大跨度楼盖结构由于刚度较小、自振频率较低, 其在正常使用条件下的舒适度控制是结构设计中的一项重要工作内容, 常常容易被设计师忽视。

　　 对于楼盖在人行荷载作用下的舒适度验算问题, 目前设计中通常采用经验公式法或时域分析法, 这两者均存在一定不足之处^[1,2], 例如经验公式法中人行激励荷载频率是按照人为经验确定的, 不能保证所获得的结构动力响应是最不利的情况。本文首先对舒适度计算的基本理论进行了梳理, 总结了利用有限元分析楼盖体系舒适度的一般步骤, 并讨论了时域分析法和频域分析法的优缺点;继而以某工程大跨度钢结构连廊为例, 针对其中的钢与混凝土组合楼盖在人行激励荷载下可能发生的舒适度问题, 分别采用频域分析法和时域分析法对其舒适度进行分析校核。

　　 人的步行、跳动或其他有节奏运动会引起楼盖的振动, 这些振动因素是随机的, 楼盖振动的分析也由此变得较为复杂。在进行人行激励荷载作用下楼盖动力响应分析前, 应先考察舒适度评价标准、人行激励荷载模型及楼盖体系的舒适度动力特性等。

　　 大量试验研究发现, 由于楼盖自振频率较低, 人对楼盖振动的感受可以用振动加速度来表征, 但对于不同的人及不同的活动, 人所能容忍的最大振动加速度也有所不同。近20年来, 对于人行激励荷载引起的楼盖振动加速度限值问题, 英美等国家进行了大量实测研究, 颁布了多种版本的规程、指南。1997年美国钢结构协会 (AISC) 和加拿大钢结构协会 (CISC) 共同提出了楼盖结构的舒适度标准^[3], 不同用途建筑物舒适度峰值加速度指标如图1所示。图1中峰值加速度指标采用了国际标准化组织发布的ISO 2631-2 (1989) 标准^[4]的建议值。

　　 《高层建筑混凝土结构技术规程》 (JGJ 3—2010) (简称《高规》) 中也给出了相关的评价方法。《高规》第3.7.7条规定的楼盖结构的竖向振动峰值加速度限值如表1所示, 表1也参考了国际标准化组织发布的ISO 2631-2 (1989) 标准^[4]的有关规定 (含图1) 。

　　 根据《高规》第3.7.7条及《混凝土结构设计规范》 (GB 50010—2010) 第3.4.6条, 对于大跨度连廊楼盖结构, 其竖向频率不宜小于3Hz, 以保证结构具有适宜的舒适度。根据《高规》第3.7.7条, 其竖向振动峰值加速度不应超过表1的限值。

　　 当实际大跨度连廊楼盖结构竖向频率小于3Hz时, 应计算其竖向振动峰值加速度, 若竖向振动峰值加速度不满足规范限值, 应采用有效措施保证结构的舒适度满足规范要求。

　　 由于人行激励荷载是动态变化的, 这种荷载可能由单人行走或多人共同活动引起, 荷载作用点与步频、体重等因素有关, 并会不断改变。因此为了验算楼盖振动的舒适度, 必须确定人行激励荷载模型。

　　 加拿大学者Allen和Rainer^[5]对单人和多人连续行走产生的动力荷载进行了实测, 认为人行走产生的荷载可以通过一系列的简谐波表示^[6,7]:

　　 $F(t)={\rm P}[1+{\displaystyle \sum \alpha }{}_i\cos (2\text{π}if{}_{\text{s}\text{t}\text{e}\text{p}}t+\text{ϕ}{}_i)](1)$

　　 式中:F (t) 为人行激励荷载, kN;P为行人体重, 一般取70kg;α_i为第i阶谐振荷载频率的动力系数;i为谐振荷载阶数;f_step为人行激励频率;t为时间;ϕ_i为第i阶谐振荷载频率的相位角, 一般取$\text{ϕ}{}_1=0,\text{ϕ}{}_i=\frac{\text{π}}{2},i=2,3.\cdots$。

