双向板是成熟的楼盖体系,在国外有广泛的应用。对于框架-核心筒结构,仅设置周边外框梁的重力荷载(预应力)双向平板楼盖体系,在国内也有所应用。其实,采用仅承受重力荷载楼盖体系的结构,只要具有足够的侧向刚度,由于抗侧力体系承担了更多的地震作用,其整体抗震性能至少不会低于设楼面梁的同类结构。而且不设置楼面梁可以在满足净空要求的情况下降低层高,方便管道施工,节约投资。

　　 混凝土抗拉强度约为抗压强度的1/10,为了充分发挥受拉钢筋的强度,受弯构件拉应力区混凝土的开裂是必然的,也是必要的。而且,作为(超)高层建筑楼盖体系的双向板,需要严格控制板厚来减轻结构自重。因此,徐变对长期挠度和裂缝的放大效应是重力荷载作用下双向板楼盖体系在使用极限状态下的主要验算内容,有时还是控制截面配筋设计的主要因素。

　　 双向板的受力特征与梁有明显的区别。主要表现如下:1)对角线附近的截面,产生与弯矩同等数量级的扭矩; 2)可迅速完成塑性铰后的内力重分布,它的塑性变形机构往往是沿对角线的塑性铰线而不是发生在局部截面的塑性铰; 3)板内主拉应力方向随平面位置变化; 4)最大弯矩、最大挠度和最大裂缝宽度往往发生在不同位置:前者一般发生在柱上板带,后两者有可能发生在跨中板带。国内钢筋混凝土有关教材和《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010) ^[1](简称GB 50010—2010)都未涉及计算双向板裂缝宽度和长期开裂挠度的有关内容。工程设计中,若需要验算,往往只能采用板带分析法,按梁来进行近似分析。但这仅仅适用于规则板格和满铺均布荷载的情况。

　　 本文简述了受压混凝土的徐变和裂缝间受拉混凝土对开裂构件刚度硬化效应的基本原理,并以此作为准则,点评了中国、欧洲、美国三本规范有关长期挠度和裂缝宽度计算的条文; 指出欧洲规范的有关条文既适用于梁,又适用于双向板,使用以欧洲规范建立的开裂板单元进行有限元非线性分析是计算双向板长期挠度和裂缝宽度的通用方法; 并利用CSI. SAFE ^[2]完成了有关编程。在叙述了有限元分析双向板长期挠度和裂缝宽度的基本流程后,作为一个算例,使用CSI. SAFE对地下室柱支撑双向顶板进行了使用极限状态下长期挠度和裂缝宽度的验算,并完成了顶板的截面设计。

　　 在长期压应力作用下,由多相、具有初始缺陷复合材料组成的混凝土,其压应变逐渐增大的物理现象被称为徐变;另外一个方面,水泥水化过程中以及混凝土硬化后的很长一段时间内,毛细孔水逐渐流失、蒸发引起混凝土体积干缩,这种长期逐渐干缩的自然现象被称为收缩。收缩与徐变,两者效应相似,均引起钢筋混凝土构件的内力重分布,且可线性叠加。因此,尽管它们伴随发生,为了叙述简洁,在以下讨论中,本文不涉及收缩,也不涉及预应力构件。

　　 设普通钢筋混凝土构件在t₀时刻加载,瞬时应变为ε_c(t₀),瞬时应力为σ_c(t₀)。在维持截面应力不变的情况下,混凝土在t₀→t时间段发生徐变,引起应变增量Δε^σ_c(t,t₀),记作Δε^σ_c(t)或Δε^σ_c。定义应变增量Δε^σ_c与瞬时应变ε_c(t₀)之比φ(t,t₀)为徐变系数(图1),为无量纲的时间函数:

　　 $\phi (t,t{}_0)=\text{Δ}\epsilon {}_{\text{c}}^{\text{σ}}/\epsilon {}_{\text{c}}(t{}_0)(1)$

　　 当t>t₀,按徐变系数的定义,在维持截面应力不变的情况下,计入徐变的应变为:

　　 ε^σ_c(t)=ε_c(t₀)+Δε^σ_c(t)=ε_c(t₀)(1+φ(t,t₀)) (2)

