为实现城市供水管网布局的科学性和经济性, 国内外学者提出了独立计量区域分区 (District Metered Area, DMA) 。该方法通过关闭部分供水管道的阀门, 将管网划分为若干个相对独立的区域, 并在每个区域的进出水管上安装流量计, 从而实现对各个区域进出流量的监测。DMA分区有助于及时发现漏损或爆管等问题, 并能对其定位, 以便于快速修复, 减少损失。袁文麒等^[1]根据自然条件并结合管网布局情况, 探讨管网分区原则, 完成管网分区, 并在给水管网建模基础上对DMA分区方案进行评估;李露等^[2]介绍了某小区DMA漏损分析及控制研究案例, 建立小区DMA后, 通过实时监测小区夜间流量与总分表差, 可以识别物理漏损和表观漏损, 明确控制方向, 获得较好的效益;Giugni等^[3]通过对给水管网进行DMA分区设计, 使得案例管网物理漏失量减少了34%。

对于如何确定DMA分区的边界管道, 目前主要有2种方法:经验法和计算法。经验法指的是技术人员以其多年积累的工作经验, 根据用水户数或者根据行政边界、道路或者河流等要素作为管网分区边界线, 基于此完成分区, 并应用管网模拟验证分区的合理性。李晓华等^[4]依据以河流和道路为界、分区内服务用户数量、控制进水口的数量和避免产生“死水”这4项原则, 进行DMA分区以降低管网漏损率。对于规模相对小的供水管网, 人工经验分区有一定的优势。但人工经验分区具有较大的主观性, 对于规模大、复杂程度较高的供水管网, 由于不可能对供水管网的结构、性能完全了解, 因而得到的分区可能会有缺陷。计算法指的是利用拓扑学、图论等知识, 从结构上对供水管网进行深入研究, 借助聚类算法和优化算法完成DMA分区^[5]。Sempewo等^[6]分别利用节点流量和管段长度作为节点权重和边权重, 构建管网的加权拓扑图, 通过METIS图划分软件将管网拓扑图划分为大小相等的分图, 并最小化分区间连接管的数量, 以降低阀门安装费用。但是对于节点流量分布不均或者悬殊的供水管网, 该方法得到的DMA分区有可能是不合理的;Herrera等^[7]运用谱聚类算法, 以管径和标高差作为边的权值, 构建相似度矩阵, 将相似度高的节点划分到同一分区, 完成DMA分区;刘俊等^[8]根据给水管网分析设定分区数量, 然后建立权重邻接矩阵, 采用遗传算法和K均值方法实现最佳节点聚类;李斌等^[9]基于节点能量冗余差, 构建相似度矩阵, 建立DMA分区边界划分模型和进水管选择模型, 运用谱聚类算法和遍历法对模型求解, 完成分区。

本文提出一种基于节点自然邻概念的供水管网DMA分区方法, 在确定DMA分区个数的前提下尽量避免破坏供水管网的拓扑结构 (即减少因分区产生的边界管段) , 从而实现管网的DMA分区。

所提出的DMA分区方法的流程主要包含以下4个步骤:

(1) 数据输入。DMA分区的数量。

(2) 管网相似度矩阵的构建。利用EPANET2对管网进行模拟, 得到相关的数据:节点间的能量冗余差、管段水力停留时间和节点的自然邻, 并以上述的管网数据构建相似度矩阵。

(3) 管网节点的聚类。利用管网的相似度矩阵, 通过运用谱聚类算法, 实现供水管网节点的聚类, 分区范围的划分及分区边界管段的确定。

(4) 进水管的优选。利用遗传算法, 得到进水管的优选方案, 即水表与阀门的最佳安装位置的确定。

供水管网DMA分区的数量的多少, 可依据供水管网的拓扑结构、行政区域、分区的目的、运行的成本等因素, 通过经验法或者计算法来确定^[10,11]。经验法是根据技术人员的主观经验, 如考虑管网规模或者用户数量 (如3 000户作为1个分区) 等确定DMA分区的数量。计算法是通过相关计算, 如通过优化预设定的1个目标函数^[12], 找出DMA分区的最佳数量。本方法参考相关文献对案例管网的研究结果确定分区的数量, 以便通过对比分析确定所提出方法的优势。

