地震作用计算通常采用基于弹性地震反应谱的底部剪力法和振型分解反应谱法。涉及到地震影响系数值时, 需要提供建筑物的自振周期值。其中采用振型分解反应谱法时, 需要提供第二振型、第三振型等高阶振型的周期值。而目前建筑结构自振周期的计算方法可以分为理论法和经验法。理论法根据动力学理论和方法进行计算分析, 其求解过程较为繁琐。而经验法利用已有数据统计分析, 所得的经验公式可以大大简化求解过程, 是结构选型和初步设计的常用方法。除基本周期外, 利用高阶振型与基本振型周期比值的统计结果来提供高阶振型周期也是一种实用的方法。同时目前我国高层尤其是超高层建筑迅速发展, 其中我国高规^[1]规定10层及10层以上或高度超过28m的住宅建筑以及高度超过24m的其他民用钢筋混凝土结构称为高层建筑结构;当建筑高度超过100m时, 称为超高层建筑。但是过去的经验公式大部分是基于50m以下高层建筑结构建立的, 如将其统计规律应用到高度更高的高层建筑结构上, 其合理性和精度是否能满足当今的情况存在疑问。鉴于此, 本文收集大量的50m以上高层建筑周期资料, 对其进行分析比较, 最终得到我国高层及超高层混凝土与混凝土-钢混合结构自振周期的统计结果, 以达到方便工程应用的目的。

　　 通过查阅资料, 选取了我国自20世纪80年代已建或已通过超限审查的414栋高层及超高层建筑结构为数据源^[2], 其结构高度均超过50m, 包含了绝大部分300m以上的超高层建筑, 其中最高建筑为597m, 同时收集了15个振动台试验数据^[3,4,5,6]以及24个脉动测试及风致结构振动实测数据^{[7,8,9,10,11]}进行对比。其中结构为钢筋混凝土结构或混合结构, 不包含纯钢结构;结构形式为剪力墙、框架-剪力墙、框架-核心筒;考虑到结构高度在50m以上, 则不选取框架结构。这表明本文的统计对象和分析结果在50m以上的建筑结构中具有广泛的代表性。在这些数据中, 也有部分数据包括了第二振型和第三振型的结果。因而本文重点对结构基本自振周期, 以及第二振型和第三振型的周期值和基本振型周期的比值进行分析和比较。

　　 经验计算公式是通过对已建成或在建的建筑进行测试和统计分析得到的, 各国规范均提出了不同的高层建筑的基本自振周期估算公式:

　　 (1) 我国高规^[1]:

　　 纯框架结构:

　　 剪力墙结构:

　　 框架-剪力墙结构:

　　 式中:n为建筑层数;H为结构高度。

　　 (2) 美国FEMA 450^[12]:

　　 钢筋混凝土框架结构:

　　 偏心支撑钢框架和防屈曲支撑框架结构:

　　 其他结构:

　　 由于现在高层建筑进入快速发展阶段, 而经验公式统计的建筑物高度较低, 对于目前高层建筑不一定适用, 因而有必要对其进行分析、讨论。

　　 高层及超高层建筑的基本自振周期与许多因素相关, 各国规范大多按结构类型和抗震设防烈度等因素分开独立统计。而由于抗震设防烈度分类而得到统计结果并没有良好的相关性, 故本文先对不同结构类型的高层建筑的计算数据进行拟合。

　　 如图1所示, 将结构分成剪力墙、框架-剪力墙、框架-核心筒三类, 进行线性拟合, 得到的估计公式如下:

　　 剪力墙结构 (图1 (a) ) :

　　 T₁=0.022H-0.036 (相关系数R=0.904) (7)

　　 框架-剪力墙结构 (图1 (b) ) :

　　 T₁=0.020H+0.398 (相关系数R=0.897) (8)

　　 框架-核心筒结构 (图1 (c) ) :

　　 T₁=0.014H+1.442 (相关系数R=0.888) (9)

　　 将不同结构的拟合公式进行对比, 见图2, 由图1, 2及拟合曲线公式 (公式 (7) ~ (9) ) 可得:

　　 (1) 剪力墙结构的数据点在建筑高度200m以下, 框架-剪力墙结构的数据点在340m以下, 主要在200m以下, 而框架-核心筒结构数据点在600m范围内均有分布, 主要分布在140m以上。