　　 对于动力系数α_i, 许多研究者进行了楼盖实测试验研究。Reiner和Allen^[8]在1988年得到的试验数据及文献[7]给出了动力系数α_i的取值, α_i随着谐振荷载阶数i的增大而减小, 前4阶谐振荷载的动力系数α₁, α₂, α₃, α₄可分别近似取为0.5, 0.2, 0.1和0.05。从动力系数的取值及式 (1) 可以看出, 随着频率的增加, 谐振荷载的振幅逐渐减小, 因此动力荷载大部分由前3～4阶谐振荷载组成。

　　 对于平面布置规则、边界条件简单、质量分布均匀的楼盖结构, 人行激励荷载可以只考虑第1阶荷载频率的影响, 并忽略静荷载的影响。人行激励荷载函数F (t) 可以简化为:

　　 $F(t)=0.7\alpha {}_i\cos (2\text{π}if{}_{\text{s}\text{t}\text{e}\text{p}}t)(2)$

　　 对于平面布置复杂或楼盖边界条件复杂的楼盖结构, 人行激励荷载至少应考虑前3阶荷载频率的影响, 并忽略静荷载的影响。人行激励荷载函数F (t) 可采用:

　　 $F(t)={\displaystyle \sum _{i=1}^{3}0}.7\alpha {}_i\cos (2\text{π}if{}_{\text{s}\text{t}\text{e}\text{p}}t+\text{ϕ}{}_i)(3)$

　　 人行激励荷载的作用点是变化的, 行走的人和受楼盖振动干扰的人不会同时出现在楼盖振动模态的最大位移点上, 进行舒适度分析时不能采用简单的稳态解。Allen和Rainer^[5]根据试验实测数据提出采用折减系数法考虑共振响应, 对于一般的楼盖结构, 该系数可取为0.5。由此可得时程分析时采用的人行激励荷载函数F (t) 为:

　　 $F(t)={\displaystyle \sum _{i=1}^{3}0}.35\alpha {}_i\cos (2\text{π}if{}_{\text{s}\text{t}\text{e}\text{p}}t+\text{ϕ}{}_i)(4)$

　　 确定楼盖体系对人行激励荷载动力响应, 须进行楼盖体系的舒适度动力特性分析。楼盖体系动力特性要素有质量、刚度和阻尼。其中, 楼盖体系的自振频率是质量和刚度的综合体现, 自振频率及振型的确定是楼盖体系舒适度动力特性分析的主要内容。

　　 对于人行激励荷载, 质量源需考虑恒荷载和有效均布活荷载:1) 恒荷载一般包括楼盖自重、面层及装饰、隔墙、吊顶等荷载, 其计算值应为实际作用在楼盖体系上的荷载, 而不应笼统地取设计值。2) 有效均布活荷载指楼盖上随机布置的办公设施、设备仪器等。需要注意的是, 有效均布活荷载不同于结构的均布活荷载, 其数值要小很多, 取值可以参照《高规》附录A选用, 对办公楼可取0.55kN/m², 对住宅可取0.3kN/m²;参与活动的人的等效均布活荷载可以根据活动的类别适当选取。

　　 多自由度体系最小自振频率为其第1自振频率或基本频率, 相应的振动形式为第1振型或基本振型。楼盖体系的振动有水平振动、竖向振动和扭转等, 本文主要考察楼盖体系的竖向振动。由于大跨度连廊, 尤其是钢结构连廊较柔, 其竖向自振频率较小, 易与人行激励荷载发生共振, 在结构舒适度设计中需要注意。

　　 模态分析是结构动力特性分析重要方法, 是后续有限元分析的基础。模态是结构固有振动特性, 每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型, 这些模态参数可以由计算或试验分析取得。楼盖体系的自振频率及振型可以通过模态分析求得。