　　 然而,在徐变的过程中,混凝土弹性模量的变化,钢筋混凝土构件内力重分布和预应力筋的松弛(如有)等因素使混凝土截面的应力也发生了变化。若把应力增量记作Δσ_c(t)(不论Δσ_c正负,本文均称为应力增量),Δσ_c又引起应变增量Δε^Δσ_c。那么,在t₀→t时间段的徐变应变,即由徐变引起的应变增量有Δε_c=Δε^σ_c+Δε^Δσ_c两部分组成。其中,Δε^σ_c与应力增量Δσ_c无关,Δε^Δσ_c与应力增量Δσ_c相关。需要注意,应力增量Δσ_c是在t₀→t时间段逐渐累积完成的,其完成过程的模式取决于加载的龄期、加载的速度和大小、混凝土质量、构件形状和环境类别等等。Δε^Δσ_c与Δσ_c之间存在如下的积分关系:

　　 $\text{Δ}\epsilon {}_{\text{c}}^{\text{Δ}\sigma }(t)={\displaystyle {\int }_0^{\text{Δ}\sigma {}_{\text{c}}(t)}\frac{1+\phi (t,\tau )}{E{}_{\text{c}}(\tau )}}\text{d}\sigma {}_{\text{c}}(\tau )(3)$

　　 式中:τ为流动坐标; φ(t,τ)和E_c(τ)为以τ为变量的徐变系数和弹性模量。

　　 显然,若应力的变化在t₀时刻就全部完成,Δσ_c对徐变应变的影响一定大于式(3)的积分表达式。为方便计算,式(3)的积分表达式可近似表示为 ^[2]:

　　 $\text{Δ}\epsilon {}_{\text{c}}^{\text{Δ}\sigma }(t)\approx \text{Δ}\sigma {}_{\text{c}}(t)\frac{1+\chi \phi (t,\tau )}{E{}_{\text{c}}(t{}_0)}(4)$

　　 式中χ=χ(t,t₀)为一个小于1的系数,是时间的函数,与φ(t,τ),E_c(τ)以及σ_c(τ)在t₀→t时间段中的变化规律有关,称为龄期系数。

　　 混凝土强度越高,加载龄期t₀越长,环境的相对湿度越高,应力水平越低,徐变系数φ(t,t₀)和龄期系数χ(t,t₀)越小。研究成果表明,在正常养护的情况下,前者合理的范围在2.5～3.5之间,后者约为0.8 ^[3]。

　　 定义$\stackrel{—}{{\displaystyle E}}{}_{\text{c}}(t,t{}_0)$为混凝土龄期调整弹性模量:

　　 $\stackrel{—}{{\displaystyle E}}{}_{\text{c}}(t,t{}_0)=\frac{E{}_{\text{c}}(t{}_0)}{1+\chi \phi (t,t{}_0)}(5)$

　　 则式(4)可改写为:

　　 $\text{Δ}\epsilon {}_{\text{c}}^{\text{Δ}\sigma }(t)=\text{Δ}\sigma {}_{\text{c}}(t)/\stackrel{—}{{\displaystyle E}}{}_{\text{c}}(t,t{}_0)\begin{array}{cc}& \end{array}(t>t{}_0)(6)$

　　 图2给出了t=t₀→t时间段Δσ_c(t)-Δε^Δσ_c(t)曲线的示意图。

　　 图2反映了徐变过程中的Δσ_c(t)-Δε^Δσ_c(t)曲线具有非线性行为,其斜率为混凝土龄期调整弹性模量$\stackrel{—}{{\displaystyle E}}{}_{\text{c}}(t,t{}_0)$,是徐变系数φ(t,t₀)、龄期调整系数χ(t,t₀)和混凝土瞬时弹性模量E_c(t₀)的函数,是时间的函数。

　　 计入徐变的混凝土总应变有瞬时应变ε_c(t₀),混凝土徐变引起的应变增量ε_c(t₀)φ(t,t₀)和徐变引起应力变化又引起的应变增量Δε^Δσ_c(t)三部分,混凝土总应力由瞬时应力σ_c(t₀)和徐变引起的应力增量Δσ_c(t)两部分组成。即:

　　 $\{\begin{array}{l}\epsilon {}_{\text{c}}(t)=\epsilon {}_{\text{c}}(t{}_0)+\phi (t,t{}_0)\epsilon {}_{\text{c}}(t{}_0)+\text{Δ}\epsilon {}_{\text{c}}^{\text{Δ}\sigma }(t)\\ \sigma {}_{\text{c}}(t)=\sigma {}_{\text{c}}(t{}_0)+\text{Δ}\sigma {}_{\text{c}}(t)\end{array}(7)$

