目前城市供水系统的运行电耗相对较高,加强供水管网优化运行研究,有助于实现供水系统的节能降耗^[1]。供水管网优化运行问题,是指在满足水量、水压、水质等方面的供水要求的前提下,寻求运行能耗最低的最优调度方案^[2]。相关领域的专家学者在优化建模、求解算法、案例应用等方面上,取得了大量的研究成果^[3]。但在上述研究中缺乏对不确定性的适度考量,导致最优方案实用性较低。以需水的不确定性为例^[4],在传统管网优化运行研究中,一般采用确定的需水情景作为模型输入,一旦实际需水量增大,最优方案可能出现供水水压不足等破坏供水安全的情况,进而无法发挥预期效益^[3]。管线摩阻系数、管网模型参数等方面^[5]的不确定性,同样会影响最优求解方案的适用性。因此,在管网优化运行研究中,耦合上述不确定性因素,十分必要。

Kapelan等^[5]在管网优化设计问题中提出鲁棒性指标,可用来表征系统抵抗诸多不确定性的安全供水能力。故本文通过考虑需水不确定性,对系统鲁棒性提出约束要求,构建随机型优化运行模型。针对上述模型,选用GA算法求解耗时,选用rccGA算法^[6]存在抽样效果不均匀、易陷入局部最优、最优解易失效等不足。本文提出基于rccGA算法,在情景采样方式、个体适应度排序、新一代种群组成、保留较优个体、存活代数计算等方面进行改进,形成mccGA算法。结合Anytown案例,验证mccGA算法高效稳定性和求解精度。最后通过C-Town案例,证明上述方法对于工程应用中考虑不确定性复杂优化问题的求解适用性。

在供水管网运行费用中,泵站总耗能费用占到90%以上^[7]。因此在基准需水情景(各用户基础需水量)下,建立运行周期内泵站电耗费用最小的目标函数,见式(1)。

$\min C{}_e={\displaystyle \sum _{i=0}^{nt}{\displaystyle \sum _{p=1}^{np}\gamma }}uc{}_{i}Q{}_{i,p}{\rm H}{}_{i,p}\Delta t{}_i/\eta {}_{i,p}(1)$

式中 C_e——运行费用,$;

γ ——水的比重系数;

uc_i ——第i时段电价,$/(kW·h);

Q_i,p,H_i,p,η_i,p ——第i时段第p水泵的出水流量(m³/h)、扬程(m)、效率系数;

Δt_i ——第i时段的时段长,h;

nt ——运行周期内时段数;

np ——泵站水泵台数。

(1)水池运行水位要求。在基准需水情景下,经一个运行周期,高位水池水量不能出现亏空。即运行周期开始时的水池水位不低于运行周期末的水位,计算见式(2)。

${\rm H}{}_{0,ta}\le {\rm H}{}_{nt,ta}(2)$

式中 H_0,ta,H_nt,ta——运行周期开始时和结束时,第ta个高位水池的运行水位,m。

(2)水泵启停切换次数的限制。在基准需水情景下,水泵的启停状态频繁切换,会导致水泵的磨损以及水锤风险,潜在地增加了系统维护成本^[8],见式(3)。

${\rm N}S{}_p\le {\rm N}S{}_{\max }(3)$

式中 NS_p,NS_max——运行周期内第p个水泵的开关状态切换次数、限制次数。

(3)需水不确定性情景下,要求系统在保证用户水头方面,具备一定的鲁棒性。即允许管网不满足供水要求的情况出现,但其满足供水要求的统计概率不低于某一阈值要求,以机会约束要求的形式表达,如式(4)所示。

$R={\rm P}({\rm H}{}_{i,j}\ge {\rm H}{}_{i,j}^{\min })\ge \phi (4)$

式中 H_i,j,H${}_{i,j}^{\min }$——第i时刻,第j节节点需水量,实际水头和最低水头要求;

P(H_i,j≥H${}_{i,j}^{\min }$) ——各时刻各节点水头均不小于最低水头要求的统计概率;

R ——鲁棒性;