　　 (2) 剪力墙结构与框架-剪力墙结构拟合曲线相近。实际上, 我国高规中剪力墙结构基本自振周期公式 (2) 和框架-剪力墙结构基本自振周期公式 (3) , 当建筑层高在3~4m左右时也十分接近。

　　 (3) 在建筑高度小于160m时, 相同高度下结构的基本自振周期大小关系如下:框架-核心筒结构>框架-剪力墙结构>剪力墙结构, 拟合曲线到达190m之后, 框架-核心筒结构同一高度的基本自振周期逐渐小于框架-剪力墙结构的基本自振周期。三种结构的整体离散性较大。

　　 从公式 (7) ~ (9) 来看, 根据结构类型采用线性拟合的统计结果虽然有良好的相关性, 但为了进一步简化, 本文采用结构高度为参数变量对所有数据进行公式拟合。

　　 首先对414栋高层建筑的计算数据进行拟合, 图3为计算结构基本自振周期T₁与结构高度H的关系。由图3可以发现, 随着高度的增加, 结构的基本自振周期增长速度趋于缓慢。经过反复拟合与比较, 以抛物线形式进行拟合的效果较好, 所得的统计公式如下:

　　 当50m≤H<250m时:

　　 当H≥250m时:

　　 对振动台试验数据进行拟合 (图4 (a) ) , 所得的估计公式为:

　　 对脉动测试及风致结构振动实测数据进行拟合 (图4 (b) ) , 所得的估计公式为:

　　 其中, 振动台试验的拟合曲线只是作为对比曲线。

　　 将之前所得的剪力墙结构、框架-剪力墙结构、框架-核心筒结构及不区分结构类型的基本自振周期与其高度H关系的拟合曲线绘于图5。

　　 由图5及之前结果分析可以发现, 不区分结构类型的基本自振周期的拟合曲线跟剪力墙结构以及300m以下的框架-剪力墙结构的拟合曲线有良好的一致性;跟140~200mm范围内框架-核心筒结构的拟合曲线有良好的一致性。而如图1 (b) 所示, 框架-剪力墙结构数据点主要分布在200m以下, 而300m以上数据点很少。同时如图1 (c) 所示, 在140m以下框架-核心筒结构数据点很少, 在50~140m范围主要是以剪力墙及框架-剪力墙结构为主。由此可得, 不区分结构类型的基本自振周期T₁与其高度H关系的拟合曲线很好地反映了不同高度时的主要结构类型, 且其跟剪力墙、框架-剪力墙、框架-核心筒结构的拟合曲线均有良好的一致性。故本文将主要对不区分结构类型的基本自振周期的拟合曲线进行分析及讨论。

　　 将基于计算、振动台实测、风脉动实测得到的结构基本自振周期以及我国、美国等相关规范关于结构基本自振周期T₁与其高度H关系的拟合曲线绘于图6。从图6可以发现:

　　 (1) 我国高规^[1]推荐公式结果与风脉动数据拟合曲线在建筑高度小于160m时有良好的一致性, 随着建筑高度的增加 (大于160m) , 我国高规^[1]推荐公式结果明显小于风脉动数据拟合曲线, 这也说明过去的基于50m以下高层建筑结构上建立的经验公式偏“刚”。

　　 (2) 与风脉动数据拟合曲线相比, 振动台数据拟合曲线偏“柔”, 这与从地震记录获取的结构周期数据偏大一致^[13]。由于本文的振动台实测数据以250m范围内的高层建筑为主。

　　 (3) 美国FEMA 450^[12]推荐公式结果与我国高规^[1]推荐公式结果及本文得到的实测数据拟合曲线在建筑高度小于160m时有较好的一致性, 随着建筑高度的增加, 我国高规^[1]计算的高层建筑基本周期明显大于美国FEMA 450^[12]的计算结果, 这说明高度较大时, 美国高层建筑结构明显较我国高层建筑结构要“刚”, 随着高度增加趋势更为明显。这也反映了中美两国高层建筑设计规范的差别。

　　 (4) 基于计算结构基本周期数据的拟合曲线与美国FEMA 450^[12]、我国高规^[1]推荐公式结果以及本文得到的振动台实测数据拟合曲线相差甚远, 这是因为计算时没有考虑填充墙、玻璃幕墙等非结构构件的影响。因而导致了刚度偏小, 周期过大。

　　 以风脉动数据为基准对计算结构基本周期数据的拟合曲线进行折减。考虑随着高度增加非结构构件影响也逐渐减小及对各种经验、规范公式比较后, 取折减系数为0.85, 得到拟合曲线 (图6) 。

