数、管道流量对管道粗糙系数、节点水头对节点需水量、管道流量对节点需水量的雅克比矩阵。矩阵B、S为对角阵, 分别可由式 (12) 、式 (13) 求出:

$\begin{array}{l}\mathit{B}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{q{}_1}{1.852h{}_1}& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & \frac{q{}_m}{1.852h{}_m}\end{array}\right](12)\\ \mathit{S}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{q{}_1}{C{}_1}& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & \frac{q{}_m}{C{}_m}\end{array}\right](13)\end{array}$

式中 q_m——管道m的流量, L/s;

h_m ——管道m的水头损失, m;

C_m ——管道m的海曾-威廉系数。

式 (7) ～式 (13) 的详细解释及推导过程可参考Nian-dong等人的研究^[8]。为表示模型中各种不确定因素对模型输出结果的影响, 分别使用P_C、P_Q、P_q、P_H表示管道粗糙系数、节点需水量、管道流量、节点压力的协方差矩阵。假设各管段粗糙系数、各节点需水量之间的误差是相互独立的, 则P_C、P_Q为对角矩阵。P_C对角线上的元素表示对应管段粗糙系数的方差;P_Q对角线上的元素表示对应节点需水量的方差。P_C、P_Q可根据管网模型精度、用水量分配情况、监测数据误差等, 根据经验或相应的模型校核结果确定^[2]。

联立式 (6) ～式 (11) , 可得出模型输入参数的不确定性P_C、P_Q对模型输出结果的不确定性P_q、P_H的影响, 如式 (14) ～式 (17) 所示:

P_{H_C}=DASP_C (DAS) ^T (14)

P_{H_Q}=DP_QD^T (15)

P_{q_C}= (S-BA^TDAS) P_C (S-BA^TDAS) ^T (16)

P_{q_Q}=BA^TDP_Q (BA^TD) ^T (17)

假设粗糙系数与需水量的误差是相互独立的, 则对于整个管网模型, 有

$\begin{array}{l}\mathit{{\rm P}}{}_{{\rm H}}=\mathit{D}\mathit{A}\mathit{S}\mathit{{\rm P}}{}_C(\mathit{D}\mathit{A}\mathit{S}){}^{\text{Τ}}+\mathit{D}\mathit{{\rm P}}{}_Q\mathit{D}{}^{\text{Τ}}(18)\\ \mathit{{\rm P}}{}_q=(\mathit{S}-\mathit{B}\mathit{A}{}^{\text{Τ}}\mathit{D}\mathit{A}\mathit{S})\mathit{{\rm P}}{}_C(\mathit{S}-\mathit{B}\mathit{A}{}^{\text{Τ}}\mathit{D}\mathit{A}\mathit{S}){}^{\text{Τ}}+\\ \mathit{B}\mathit{A}{}^{\text{Τ}}\mathit{D}\mathit{{\rm P}}{}_Q(\mathit{B}\mathit{A}{}^{\text{Τ}}\mathit{D}){}^{\text{Τ}}(19)\end{array}$

式 (18) 、式 (19) 即为管网模型输出的节点压力、管道流量的协方差矩阵的计算公式。协方差矩阵反映了输出结果的不确定性;根据协方差矩阵, 可方便地进一步求解出节点压力、管道流量的置信区间, 以综合评估模型可靠程度。图1给出了利用EPANET软件计算式 (18) 、式 (19) 的流程图。

P县管网服务人口为5万人, 日供水量6 600 m³, 由2个水厂向管网供水。管道系统由原有管道 (主要钢管、铸铁管) 以及新建管道 (主要为PE塑料管) 构成;管网模型包含109个节点、132根管道, 如图2所示。

由于P县管网维护情况较差, 管道粗糙系数仅能根据经验确定, 误差较大;用水量以居民生活用水量为主, 单个节点服务人口少, 用水随机性较强。因此, 进行管网不确定性分析时, 应设置较大的管道粗糙系数与节点需水量的误差标准差。本例中, 管道粗糙系数标准差设为10, 节点需水量标准差设为该节点需水量的20%。因此, 矩阵P_C是对角线元素均为100的对角矩阵;P_Q是对角线元素为 (0.2Q_i) ²的对角矩阵, 其中Q_i为节点i的需水量。

使用EPANET建立P县管网的水力模型。本例中对P县管网24 h水力模拟结果的不确定性进行了分析。设置水力模拟时间步长为15 min, 则共需进行96次水力模拟分析。根据图1所示的计算步骤, 可得出P县管网每一时刻节点水压及管道流量模拟结果的协方差矩阵。执行96次不确定性分析共消耗0.51 s (4核i7-7700 CPU, 8 GB内存) 。协方差矩阵对角线元素即为对应节点的方差, 将模型模拟结果视为期望值, 则由式 (5) 可得出管网各节点、管道的置信区间。P县管网南部末梢节点、水厂出厂流量的模拟结果及置信区间如图3所示。

由于出厂水输送到末梢节点的过程中, 输水路径、输水时间更长, 会受到更多不确定性因素的影响, 最终模拟值与实际之间可能会有较大误差。如图3a所示, P县管网末梢节点压力不确定性较大, 在用水量较高 (如9:00～11:00) 时, 压力模拟的误差甚至会达到4～5 m。实际工程应用中, 若不能充分地考虑节点压力的不确定性, 则可能导致部分节点压力过低, 无法满足用水需求, 或节点压力过高, 导致漏损率与爆管风险上升。管网的不确定因素也会导致管道流量模拟结果出现误差, 如图3b所示, P县一水厂出水流量的误差可达到5%～10%。充分考虑管道流量模拟的不确定性, 有助于水厂实现更为精确地优化运行、调度。

供水管网建模过程中模型结构、管网参数、测量数据等都存在一定误差, 导致模型模拟的结果与实际情况之间存在差异, 有一定的不确定性。若不能有效地分析这种不确定性, 则有可能导致对管网状态的错误估计, 造成管网部分节点压力、管段流量过高或过低, 进一步引起漏损量上升、爆管几率升高、部分节点水质无法满足要求等情况。

通过结合一阶二次矩法以及管网雅克比矩阵的解析式, 提出了计算供水管网水力模型不确定性的公式, 具有结构简单、运算快速等特点。使用该公式对一个实际管网进行了不确定性分析, 并计算了模型结果的置信区间。分析结果表明管网中部分节点压力和管道流量的模拟结果可能包含较大的不确定性, 在实际应用中, 应充分考虑这种不确定性以提升管网模型可靠性。