φ ——提前设定的阈值要求,取决于管理决策的安全需求。

该模型中管网水力计算涉及到的节点流量方程、管段压降方程、环能量方程等^[9]约束限制,通过EPANET^[10]计算引擎求解。

对于求解泵站调度计划的案例来说,在同型号定速泵并联的情况下,取各时段泵站内水泵运行台数为决策变量,见式(5)。

${\rm N}S{\rm P}{}_i\in \{1,\cdots ,np\}(5)$

式中 NSP_i——第i时段水泵运行台数。

对于求解PLC水箱液位控制泵站的案例来说,取各水箱控制水位上下界为决策变量,见式(6)。

$LWL{}_{ta}\le CLWL{}_{ta}\le CUWL{}_{ta}\le UWL{}_{ta}(6)$

式中 CUWL_ta,CLWL_ta——第ta个高位水池的上下控制水位;

LWL_ta,UWL_ta ——第ta个水箱的最低水位要求和最高水位限制。

本文选用随机采样法来量化需水不确定性。拉丁超立方采样技术(LHS),在较小采样数目下确保随机采样精度^[11]。故选用LHS对各基础需水量进行随机抽样,形成TN_S种不确定性情景,依次在不确定性情景下进行约束条件检验,统计满足供水水头要求的情景数目,由此来计算鲁棒性R。故式(5)可转化为有效情景数目占比形式,如式(7)所示。

$R={\rm N}{}_F/{\rm T}{\rm N}{}_S(7)$

式中 TN_S——总情景采样数目;

N_F ——满足供水要求约束条件的情景数目,称为有效供水情景数目。

将各基础需水量视为随机变量进行抽样时,需假定各基础需水量的变化分布,现阐明如下:①假定用水节点的需水模式相对变化不大,只考虑基础需水量的波动变化;②假定各节点基础需水量之间相互独立;③假定节点基础需水量Q_n服从截断正态分布,其概率密度函数,如式(8)所示。

$\text{p}\text{d}\text{f}{}_n(Q{}_n)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\eta {}_n}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma {}_n}\exp \left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{Q{}_n-\mu {}_n}{\sigma {}_n}\right){}^2\right\}& Q{}_n\ge 0\\ 0& Q{}_n<0\end{array}(8)$

式中 μ_n——期望值,为基准需水情景下的基准需水量;

σ_n ——标准差,为相比于基准需水量的离散程度,可由变差系数Cv_n来确定。

在运行调度期内,基础需水量相对固定,波动变化较小,故设定Cv_n为0.1;η_n为概率修正系数。

rccGA算法为Babayan^[6]在传统GA算法的基础上改进所得。它提出历史属性继承机制,结合个体S存活代数Age的概念(随算法进化存留下来的个体,从其初始化到当前进化代数的连续存留代数),随代数更新保留鲁棒性评估记录R_h,实现对当代鲁棒性R的滚动评价。

相较于GA算法,rccGA算法存在3点改进:①精英保留策略。精英个体除了要求当代个体适应度最优,还需要个体Age不小于最小存活代数要求(MA);②新一代种群的组成。取前一半适应度排序较优的父代个体复制到子代,而另一半个体由遗传算子进化产生;③存活代数变化。初始化的个体或遗传算子产生的个体Age为零,其他父代个体Age随代数增加。

在rccGA算法基础上,mccGA算法主要在5方面进行改进。

LHS技术采用的是分层抽样机理,故MA次N_S个不确定性情景样本的抽样覆盖效果,无法与一次TN_S个样本抽样效果相同。为确保抽样点均匀覆盖变量变化范围,提出区间均匀采样方法,如图1所示。

将不确定性情景集按任意一维随机变量值从小到大排序,将其划分为N_S个子情景集,依次从子情景集选取某一相同序号M的情景,共提取N_S种不确定性情景。为保证个体在每代抽取的情景集不相同,设定M为Age与MA的余数。其个体适应度评价流程框架,如图2所示。