　　 徐变将增大受弯构件受压区混凝土的应变,降低应力,提升中和轴的位置,增大截面曲率、构件挠度和增加裂缝宽度。

　　 对于开裂构件,显然开裂截面的刚度要小于裂缝之间非开裂截面的刚度。把非开裂截面称为状态1,把开裂截面称为状态2(开裂瞬间状态)。对应的钢筋拉应力、拉应变分别记作σ_s1,ε_s1和σ_s2,ε_s2。由于混凝土的早期开裂特性,在使用极限状态下混凝土开裂,但钢筋的应力-应变处于线性关系。这样,无论是梁或单向板还是双向板,在应力-应变坐标平面中,总可以画出二根不同斜率的直线,分别表示状态1和状态2的受拉钢筋应力与应变之间的线性关系 ^[2],见图3。图中σ_sr为钢筋开裂应力;折线OAD为以钢筋应力和平均应变表示的开裂构件应力-应变关系。其中,OA段为开裂前状态,AD段为开裂后状态,刚度明显折减。。

　　 不失问题的一般性,设平面尺寸为l₁×l₂的双向板处于双向轴向受拉状态。拉应力记作σ₁,σ₂,其中主拉应力σ₁方向与l₁平行。当σ₁达到f_ct(相当于GB 50010—2010中的f_tk),截面开裂。略去材料的泊松效应,沿l₁方向的变形特征如下:1)裂缝和裂缝间混凝土的应变使构件长度从l₁伸长至l₁+Δl₁,构件平均拉应变为ε_sm=Δl₁/l₁; 2)裂缝间受拉混凝土具有硬化效应,对构件刚度有所贡献,构件的真实刚度在开裂截面的刚度和非开裂截面的刚度之间; 3)应变沿杆长并不均匀,在非开裂截面处,有:

　　 $\epsilon {}_{\text{s}1}=\epsilon {}_{\text{c}1},\text{且}\epsilon {}_{\text{s}1}<\epsilon {}_{\text{s}2}(8)$

　　 式中ε_c1为非开裂截面处混凝土拉应变。

　　 令Δε_s为开裂截面钢筋应变ε_s2和平均应变ε_sm之差,表示裂缝间受拉混凝土对钢筋应力、应变的折减作用。按图3所示的几何关系,有:

　　 $\text{Δ}\epsilon {}_{\text{s}}=\epsilon {}_{\text{s}2}-\epsilon {}_{\text{s}\text{m}}(9)$

　　 且Δε_s与σ_s2之间呈反比例关系。进一步定义Δε_s,max为钢筋在开裂瞬间状态2的应变和状态1的应变之差,根据试验数据 ^[3]有如下的经验公式:

　　 $\text{Δ}\epsilon {}_{\text{s}}=\text{Δ}\epsilon {}_{\text{s},\max }\cdot \sigma {}_{s\text{r}}/\sigma {}_{\text{s}2}(10)$

　　 由图3可进一步写出:

　　 $\text{Δ}\epsilon {}_{\text{s},\max }=(\epsilon {}_{\text{s}2}-\epsilon {}_{\text{s}1})\cdot \sigma {}_{\text{s}\text{r}}/\sigma {}_{\text{s}2}(11)$

　　 合并式(9),(10)和(11),平均应变计算公式为:

　　 $\begin{array}{l}\epsilon {}_{\text{s}\text{m}}=(1-\zeta )\epsilon {}_{\text{s}1}+\zeta \epsilon {}_{\text{s}2}(12)\\ \zeta =1-(\sigma {}_{\text{s}\text{r}}/\sigma {}_{\text{s}2}){}^2(13)\end{array}$

　　 式中ζ为0～1之间的无量纲刚度插入系数,反映截面开裂的程度,ζ=0表示截面未开裂。

　　 当σ₁达到f_ct,截面最薄弱某处的混凝土退出工作,向两侧回缩并发生粘结滑移,形成第一条裂缝。开裂截面处的钢筋将单独承担轴向拉应力的作用,应变增大。随着离裂缝距离的增大,钢筋与周围混凝土之间的粘结力逐渐地把钢筋应力传递至混凝土。经过一定的长度s_r0后,混凝土纤维的应力上升至f_ct,在截面另一个薄弱处,出现了第二条裂缝。随着荷载逐渐增大,重复出现裂缝,直至裂缝间距稳定在某一个长度。