　　 最后, 建议采用折减后的计算数据拟合曲线形成的分段经验公式:

　　 当50m≤H<250m时:

　　 当H≥250m时:

　　 目前高层建筑基本自振周期的经验公式多与建筑高度H有关, 有必要对建筑高度H是否与T₂/T₁, T₃/T₁有关进行分析, 对T₂/T₁, T₃/T₁的数据进行统计, 得到结果如图7, 8所示。从图7, 8可以总结出几个规律:

　　 (1) T₂/T₁的数据绝大多数落在0.25~0.35之间, T₃/T₁则落在0.1~0.2之间, 其离散度不大。

　　 (2) T₂/T₁, T₃/T₁与H并不相关, H的大小对T₂/T₁, T₃/T₁并没有影响。

　　 (3) T₂/T₁与T₃/T₁的数据点基本上不重叠。

　　 因此建筑高度H与T₂/T₁, T₃/T₁并不相关, 且T₂/T₁, T₃/T₁集中在某一个范围内。

　　 不同的结构类型对自振周期有影响, 为了讨论不同结构类型对T₂/T₁, T₃/T₁的影响, 将结构分为框架-核心筒结构、框架-剪力墙结构、剪力墙结构分别进行统计, 其结果表1所示。

　　 由表1可以得到:1) 不同结构的T₂/T₁和T₃/T₁的均值有所不同, 但十分接近, 结构类型的影响较小;2) 其T₂/T₁, T₃/T₁的均值按照框架-核心筒、框架-剪力墙、剪力墙结构依次有所减小。

　　 为了对计算数据统计结果进行对比, 对模拟地震振动台试验和风脉动结构振动实测数据进行整理, 其中地震振动台取模拟7度地震时的数据进行统计, 结果如表2、表3所示。

　　 从表2, 3中可以得到:振动台得到的周期比, 在不同的阶段的数值接近。对比均值, 可以发现振动台实测周期比、风脉动实测周期比和表1所得计算周期比比较接近。

　　 由于从地震作用识别的自振周期资料较少, 仅收集到了有限的数据^[13,14], 结果见表4。

　　 将之前基于振动台试验实测、风脉动实测、地震作用识别及计算所得的第二阶、第三阶自振周期与基本振型周期比值的统计结果, 及王广军^[15]所得的统计结果列入表4进行对比。从表4可以发现:

　　 (1) 基于地震作用识别的统计结果和本文其他的统计结果及王广军^[15]的公式有着不小的区别。由于地震作用识别以美国的建筑为基准, 也表明了不同规范要求也对周期比有影响。

　　 (2) 王广军^[15]公式与本文所得的剪力墙周期比统计结果接近, 但其不区分结构类型的周期比较本文要大。其中T₂/T₁=0.289, T₃/T₁=0.156, 跟振动台试验实测的T₂/T₁值一样, 比风脉动实测及基于计算所得的T₂/T₁值较大, 但是, T₃/T₁的结果比其他统计结果偏大。

　　 (3) 本文基于计算数据得到的不区分结构类型的周期比的结果为:T₂/T₁=0.276, T₃/T₁=0.143。其T₂/T₁值小于振动台试验结果, 接近风脉动试验数据;T₃/T₁值大于振动台试验和风脉动试验数据, 但小于王广军^[15]公式的结果。

　　 本文通过采用国内已通过超限审查的414栋高层建筑结构, 以及15个振动台试验数据以及27个脉动试验及风致结构振动实测的数据, 研究其基本周期的经验公式及第二振型、第三振型与基本周期比 (T₂/T₁, T₃/T₁) , 所选取的建筑高度均超过50m, 充分考虑了近年来发展迅速的超高层建筑, 通过对可能的影响因素进行讨论, 得到了如下结论:

　　 (1) 本文对收集数据进行拟合, 得到拟合曲线, 通过与规范比较对比后, 得到建议的经验公式。

　　 (2) T₂/T₁, T₃/T₁与建筑高度H不相关, 不会随建筑高度的变化产生相应的变化。

　　 (3) 将不区分结构类型的计算数据的周期比与振动台及风脉动测试的结果比较, 有良好的一致性。同时不同结构类型的周期比值相近。

　　 (4) 结合本文的结果, 首先通过建议的公式计算结构的基本自振周期, 接着通过周期比, 取得高层建筑的第二阶、第三阶振型自振周期值。这样可很方便地计算高层建筑的周期。