　　 阻尼通常由实际阻尼与临界阻尼系数的比值即阻尼比表述。阻尼是在自由振动一个循环或强迫谐振一个循环中能量耗散的一种测度, 而阻尼比 (阻尼的无量纲测度) 则是体系的一种特性。楼盖体系的阻尼一般包括楼盖体系本身的阻尼和非结构构件的阻尼。其中, 楼盖体系本身的阻尼包括材料阻尼和节点的阻尼, 设计中一般仅考虑材料阻尼;非结构构件的阻尼与非结构构件的种类、数量和大小等有关, 楼盖结构舒适度分析所用阻尼比的大小可以参照《高规》附录A选用。需注意的是, 当计算结构总阻尼由质量阻尼和刚度阻尼构成时, 由于结构的竖向振动频率多集中在高频部分 (对应的质量阻尼趋近于0) , 故频域分析可仅考虑与频率呈线性关系的刚度阻尼, 对应的刚度阻尼系数可设定为黏滞阻尼系数的两倍。

　　 目前国内针对楼盖的舒适度计算方法主要分为两类:一是采用简化计算法, 如按照《高规》附录A给出的简化公式进行近似计算;二是采用有限元进行计算, 如文献[9], 建立结构的有限元模型, 并施加各工况下的人行激励荷载, 计算结构的加速度响应, 并根据计算结果及预先选定的舒适度评价标准来评价结构的舒适度性能。其中, 有限元分析主要包括模态分析、频域分析和时程分析等。

　　 一般地, 进行楼盖体系舒适度分析时, 对于确定的楼盖体系, 应首先根据其用途按照相关的规范、规程确定舒适度评价标准 (频率及竖向振动峰值加速度限值) , 然后确定楼盖体系所作用的人行激励荷载函数F (t) , 最后采用有限元分析方法对的楼盖体系进行计算分析, 获得该楼盖体系的频率及在人行激励荷载作用下的竖向振动峰值加速度, 并与选定的舒适度评价标准进行比照, 校核舒适度是否满足要求。

　　 前面已经以人行激励荷载作用下的楼盖结构为例, 介绍了舒适度评价标准、人行激励荷载的确定方法, 后面将重点介绍有限元分析方法, 主要包括时域分析法与频域分析法的基本原理及两种分析方法的优缺点。

　　 模态分析主要是为了在有限元分析中获得楼盖体系的自振频率及振型, 具体可通过MIDAS Gen及SAP2000等软件实现。

　　 在控制系统或振动理论等学科中, 频域是指在对函数或信号进行分析时, 分析其与频率有关部分, 而不是与时间有关的部分, 和时域一词相对。频域分析是以频率为自变量, 研究结构响应 (位移、速度、加速度、能量) 在频率上的分布情况, 频域分析也可称为频谱分析。频域分析是基于结构在谐振荷载下动力反应的分析, 所有分析均在复数域内进行。

　　 频域分析一般分为功率谱密度分析和稳态分析两种:1) 稳态分析用于求解结构在随时间简谐变化的激励作用下所发生的响应问题。这种分析是一种确定性的线性分析, 求解的方法为分别在若干个频率处求出结构响应量, 然后得到一个响应量与频率的关系, 并将这个关系用图形表达, 即能直观地在图上确定结构的峰值响应。2) 功率谱密度分析用于预测结构在承受连续、随机的激励荷载时, 结构响应为某个特定幅值的概率大小。激励荷载采用具有统计意义的功率谱密度函数表示, 其是一种概率函数, 为随机变量在单位频率上的平方值。

　　 时域分析在结构工程领域也称为时程分析, 由时域分析可得到各个质点的位移、速度和加速度随时间变化的动力反应。

　　 在结构动力学中, 时域分析法和频域分析法都是求解结构在承受任意变化激励荷载下的动力反应的分析方法。不同点在于时域分析法是以Duhamel积分为代表, 分析结构在单一频率时间函数下的动力反应。而频域分析法则是利用Fourier变换等方法将时间函数转换为频率函数, 分析结构在叠加的一系列频率 (对于非周期性的任意激励荷载, 频率是无穷数量的连续变化;对于周期函数, 频率是无穷数量的离散变化) 函数下的动力反应。

　　 为了便于理解及运用, 以单自由度线性体系承受随时间任意变化的荷载作用p (t) 的反应为例, 介绍时域分析法和频域分析法。

　　 单自由度线性体系承受随时间任意变化的荷载作用p (t) 的运动微分方程为:

　　 $m\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle u}}+c\dot{u}+ku=p(t)(5)$

　　 其初始条件为:

　　 $u(0)=0\begin{array}{cc}& \end{array}\dot{u}(0)=0(6)$

　　 式中:m为质量;c为阻尼系数;k为刚度;u, $\dot{u},\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle u}}$分别为质点的位移、速度和加速度;p (t) 为外荷载。

　　 利用Duhamel积分, 式 (5) 的通解为:

　　 $u(t)=\frac{1}{m\omega {}_{\text{D}}}{\displaystyle {\int }_0^{t}p}(\tau )\text{e}{}^{-\xi \omega {}_{\text{n}}(t-\tau )}\sin [\omega {}_{\text{D}}(t-\tau )\text{d}\tau ](7)$

　　 式中:ω_n为圆频率, $\omega {}_{\text{n}}=\sqrt{k/m}$;ξ为阻尼比, $\xi =\frac{c}{2m\omega {}_{\text{n}}}$;$\omega {}_{\text{D}}=\omega {}_{\text{n}}\sqrt{1-\xi {}^2}$。

　　 若考虑p (t) 为谐振荷载, 即:

　　 $p(t)=\text{e}{}^{\text{i}\omega t}\text{或}p(t)=\cos \omega t+\text{i}\text{s}\text{i}\text{n}\omega t(8)$

　　 式中:ω为圆频率;i为虚数单位。

　　 则式 (5) 的解为:

　　 $u(t)={\rm H}{}_{\text{u}}(\omega )\text{e}{}^{\text{i}\omega t}(9)$

　　 式中H_u (ω) 为复频反应函数。

　　 对于任意激励荷载p (t) , 用Fourier变换可表示为:

　　 $p(t)=\frac{1}{2\text{π}}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\rm P}}(\omega )\text{e}{}^{\text{i}\omega t}\text{d}\omega (10)$

　　 其中, P (ω) =∫^∞_-∞p (t) e^-iωtdt。则任意激励荷载p (t) 就被表达成了谐振函数[P (ω) /2π]e^iωt的叠加, 而线性体系对激励荷载p (t) 的反应可以通过组合对式 (10) 中各谐振激励项的反应确定。由此, 可得总反应为:

　　 $u(t)=\frac{1}{2\text{π}}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\rm H}}(\omega ){\rm P}(\omega )\text{e}{}^{\text{i}\omega t}\text{d}\omega (11)$

　　 人行激励荷载频率在1～2.8Hz范围内变化^[10], 需考虑最不利人行激励荷载频率, 而最不利人行激励荷载频率取决于结构的竖向振动频率, 因为当人行激励荷载频率与结构达到共振时, 结构的动力响应最大。采用时域分析法时, 因为无法确定最不利的人行激励荷载频率, 往往笼统地取人行激励荷载频率为某单一值, 得到的结构动力响应可能并不是最不利的。例如若某结构竖向1阶振型频率为3.06Hz, 最不利人行荷载激励频率可能为1.53Hz, 因为人行激励荷载经Fourier变换后的2阶简谐成分 (3.06Hz) 刚好会使结构产生共振。由于最不利人行激励荷载频率并不能轻易地被估计出来, 因此采用时域分析法时需要对多个可能的频率进行分析计算, 以求取动力响应的最大值。

　　 频域分析类似在一定频域内按固定间隔如0.01Hz“扫描”一次, 便能得到在1阶谐振荷载激励下结构的动力响应随频率变化的频率谱曲线。通过各阶谱曲线的组合^[11], 即可以便捷地获得不同人行激励荷载频率及相应的幅值, 以4阶为例, 组合方法如下:

　　 $a{}_{\text{p}\text{m}}=1.5\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^{4}a}{}_{\text{p}i}^{1.5}}(12)$

　　 式中:a_pm为有效加速度;a_pi为第i阶的加速度。

　　 由于频域分析时, 施加的荷载位置相对固定。故求取运动状态下的人行激励响应时, 需要采用时域分析, 其所施加的最不利荷载频率可以基于频域分析结果, 因而两种方法可互为补充。