　　 设受拉区钢筋总截面面积为A_s,平均粘结应力为f_bm。若仅有一种钢筋,直径为d_b,列出力的平衡公式如下:

　　 $A{}_{\text{c}\text{e}\text{f}}f{}_{\text{c}\text{t}}=s{}_{\text{r}0}f{}_{\text{b}\text{m}}(4A{}_{\text{s}}/d{}_{\text{b}})(14)$

　　 式中:(4A_s/d_b)为全部受拉钢筋周长之和; A_cef为包裹全部受拉钢筋的混凝土有效面积。对于受拉构件,A_cef为图4中的阴影部分。

　　 试验数据表明,f_bm与f_ct之间成正比例关系。令κ₁=f_ct/f_bm,代入式(14)整理得:

　　 $s{}_{\text{r}0}=\kappa {}_1(d{}_{\text{b}}/4\rho {}_{\text{r}}),\rho {}_{\text{r}}=A{}_{\text{s}}/A{}_{\text{c}\text{e}\text{f}}(15)$

　　 除粘结力特征以外,影响裂缝间距和宽度的主要因素还有混凝土保护层厚度和纵向钢筋的直径、间距和截面面积等。一般地,增加保护层的厚度会增加裂缝间距和宽度,细而密的纵向钢筋会减少裂缝间距和宽度。综合各种因素,在式(15)的基础上可以写出以混凝土保护层厚度c_c,受拉钢筋直径d_b和配筋率ρ_r,计算裂缝平均间距s_rm的半经验表达式:

　　 $s{}_{\text{r}\text{m}}=\lambda {}_{1}c{}_{\text{c}}+\lambda {}_{2}d{}_{\text{b}}/\rho {}_{\text{r}}(16)$

　　 式中λ₁,λ₂分别为反映保护层影响和粘结力特性的经验系数。

　　 另一方面,式(12)中的ζε_s2表示平均应变与裂缝间受拉混凝土应变之差。若裂缝平均间距s_rm已知,裂缝的平均宽度w_m为:

　　 $w{}_{\text{m}}=\zeta \epsilon {}_{\text{s}2}s{}_{\text{r}\text{m}}(17)$

　　 显然,最大裂缝宽度w_max可以写为裂缝平均宽度与经验放大系数λ₃的乘积:

　　 $w{}_{\max }=\lambda {}_{3}w{}_{\text{m}}=\lambda {}_3\zeta \epsilon {}_{\text{s}2}s{}_{\text{r}\text{m}}(18)$

　　 式(16)～(18)是计算裂缝间距和宽度的最基本半经验表达格式。

　　 沿l₂方向的开裂机理和裂缝宽度的计算方法与沿l₁方向相同,不予赘述。进一步指出,上述基本原理和应力-应变关系也适用于承受重力荷载的双向板。但裂缝宽度垂直于主拉应力方向,应沿主拉应力方向进行分析。双向板的主应力方向是随平面位置而变化的。这也许是构建整块板裂缝间距、宽度和长期开裂挠度半经验计算公式的难点之一。

　　 ACI 318委员会认为结构构件中的裂缝宽度具有高度的离散性 ^[5]。从ACI 318-02 ^[6]起,使用控制纵向钢筋的间距来实现限制裂缝宽度的目的。对于水池等对裂缝有特殊要求的构件,可按ACI的研究报告进行考虑徐变的裂缝宽度的验算 ^[7,8]。

　　 ACI 318-08 ^[5]根据Branson D E的研究成果 ^[9],给出了考虑开裂影响,梁的截面有效惯性矩I_e的计算公式:

　　 ${\rm I}{}_{\text{e}}=({\rm M}{}_{\text{c}\text{r}}/{\rm M}{}_{\text{a}}){}^3{\rm I}{}_{\text{u}\text{t}}+(1-({\rm M}{}_{\text{c}\text{r}}/{\rm M}{}_{\text{a}}){}^3){\rm I}{}_{\text{c}\text{r}}(19)$

　　 式中:I_ut,I_cr分别为非开裂换算截面(状态1)的惯性矩和开裂换算截面(状态2)的惯性矩; M_a为最大弯矩; M_cr为开裂弯矩; 1-(M_cr/M_a)³相当于前述的状态1和状态2的插入系数ζ,且:

　　 ${\rm M}{}_{\text{c}\text{r}}=f{}_{\text{r}}{\rm I}{}_{\text{u}\text{t}}/y{}_{\text{t}},f{}_{\text{r}}=7.5\sqrt{f{}_{{\text{c}}^{\prime }}}(20)$

　　 式中:y_t为截面中和轴至受拉表面的距离; f_r为混凝土开裂模量。

　　 对于梁的长期挠度,ACI 318-08 ^[5]使用放大系数λ_Δ计算徐变的附加长期挠度:

　　 $\lambda {}_{\text{Δ}}=\xi /(1+50{\rho }^{\prime })(21)$

　　 式中:ρ′为受压钢筋的配筋率; ξ为与时间相关的长期荷载效应系数,ξ_max=2.0。

　　 按粘结滑移和混凝土回缩的组合模型,GB 50010—2010给出了考虑长期作用影响,梁最大裂缝宽度w_max的计算公式:

　　 $w{}_{\max }=\alpha {}_{\text{c}\text{r}}\zeta \frac{\sigma {}_{\text{s}}}{E{}_{\text{s}}}\left(1.9c{}_{\text{s}}+0.08\frac{d{}_{\text{e}\text{q}}}{\rho {}_{\text{t}\text{e}}}\right)(22)$

　　 式中:α_cr为构件受力特性系数,考虑了裂缝的不均匀性、长期荷载效应、裂缝间混凝土的硬化效应、受力特征等,对于受弯构件,取α_cr=1.9; σ_s为开裂截面的钢筋应力; σ_s/E_s为开裂截面,即状态2的钢筋应变ε_s2; ζ′为裂缝间纵向受拉钢筋应变的不均匀系数,相当于状态1和状态2的插入系数:

　　 ${\zeta }^{\prime }=1.1(1-{\rm M}{}_{\text{c}\text{r}}/{\rm M})(23)$

　　 式中M_cr,M分别为开裂弯矩和外部作用弯矩。

　　 式(22)等号右侧的括号项为平均裂缝间距l_cr,相当于s_rm。对比式(16),λ₁=1.9,λ₂=0.08。若取λ₃=α_cr=1.9,式(22)与式(18)具有相同的格式。

　　 可以认为,GB 50010—2010给出的最大裂缝宽度w_max公式是中国学者以梁的试验数据得到的修正系数,按徐变、裂缝基本原理建立的半经验公式。

　　 对于梁的长期挠度,GB 50010—2010根据材料力学基本公式和平均曲率的概念,考虑了开裂影响,梁的短期刚度B_s基本公式如下:

　　 $B{}_{\text{s}}={\rm M}{}_{\text{k}}/\psi {}_{\text{m}}(24)$

　　 式中:M_k为标准组合得到的弯矩标准值; ψ_m为平均曲率。

　　 使用系数θ将短期刚度折减为长期刚度B_l,即:

　　 $B{}_l=B{}_{\text{s}}/\theta ,\theta =2-0.4({\rho }^{\prime }/\rho )(25)$

　　 式中:ρ′,ρ分别为纵向受压钢筋和受拉钢筋配筋率; 若仅考虑受拉钢筋的作用,θ=2。

　　 欧洲规范 ^[4](简称EC 2∶2004)第7.3.4条给出最大裂缝宽度w_k(相当于w_max)计算公式为:

　　 $w{}_{\text{k}}=s{}_{\text{r},\max }(\epsilon {}_{\text{s}\text{m}}-\epsilon {}_{\text{c}\text{m}})(26)$

　　 式中符号含义与规范GB 50010—2010中公式8.1.2-1相同。

　　 钢筋平均应变ε_sm与混凝土平均应变ε_cm之差:

　　 $\epsilon {}_{\text{s}\text{m}}-\epsilon {}_{\text{c}\text{m}}=\frac{\sigma {}_{\text{s}}-k{}_{\text{t}}\frac{f{}_{\text{c}\text{t},\text{e}\text{f}\text{f}}}{\rho {}_{\text{e}\text{f}\text{f}}}(1+\alpha {}_{\text{e}}\rho {}_{\text{e}\text{f}\text{f}})}{E{}_{\text{s}}}\ge 0.6\frac{\sigma {}_{\text{s}}}{E{}_{\text{s}}}(27)$

　　 式中:α_e=E_s/E_cm为钢筋与混凝土弹性模量之比; k_t为荷载周期系数, 长期荷载取k_t=0.4,短期荷载取k_t=0.6;ρ_eff为纵向受拉钢筋配筋率; f_ct,eff为混凝土发生第一条裂缝时的有效开裂强度。对式(27)稍加整理,得 ^[10]:

　　 $\begin{array}{l}\epsilon {}_{\text{s}\text{m}}-\epsilon {}_{\text{c}\text{m}}=\zeta \epsilon {}_{\text{s}2}\ge 0.6\epsilon {}_{\text{s}2}(28)\\ \zeta =(1-k{}_{\text{t}}\sigma {}_{\text{s}\text{r}}/\sigma {}_{\text{s}2})\ge 0.6(29)\end{array}$

　　 式(28)表明,钢筋和混凝土平均应变差可以表达为开裂截面钢筋的应变与状态1和状态2插入系数ζ的乘积。

　　 当钢筋间距不大于5(c+ϕ/2)时,EC 2∶2004规定最大裂缝间距s_r,max为:

　　 $s{}_{\text{r},\max }=k{}_{3}c+k{}_{1}k{}_{2}k{}_4\text{ϕ}/\rho {}_{\text{e}\text{f}\text{f}}(30)$

　　 式中:c为混凝土保护层厚度; ϕ为钢筋直径; k₁为粘结力特性系数,变形钢筋取k₁=0.8,光圆钢筋取k₁=1.6; k₂为受力特性系数,受弯构件取k₂=0.5,受拉构件取k₂=1.0;k₃为保护层系数,取k₃=3.4; k₄为经验系数,取k₄=0.425 。

　　 EC 2∶2004取s_r,max=1.7s_rm。式(30)与式(16),式(26)与式(18)具有相同的形式。对于受弯构件、变形钢筋,有λ₁=2,λ₂=0.1,λ₃=1.7。

　　 EC 2∶2004第7.4.3条给出了受弯构件考虑开裂影响的变形参数α的通用公式:

　　 $\alpha =\zeta \alpha {}_{\mathrm{Ⅱ}}+(1-\zeta )\alpha {}_{\mathrm{Ⅰ}}(31)$

　　 式中:变形参数α可以为曲率、转角、应变以及挠度。下标Ⅰ和Ⅱ表示状态1(非开裂截面)和状态2(开裂截面)。

　　 EC 2∶2004引入了系数β₁,β₂,对开裂构件的应力-应变关系曲线(图3)进行如图5的修正后,定义插入系数ζ″为:

　　 ${\zeta }^{″}=1-\beta {}_1\beta {}_2(\sigma {}_{\text{s}\text{r}}/\sigma {}_{\text{s}2}){}^2(32)$

　　 式中:β₁为粘结力特性系数,变形钢筋取β₁=1.0; β₂为荷载系数,短期荷载取β₂=1.0,长期荷载取β₂=0.5。图5中平台长度AC反映了β₁,β₂的影响。

　　 EC 2∶2004在前述徐变基本原理的基础上,定义了混凝土有效弹性模量:

　　 $E{}_{\text{c},\text{e}\text{f}\text{f}}=\frac{E{}_{\text{c}\text{m}}}{1+\phi (t{}_{\infty },t{}_0)}(33)$

　　 式中:φ(t_∞,t₀)为极限徐变系数,按惯例,取t_∞=10⁴d; E_c,eff相当于前述的混凝土龄期调整弹性模量$\stackrel{—}{{\displaystyle E}}{}_{\text{c}}(t,t{}_0)$。对于长期荷载效应,规范规定使用E_c,eff替代E_cm。

　　 中国、欧洲、美国规范均使用1-(σ_sr/σ_s2)^p或1-(M_cr/M)^p的形式反映裂缝间受拉混凝土的刚度硬化效应,幂指数p=1～3。

　　 GB 50010—2010和EC 2∶2004裂缝宽度的计算方法接近,公式的骨架参数和格式相同。但前者的经验系数来自钢筋混凝土梁的试验数据,仅适用于梁; 后者却既适用于梁,也适用于双向板。对于一般的环境,ACI 318-08通过控制纵向钢筋的间距来限制裂缝宽度。

　　 GB 50011—2010使用刚度折减系数θ将短期刚度折减为长期刚度后计算长期挠度。ACI 318-08先计算考虑刚度折减后的短期挠度,使用放大系数λ_Δ计算徐变的附加长期挠度,再通过叠加短期变形与附加变形来计算长期挠度。中国、美国规范的计算公式仅适用于梁。EC 2∶2004全面接纳了徐变基本理论,使用混凝土有效弹性模量替代弹性模量来计算长期挠度,式(31)适用于梁,也适用于双向板。