为保证较优个体在进化过程中不丢失,采取如下3项策略,进行较优个体的更新存档。

精英保留策略。某个体恰好经一次完整的TN_S次不确定性情景评估时,若其适应度优于精英个体,则将该个体替换为精英个体。

伪精英保留策略。当代适应度最优个体,若其适应度优于伪精英个体,则将该个体替换为伪精英个体。反之,则将伪精英个体复制到新一代种群中。

精英集策略。在进化过程中精英个体,随时保存到精英集里。在后续进化过程中,精英集个体出现非可行情况时,且存活代数Age小于FA(意指最优存活代数要求,为进一步减少LHS技术的采样误差,其值为MA的整数倍),则将相应个体从精英集去除。

由于不确定性情景和历史属性继承机制,在同一代种群内具有相同决策方案的个体,可能具有不同鲁棒性评估结果,导致适应度较优且存在相同决策方案的个体,随进化逐渐聚集,种群多样性受到严重影响。

本文提出改进的适应度排序准则。在个体适应度排序时,需兼顾个体的决策方案是否具有唯一性。即在个体适应度优劣排序的基础上,依排序检查各个体的决策方案是否存在,若存在,取存活代数较小的个体排到种群后面,这样可有效降低重复决策方案的遗传机率。

其中直接遗传概率(DGP),指的是父代个体直接复制到新一代种群的个体数目所占比例。若DGP取值较高,即保留父代个体数目较多,使得父代与子代间差异性不大,可能导致算法进化陷入局部搜索;若DGP取值较低,即保留太少,使得种群收敛速度降低。该参数需结合具体求解问题进行合理取值。与rccGA算法相比,该参数可用于调整种群多样性,实现种群差异性和遗传性的平衡。

对于第T+1代个体S来说,其决策方案相较于第T代发生实质性的改变时,视该个体为“新个体”,即Age为1,否则个体Age随代数累加,如式(9)所示。

$S({\rm T}+1).Age=\{\begin{array}{c}S({\rm T}).Age+1\hfill \\ if{\rm I}{\rm N}{\rm T}(S({\rm T}+1).Vars)==\hfill \\ {\rm I}{\rm N}{\rm T}(S({\rm T}).Vars)\hfill \\ 1else\hfill \end{array}(9)$

式中 INT——把算法中个体决策变量Vars转换为决策方案的变换函数。

在遗传算子产生的新个体中,一部分决策变量未发生改变,另一部分因变换函数,其实际决策方案未受到影响,应视为可继承历史鲁棒性的个体。故该规则可增加可继承历史鲁棒性的个体数,提升个体鲁棒性评价效率。mccGA算法的算法步骤,如图4所示。

为验证mccGA算法性能,本文选取了Anytown供水管网^[12]进行优化测试试验,并与rccGA算法进行比较。该案例要求在考虑需水不确定性条件下,优化求解24 h调度周期内泵站调控计划。18:00～6:00,以低谷电价0.08$/(kW·h)计费;6:00～18:00,以高峰电价0.14$/(kW·h)计费。参数设置如下:H${}_{i,j}^{\min }$为40 psi,NS_max为6,popsize为200,T_max为1 000,MA为20,FA为100,TN_S为1 000,N_S为50。

φ=99%时,选取DGP的取值范围为0.05～0.5,比较不同DGP下的10次优化结果,如图5所示。随着DGP的逐渐增大,收敛速度加快,但最优解的适应度呈现升高趋势,可认为进化后期陷入局部最优。为避免出现上述情形,故选取DGP为0.1。

如图6所示,在rccGA算法中,种群内实际决策方案数,随着迭代进程逐渐减少,后期基本维持在50左右,多样性严重下降。而在mccGA算法中,种群内实际决策方案数目基本维持不变,维持在150以上,可认为改进的适应度排序准则将具有重复决策方案的个体排除到种群进化外,有效地保证种群的多样性。

以存活代数Age被规则修正的数目为量化指标,图7显示的是在mccGA算法中该数目基本维持在40～80,占据每代种群中新个体数目的1/5～2/5,说明该准则能有效扩大新一代种群中继承R_h特征的个体数目,提升个体R的滚动评价效率,加快种群进化的寻优收敛。

