对偏压柱, 荷载P作用在1-1轴平面内 (图13 (a) ) 。每个横截面上都有一个σ₀轴, 沿该轴的σ等于平均应力σ₀=P/A, 即图13 (b) 的QO-轴线, 故σ=σ₀+σ_b, 其中σ_b为阴影部分表示的弯曲应力。平衡条件为:

　　 $b{\displaystyle \underset{h{}_1}{\overset{h{}_2}{\int }}\sigma }{}_{\text{b}}\text{d}z=0\text{和}b{\displaystyle \underset{h{}_1}{\overset{h{}_2}{\int }}\sigma }{}_{\text{b}}z\text{d}z={\rm P}\left(e+y\right)\left(27\right)$

　　 式中y为自柱中心算起的挠度。

　　 经推导 (从略, 见原文) , 可得到σ₀-y_m关系曲线见图14, 图中σ₀为偏压柱截面的平均应力, y_m为柱中点的最大挠度。

　　 从图14可见, 曲线最高点A对应的应力σ_c为偏压柱平均应力σ₀的最大值, 它是由稳定状态 (y₁点) 向不稳定状态 (y₂点) 转变的临界点, 因此P_c=Aσ_c即是偏压柱的破坏荷载, 也就是临界荷载。

　　 图14中的虚线 (e=0曲线) 为中心受压柱的应力-挠度曲线。

　　 需要指出的是, 许瓦拉的矩形截面小试件偏压试验所得到的σ₀-y_m关系曲线很好地验证了上述卡门的理论, 强烈支持了卡门提出的关于柱子问题作为稳定问题来考虑的见解。

　　 图15绘出了不同e/r下, 平均应力σ_c=P_c/A与长细比l/r的关系曲线。对于短柱和中长柱, 处于非弹性区, 偏心影响大, 对于长柱, 进入弹性范围, 影响减小, 说明金属材料的非线性性质对弹塑性稳定的影响大。

　　 图16为β=σ_c0/σ_c与l/r的关系曲线 (σ_c0为中心受压柱的临界应力) , 从中可以看出偏心的影响很大, 且在弹性进入非弹性区域影响最大。

　　 综上, 偏压柱的破坏不是由于纤维应力达到某种临界值的结果, 而是在某一临界荷载下, 内外弯曲力矩之间的稳定平衡无法维持。把柱子稳定问题作为应力问题来研究是注定要失败的, 因为这样完全误解了问题的本质。

　　 韦斯脱伽和奥斯古特采用假设柱中线挠曲为长度L余弦曲线的一部分的方法, 将上节的分析大大简化, 见图17。

　　 假定挠曲中线为:

　　 $e+y=\stackrel{—}{{\displaystyle y}}{}_{\text{m}}\cos \alpha x(36)$

　　 式中$\stackrel{—}{{\displaystyle y}}{}_{\text{m}}=e+y{}_{\text{m}},\alpha =\frac{\text{π}}{L}$。

　　 通过一系列的计算, 可得到与上节分析类似的结果。

　　 韦斯脱伽和奥斯古特还研究了具有初弯曲的中心受压柱的极限强度问题。在基本假定附加挠度为半波余弦的基础上, 得到的结果与作者所做的较精确的解差别很小且偏于安全。

　　 耶硕克采用材料应力-应变关系为理想弹塑性曲线的方法 (图18 (a) ) 研究偏压柱的稳定问题。这时柱子曲线为图18 (b) 的实线, 而虚线则代表实际结构钢的柱子曲线。

　　 对矩形截面简支直柱, 受轴向力P和弯矩m_x作用, 见图19。假定柱子中心线为:

　　 $y=y{}_{\text{m}}\sin \frac{\text{π}x}{l}$

　　 第一种情况 (图20 (a) ) :柱凹面边缘达到流限, 凸面为拉应力且在弹性阶段。第二种情况 (图20 (b) ) :柱截面两边缘压、拉应力均达到流限。

　　 经推导得到, 第一种情况:

　　 $\left(\frac{l}{r}\right){}^2=\frac{\text{π}{}^{2}E}{\sigma {}_{\text{c}}}\left[\frac{3\left(\frac{\sigma {}_{\text{y}}}{\sigma {}_{\text{c}}}-1\right)-\kappa }{3\left(\frac{\sigma {}_{\text{y}}}{\sigma {}_{\text{c}}}-1\right)}\right]{}^3\left(52\right)$

　　 第二种情况:

　　 $\left(\frac{l}{r}\right){}^2=\frac{\text{π}{}^{2}E}{\sigma {}_{\text{y}}}\sqrt[]{\frac{\sigma {}_{\text{y}}}{\sigma {}_{\text{c}}}\left(\frac{\sigma {}_{\text{y}}}{\sigma {}_{\text{c}}}-\frac{\sigma {}_{\text{c}}}{\sigma {}_{\text{y}}}-\frac{2}{3}\kappa \right)}\left(53\right)$

　　 由式 (52) , (53) 可作出偏压柱的柱子曲线。表格1a, 1b (见原著) 为按此做出的图15例的柱子曲线表, 其柱子曲线形状与精确解基本相同。

　　 图21为本节方法的近似值与精确值的比较。可以看出, A点下边的差别最大, 这是由于该处的理想应力应变曲线与真实曲线差别大的缘故。下节将给出一个修正这一区域σ_c值的简化方法。

　　 本节采用理想弹塑性应力-应变关系进行了偏压柱的稳定分析, 在辅以下节的局部修正后, 可将分析结果的误差控制在钢材流限的波动范围内, 因此该方法可以作为制订偏心压杆设计方法的基础。

　　 (未完待续)