近年来, 我国学者运用分形维数对市政工程的应用已有大量研究, 例如:程永前等采用计盒法计算了排水管网分形维数, 用来描述管网的空间分布特征, 并通过了计算结果与实际情况的验证^[1];晋良海等^[2]采用盒维数法来表示区域供水管网覆盖形态, 以标准区域覆盖深度为基准测算了目标区域供水管网的覆盖度, 并以此来作为评价供水管网布置的合理性指标;叶健等^[3]运用K-means算法、层次分析法、Prim算法, 形成城市供水管网规划方案, 并在北方某城市得到应用, 其管网运行与管理效果良好。

尽管我国市政发展已较为成熟, 但诸如四川、南京、武汉等多个省市依然频繁发生城市内涝现象, 这表明我国排水体制、管网规划、建立尚不完善。本文运用分形维数对西藏林芝中心城区排水管网进行研究, 并得出相关的分析与结论。

分形可分为有规分形与无规分形2种, 有规分形具有严格的自相似性, 而无规分形是具有统计学意义上的自相似分形。排水管网是一种统计分形, 在同样的管网密度条件下, 管线密度分布越均匀, 管网的分形维数就越高。盒维数是一种常用解决分形图形分维的计算方法。林芝市中心城区排水工程专项规划污水系统管线总长度为109.16km, 应用计盒法计算污水管网分形维数, 结果如图1a所示。

填充边长为r的小盒子, 形成了图1a的盒子网。曲线与盒子相交的记为非空盒子, 用N_r表示。取非空盒子数量与盒子边长倒数值的对数值之比的极限^[4], 再根据文献^[5,6]的修正, 则得到曲线的分形维数———Hausdorff分形维数 (D₀) , 见式 (1) :

林芝市中心城区排水工程专项规划雨水系统管线总长度为81.59km。根据上述污水管道的计算方法, 同理可得到雨水管道盒维数示意图, 如图1b所示。

根据上述方法, 在图1中分别选取9个标度, 分别对应方格实际边长 (r) 为16km, 8km, 4km, 2km, 1km, 1/2km, 1/4km, 1/8km, 1/16km, 及不同边长对应的非空盒子数 (N_r) , 如表1所示。

将表1中的数据绘制成双对数函数, 以ln (1/r) 为变量, lnN_r为因变量, 得到排水系统专项规划r与N_r的双对数关系。通过最小二乘法对数据散点进行一元线性拟合, 得到排水工程专项规划的计盒维数量测结果图, 如图2所示。

图2中点列呈对数线性分布, 拟合直线的斜率即为排水管网的分形维数。通过线性拟合, 得出排水管网的双对数拟合方程及盒维数, 如表2所示。

表2中的双对数拟合方程, y为lnN_r, x为ln (1/r) 。根据表2中的双对数拟合方程, 修正盒维数的计算方程见式 (2) :

式中D₀———盒维数;

α———修正系数。当盒子的边长 (r) 取1个单位时, α=lnN (_r=1) 。

根据图1排水工程规划图, 可把污水系统分为2个区, 雨水系统分为4个区。污水系统的管网长度为109.16km, 分形维数为1.397 7;雨水系统的管网长度为81.59km, 分形维数为1.337 5。

2个系统相比较, 污水系统管线较长, 管线布置连贯。而雨水系统管线布置较分散, 这因为雨水管道出水口可直接排放至尼洋河中, 不用收集至污水处理厂导致。雨水管网的分形维数较小, 可能由于雨水管线总长度短且管网布置较分散所致。

采用盒维数与半径维数相结合的方式, 对排水管网进行研究会更加全面透彻。半径维数类似于盒维数, 可分为长度—半径维数及分枝半径维数。排水管网长度—半径维数可刻画排水管网的空间占据性, 描述排水管网的通达性^[7]。长度—半径维数反映了排水管网的密度分布从测算中心向周边区域的变化情况。维数值越高, 表示随着半径增大, 排水管网密度从测算中心向周围地域的递减速率变慢, 即排水管网的密度较大;反之, 则反映排水管网的密度递减速率较快, 其密度较低^[8]。

以排水管网污水系统规划图的中心点为测量中心作圆, 取L_r为半径r区域内所有排水管线的加权总长度 (见图3a) , 其维数方程^[9]简化后见式 (3) :