　　 综上所述,可以直接使用EC 2∶2004给出的计算公式编程后,进行考虑徐变效应和受拉混凝土刚度硬化效应的双向板裂缝宽度和长期挠度的有限元非线性分析。

　　 使用植入上述徐变和裂缝应力-应变关系的板单元进行有限元非线性分析是验算裂缝宽度、长期开裂挠度的通用方法,既适用于梁,也适用于双向板。其基本分析流程和逻辑大致如下:

　　 (1)按弹性分析进行截面设计。输入板的几何信息、材料信息和荷载信息,划分网格,生成板单元,按混凝土瞬时本构关系进行各向同性体弹性分析。按规定的荷载组合,求解单元节点挠度w^e(上标e表示单元),一阶偏导数(∂w/∂x)^e,(∂w/∂y)^e和二阶偏导数(∂w²/∂x∂y)^e。按单元形函数得到单元及整块板的弹性挠度场w(x,y)及弹性曲率ψ_x,ψ_y,ψ_xy; 按板的弹性本构关系计算弯矩M_x,M_y,M_xy ^[11],进行配筋设计。

　　 (2)按单元判别截面是否开裂。计算主拉应力方向上的开裂弯矩M^e_cr,外部作用弯矩M^e以及相应的钢筋开裂应力σ^e_sr和开裂截面的钢筋应力σ^e_s2。当考虑徐变时,使用混凝土龄期调整弹性模量$\stackrel{—}{{\displaystyle E}}{}_{\text{c}}(t,t{}_0)$。

　　 (3)若开裂,计算非开裂截面和开裂截面的刚度插入系数ζ^e,以计入受拉区裂缝间混凝土的影响。若未开裂,取ζ^e=0。

　　 (4)根据换算截面和龄期调整换算截面,按单元计算主拉应力方向上的非开裂截面和开裂截面的曲率ψ^e₁和ψ^e₂。

　　 (5)沿主拉应力方向,计算单元平均曲率:

　　 $\psi {}_{\text{m}}^{\text{e}}=(1-\zeta {}^{\text{e}})\psi {}_1^{\text{e}}+\zeta {}^{\text{e}}\psi {}_2^{\text{e}}(34)$

　　 (6)按平均曲率计算单元刚度修正系数。

　　 (7)修正刚度,重新进行有限元分析,得到修正后挠度。

　　 (8)迭代计算,直至最大挠度前后两次迭代的差值小于容许误差或到达设定的最大迭代次数。

　　 上述流程中,重点是按单元、按主拉应力方向计算; 当考虑徐变效应时,使用混凝土龄期调整弹性模量。

　　 利用CSI. SAFE按EC-2∶2004有关条文构建了板单元,并按上述基本分析流程的逻辑编制了双向板分析与截面设计的有限元分析模块 ^[2]。作为案例,本文使用CSI. SAFE对地下室柱支承双向顶板进行分析。

　　 设地下室层高5m,柱截面尺寸1.0m×1.0m,柱网间距9.0m,板厚0.3m,厚跨比1/30,混凝土强度等级C40,钢筋HRB400。二a级环境类别(相当于EC 2∶2004的XC2)。考虑覆土厚度1.5m,活载3.5kN/m²。取Y向为外层钢筋,钢筋的混凝土保护层厚度20mm。软件自动计算X向钢筋保护层。5×5跨区域三维分析模型见图6。

　　 本案例主要考察中间板块区格。为了显示清晰起见,以下分析结果仅显示中间区格。

　　 图7给出双向板弹性分析的主应力迹线。图中,迹线的灰度和长短表示应力的大小,走向表示应力的方向,箭头的朝向表示应力的拉压。主应力迹线图清晰地表现了平面内主应力方向和大小随平面位置发生明显变化的双向板受力特征。

　　 按GB 50010—2010进行强度设计。表1给出了按板带、板底和板面区分的纵向钢筋直径和间距。柱支承双向板的冲切与挠度和裂缝无关,本案例不予赘述。

　　 图8为CSI. SAFE裂缝宽度(Crack Width)菜单的截屏。截屏中的第一项为C40混凝土换算成EC 2∶2004的混凝土有效开裂强度。

　　 图9给出了板顶和板底的裂缝开展方向和裂缝宽度。裂缝方向与主应力方向(图7)一致。最大板面裂缝宽度0.296mm发生在跨中板带邻近柱上板带的端部区域; 最大板底裂缝宽度0.263mm发生在跨中板带邻近柱上板带的跨中区域。符合双向板的受力特征和按设计板带进行配筋的设计方法。