经30次优化求解,得到最优适应度值分布情况,如图8所示。箱形上数字为在MC鲁棒性评估[Monte Carlo随机采样的不确定性情景(TNs=100 000)]中,满足约束要求的个体数目。相较于rccGA算法,mccGA算法最优解可行率更高,适应度值更为集中,最优值较好。由图9可观察到,在不同的鲁棒性要求下,mccGA算法的收敛速度和最优值都较好。综上,mccGA算法在求解稳定性、寻优准确性、收敛速度等方面,均优于rccGA算法。

C-Town供水管网是现实存在的工程实例,首次在BWCN2010应用^[13]13]。该系统拥有5个DMA分区,388个节点(334个需水节点),429根管段,1个水源节点,7个水箱,5个泵站(11台水泵)。其管网布置,如图10所示。泵站与水箱联合调控管网系统运行,其中9台水泵与对应水箱之间存在PLC水箱液位控制规则,见图11中规则C,其费用为717.71$/d,MC鲁棒性评估结果为0.994。在满足现有供水要求和高鲁棒性的前提下,拟寻求24 h内运行费用较低的控制规则。

构建C-Town系统的随机型供水管网优化运行模型,分别选用rccGA算法和mccGA算法进行优化求解。

由于需水节点较多,直接选用LHS抽样不确定性情景,样本大,优化效率低。为简化处理,本文结合管网拓扑结构,将距离邻近、连接关系相似、用水行为类似的节点,合并成一个虚拟需水节点,如图10中大黑点所示,共有95个虚拟节点。虚拟节点的总基础需水量,可用作LHS抽样的随机变量。结合各节点需水量比例,将随机样本分算到各实际节点上,形成不确定性情景集。此时单次抽样数目Ns选为100,即可保证较好的抽样精度。其他参数设置如下:H${}_{i,j}^{\min }$为10 m,NS_max为6,popsize为100,T_max为1 000,DGP为20,MA为20,FA为100,TN_S为2 000,φ为99%。

采用rccGA算法求解失效,无可行的最优解;采用mccGA算法求得运行费用最低的控制规则,见图11中规则B,其费用为567.56$/d,MC鲁棒性评估结果为0.999。在不考虑需水不确定性条件下求得控制规则A,见图11,其费用为549.06$/d,MC鲁棒性评估结果为0.666。在基准需水情景下,计算各水泵运行费用,如图12所示。

在运行费用方面,相较于日常控制规则C,优化规则A、B在泵站S1、S2、S3节省较多费用,对比其控制规则可观察到,优化规则A、B,水位控制上界较低,避免泵站持续蓄水,有效减少能量浪费;水位控制下界较低,充分利用水箱的补充供水能力,可增加节能效果。

该系统最不利点为J297,其供水直接由泵站S5负责,在加强鲁棒性方面,控制规则需重点保障该点的供水安全。相较于规则A、C,规则B鲁棒性较高,其在泵站S5的水位控制下界较高,同时控制两台水泵启停的水位范围重叠较多。一旦出现不确定性情景,该规则可提供较高的富余水头,满足J297用水要求的可能性越高。

综上,相较于日常控制规则C,优化规则B节约费用150.15$/d,节约费用可达20.9%。同时鲁棒性表现更佳,符合管网安全调控需求。

针对考虑需水不确定性的供水管网优化运行问题,本文就模型构建和求解算法进行了方法研究。首先,在构建随机型优化运行模型时,引入机会约束形式的鲁棒性要求,能有效表达管网安全供水诉求。然后对于rccGA算法不足,提出针对性的改进策略,构成mccGA算法。Anytown案例的性能测试,证明了mccGA算法不仅能有效提升收敛速度和求解稳定性,还能确保最优方案的可行性。基于C-Town工程实例验证了上述方法较高的适用性。该方法不仅能满足系统节能降耗需求,同时能有效保障系统的供水安全。该随机型优化模型及求解算法,可应用到类似的供水管网优化调控问题中,为保障系统运行经济性与安全性,提供科学决策。