其中D_L———长度—半径维数;

α———当r=1时所对应的lnL_r值。

以污水管网的平面布置与半径示意图为例, 同其方法与原理, 作出雨水管网的平面布置与半径示意图, 如图3b所示。

在图3中, 从测量中心以半径取1km为标度作圆, 直至圆把管网全部覆盖, 所对应圆内加权总长度为L_r。得出林芝市中心城区排水工程专项规划r与L_r的实测值, 如表3所示。

将表3中的数据 (除半径为9km的圆外, 因为其覆盖了排水管网, 但并未被充满) 绘制成双对数函数, 以lnr为变量, 以lnL_r为应变量, 得到排水系统专项规划r与L_r的双对数关系散点图。通过最小二乘法对数据散点进行一元线性拟合, 得到排水工程专项规划的长度—半径维数量测结果, 如图4所示。

根据图4可知, 量测结果点列呈线性分布, 拟合直线的斜率即为排水管网的半径维数。遂通过线性拟合, 得出排水管网的双对数拟合方程及长度—半径维数, 如表4所示。

根据表4可知, 雨水管网维数值略高于污水管网, 究其原因, 雨水管网分区多, 整体分布较分散, 但每个分区内部分布较集中, 这符合林芝市中心城区采用整体分散、相对集中的规划模式。

采用盒维数和长度—半径维数对西藏林芝市中心城区的污水收集系统与雨水收集系统开展研究, 分形维数值可反映该区域排水管网布置是否合理、功能是否完善, 密度及复杂度是否需要加强等规划中存在的问题。

(1) 污水管网的盒维数为1.397 7, 相关系数为0.998 4;雨水管网的盒维数为1.337 5, 相关系数为0.998 3。排水管网的盒维数小于西安、天津、深圳、长沙、北京市周边小区等市政管网^[9,10]。晋良海等^[2]的研究结果表明盒维数为1.661可以作为该区域供水管网布置是否合理、功能是否完善的标准, 兰代萍^[11]的研究表明路网规划的盒维数理想取值为1.585～2。把上述结果应用到林芝市中心城区的排水管网中, 污水管网和雨水管网的盒维数均小于1.661, 且不在理想取值范围内, 这表明排水管网布置及功能需进一步完善。究其原因, 林芝市中心城区面积小, 人口少, 管网布置整体分散、相对集中。

(2) 污水管网的长度—半径维数为1.132 7, 相关系数为0.970 2;雨水系统的长度—半径维数为1.134, 相关系数为0.968 8。这与交通网络半径维数1.6～1.8的成熟度尚有距离^[12], 满足我国原油半径维数平均值1.13^[8], 表明林芝市中心城区的排水管网已呈现出明显的分形特征, 但密度及复杂度还需加强, 还有很大的发展空间, 这与林芝建设不完善, 交通和管网不及内地发达等有着很大的关系。

(3) 对该区域的排水管网而言, 盒维数大于半径维数, 其相关系数也大于半径维数, 表明采用盒维数对该区域的排水管网开展研究更合适。综合分析, 盒维数的使用条件为管网布置密集, 由中心向外布置尽可能呈圆状, 计算简便, 盒维数也较高, 较容易应用到密度空间;当图形分布较复杂时, 采用长度—半径维数来分析比盒维数要简便, 且更容易应用到距离空间, 维数值也较大于同管网的盒维数值。

本次案例分析中, 人为计算分形维数值过程较繁琐, 且无法定量评定分形维数值, 故建立排水管网分形维数指标及计算机仿真模型为下一步的研究方向。

由于西藏林芝市中心城区面积小、人口少、建设不完善、道路及交通不发达等实际条件, 导致排水管网整体分散、相对集中。采用盒维数及长度—半径维数对其分析, 排水管网的密度及复杂度还需加强。

污水管网现有2个分区, 应增加管道, 两头相连, 使其成为一个整体, 成为树状管网, 这不仅增加了管网的密度, 也加大了管网的连通性, 分形维数值也必将会增大;雨水管网现有4个分区, 4个分区依次连接, 总体布置为环状管网, 增大雨水收集率, 使排水管道经济化, 增大了管网的利用率。对于林芝市中心城区排水管网的建设和规划, 需要从排水管网的平面布置规划和建设规模2方面进行优化和调整。