　　 本案例符合板带法验算裂缝宽度和长期挠度的适用条件。表2列出了按有限元法和板带法分析的裂缝宽度汇总,两者相互印证。

　　 EC 2∶2004第7.3.1条XC2环境等级限定的容许最大裂缝宽度w_lim=0.3mm。若执行EC 2∶2004,满足要求。

　　 图10为CSI. SAFE荷载工况数据菜单截屏。截屏中第一项为极限徐变系数φ(t_∞,t₀)。本案例取φ(t_∞,t₀)=3.5。EC 2∶2004规定,长期挠度应同时考虑混凝土的徐变和收缩效应。截屏中第二项为混凝土自收缩应变ε_cs,取值ε_cs=0.000 25。

　　 CSI. SAFE以叠加原理计算总的长期开裂挠度f_total:1)持续荷载(D+0.4L)引起的考虑开裂的长期挠度f_lk; 2)短期荷载(D+L)引起的考虑开裂的短期挠度f_sk1; 3)持续荷载(D+0.4L)引起的考虑开裂的短期挠度f_sk2; 4)f_total=f_lk+f_sk1-f_sk2。

　　 图11给出了弹性挠度和长期开裂挠度的分布图。尽管两者的分布状态一致,但最大弹性挠度15.3mm,最大长期开裂挠度60.5mm,两者之比约为3.95,超出了工程设计中按3倍的弹性挠度估算长期开裂挠度的惯例,值得注意。进一步,若执行EC 2∶2004第7.4.1条容许最大挠跨比为1/250的规定,需要按3/1 000的跨度起拱,且调整跨中板带板底纵向钢筋配筋为20@150。

　　 表2列出了基于板带分析法,分别按EC 2∶2004公式和按GB 50010—2010公式计算得到的裂缝宽度和长期挠度。由于本案例结构布置相当规则,按有限元分析、 EC 2∶2004和GB 50010—2010板带法三者分别算出的裂缝宽度的差别约5%,长期挠度的差别约10%。由于GB 50010—2010公式中的经验系数均采用了梁的试验数据,对于不规则双向板裂缝和长期挠度分析的适用性,有待进一步研究。

　　 论述了徐变和裂缝计算的基本原理,解读了规范公式的理论背景,且对双向板案例进行了有限元分析,得到如下几点结论:

　　 (1)受压混凝土的徐变和裂缝间受拉混凝土的刚度硬化是使用极限状态下验算裂缝宽度和长期开裂挠度的两个最基本效应。徐变系数φ(t,t₀),混凝土龄期调整弹性模量$\stackrel{—}{{\displaystyle E}}{}_{\text{c}}(t,t{}_0)$和刚度插入系数ζ是其中三个最重要的参数。当跨厚(高)比突破规范限值以及板厚(梁高)增加有困难时,应予以考虑。

　　 (2)有限单元非线性分析是使用极限状态下验算双向板裂缝宽度和长期开裂挠度的通用方法。CSI. SAFE在EC 2∶2004有关条文的基础上,完成了植入徐变效应和裂缝间受拉混凝土刚度硬化效应的开裂板单元的编程,使用方便。

　　 (3)EC 2∶2004全面接纳上述徐变和裂缝展开及计算的基本理论。若使用有限单元法进行分析时,建议配套使用EC 2∶2004的裂缝宽度和长期开裂挠度的限值。

　　 (4)双向板的主应力方向随平面位置变化,计算梁的裂缝宽度和长期开裂挠度的半经验公式并不完全适用于双向板。但对于承受满布均布荷载的规则双向板区格,采用板带分析法,若按EC 2∶2004提供的公式进行近似分析,可以得到较为满意的结果; 若按GB 50010—2010提供的公式,其分析结果需要专门研究。

　　 (5)承受重荷载的柱支承双向板,仅满足规范跨厚比限值,未必一定能满足裂缝宽度和长期开裂挠度的验算。长期开裂挠度为弹性挠度3倍左右的工程经验也未必一定安全。使用极限状态的裂缝宽度和长期开裂挠度有时也许是截面设计的控制指标。关于这一点,在进行密肋楼盖设计中,需要特别引起重视。