　　 某工程大跨度连廊弱连接于两个塔楼柱之上, 连廊受力构件为钢桁架及钢梁, 连廊支座为铰接支座, 间距为49.5m, 连廊宽度为16.8m, 桁架高度 (弦杆轴线间距) 为5.5m, 上下弦杆截面为□800×500 (壁厚22mm) , 腹杆截面为□500×400 (壁厚22mm) , 钢材型号均为Q345钢材。楼面及屋面混凝土楼盖厚度均为110mm。时域分析时振型阻尼比取为0.02, 频域分析时刚度阻尼系数取为0.04。

　　 采用SAP2000 V15软件建立结构分析模型, 如图2所示。楼盖采用壳单元模拟, 网格尺寸约为0.8m×0.8m, 采用程序自带的自动边束缚并自动划分相关区域的梁 (或次梁) , 以满足变形协调条件。

　　 本工程的连廊布置较规则, 最不利振动点可选为连廊中心。在楼盖中心9个节点处作用集中荷载, 每个节点处荷载为0.7kN。考虑振动响应的折减系数为0.5, 加载相当于18人行走于楼盖跨中, 人群密度约0.15人/m², 属于“人较少”情况^[12]。

　　 文献[11]基于试验给出了另一种建议的谐振荷载动力系数, 各阶荷载动力系数与频率相关, 更为精确, 如表2所示。

　　 首先进行模态分析, 结构1阶频率为2.69Hz, 有限元分析采用稳态分析, 动力系数根据表2取值。经计算, 竖向加速度谱曲线如图3所示, 连廊中心最不利点的竖向加速度谱峰值为0.043m/s² (对应竖向自振频率为2.69Hz) 和0.027m/s² (对应竖向自振频率为2.32Hz) 。

　　 由图3可知, 考虑人行荷载的最不利激励频率为2.32, 2.69Hz。由于2.69Hz是结构1阶竖向频率, 结构设计人员在应用时域分析方法时不容易遗漏此频率。而2.32Hz并非结构自振频率, 容易遗漏, 以下采用2.32Hz进行时域分析。

　　 同稳态分析, 仍考虑18人的人行激励荷载作用于楼盖的9个节点上。设定人群荷载移动方向如图4所示, 步幅约为0.71m, 取荷载步数为30, 总行走距离约为30×0.71=21.3m, 步行时长约为30× (1/2.32) =12.9s。

　　 采用式 (3) 并结合表2, 考虑4阶谐振荷载, 构建人行荷载激励曲线, 每一荷载步施加在9个激励作用点上。人行激励荷载曲线如图5所示, 整个时域过程中共经历3次荷载激励。

　　 通过时程分析, 可得到中心点的竖向振动加速度时程曲线, 如图6所示。时域分析获得的最大竖向振动峰值加速度为0.026m/s², 结果与频域分析较为一致。根据《高规》表3.7.7 (即本文表1) , 参考“住宅、办公”标准, 竖向振动峰值加速度限值约为0.063m/s², 满足要求。

　　 根据上述方法, 采用2.69Hz构建人行激励荷载, 并进行时域分析, 求得竖向振动峰值加速度为0.053m/s², 分析结果满足规范限值要求。跨中最不利点的加速度时程响应如图7所示, 由于人行荷载与结构1阶竖向自振频率基本一致, 时程曲线产生“共振”现象。

　　 (1) 在进行楼盖体系的舒适度验算时, 一般步骤为:1) 根据楼盖的用途按照相关规范、规程确定舒适度性能评价标准;2) 进行楼盖体系的建模及模态分析;3) 确定人行激励荷载模型;4) 进行相关的有限元分析。上述4点内容并不是严格按照顺序的, 必要时需要倒置并互相引用参考。

　　 (2) 频域分析法可以通过一次“扫描”, 获得结构在不同外荷载频率激励下的加速度响应-频率曲线。

　　 (3) 时域分析法可便捷用于计算移动荷载下的动力响应。

　　 (4) 对于案例工程中的大跨度钢与混凝土组合楼盖, 其竖向自振频率小于3Hz, 分别采用频域分析法和时域分析法, 获得结构最大竖向加速度响应, 经计算两种方法的幅值较为接近, 且均能满足相关规范要求, 因此可以认为满足舒适度要求。