供水管网可抽象为一个由节点集合V和管段集合E组成的管网拓扑图G= (V, E) 。节点集合V包含需水节点N和水源节点S。管段之间的属性, 如管径、管长、流量和水力停留时间等信息, 可转化为管段间的权重关系, 构建出相应的相似度矩阵。本方法采用节点能量冗余差ΔE^[9]_surplus与管段水力停留时间t构建管段间的权重关系W_ij。节点能量冗余差反映2个节点抗故障的差异性。管段水力停留时间反映管段的水龄, 其值越小, 对管段的水质越有利。权重矩阵如式 (1) 所示:

式中t———管段水力停留时间, s;

W_ij———节点能量冗余差与管段水力停留时间的权重关系;

maxΔE_surplus———所有管段ΔE_surplus, _ij的最大值;

N———需水节点集合, N={N₁, N₂, …, N_N}, 其中N_N为需水节点数量;

S———水源节点集合, S={S₁, S₂, …, S_S}, 其中S_S为水源节点数量。

因此, 供水管网拓扑图的相似度矩阵A_ij可由式 (2) 表示:

式中E———管网拓扑图中边的集合。

为了提高管网节点聚类的精确度, 引入了节点间的自然邻关系^[13]。在供水管网拓扑图中, 若任意2个节点相连, 则这2个节点互为自然邻居关系;反之, 两者不为自然邻居关系。很显然, 管网节点的自然邻居数越多, 说明其与附近的节点联系越紧密。在DMA分区中, 联系紧密的节点更应该分在同一个分区, 这样可减少对管网拓扑结构的破坏, 同时可引导管网节点向节点分布密集的方向进行聚类, 使得聚类会往产生割边 (分区边界管段) 少的方向进行。因此, 本文通过引入管网节点的自然邻居数, 对相似度矩阵进行改进, 减少聚类结果中割边 (分区边界管段) 的数量, 降低管网DMA分区的安装费用。改进的相似度矩阵A如式 (3) 所示:

式中max (sn) ———节点集合V中最大的自然邻居数;

sn (i) ———节点i的自然邻居数。

通过以上的改进, 相似度矩阵A_ij进行调整, 可使节点联系紧密的区域的两节点间相似度增大。

谱聚类算法建立在图论中的谱图划分理论基础上, 是一种基于两点间相似关系的聚类算法, 其本质是将聚类问题转化为图的最优划分问题。将单个样本数据等效为图中的顶点V, 依据样本间相似度将顶点间的边E赋权重A, 从而得到一个基于相似度的无向加权图G= (V, E) 。则在图G中, 即可将聚类问题转化为在图G上的图划分问题。图的最优划分准则是使得到的子图内部相似度最大, 子图间相似度最小^[14,15]。本文运用的谱聚类算法有以下流程:

(1) 构建表示节点集关系属性的矩阵A, 并基于A和规范化割集准则建立图的拉普拉斯矩阵矩阵L_sym。复杂网络分析中将节点的度定义为与该节点直接相连的边的权重之和, 可用权重邻接的相似度矩阵表示见式 (4) :

图的拉普拉斯矩阵见式 (5) :

使用规范化割集准则, 规范化拉普拉斯矩阵见式 (6) :

(2) 求解L_sym的特征值和对应的特征向量, 选择前K (对应为聚类个数) 个最小非零特征值对应的特征向量构建新的数据特征空间。

(3) 利用K均值算法 (K-means) 对特征向量空间中的节点进行聚类, 从而实现数目为K的节点聚类。

获得聚类数为K的节点聚类方案后, 也就是说管网DMA分区数为K。在管网拓扑图G= (V, E) 中, 任意一个边E_ij都有对应的2个节点V_i和V_j, 若V_i和V_j不属一个聚类中, 则E_ij为分区边界管段。确定分区边界管段数目m后, 运用遗传算法, 找出在分区边界管段上安装水表或者阀门的优选方案。相关设置如下:

(1) 设定种群大小popSize、迭代次数maxGens、交叉概率probCrossover和变异概率probMutation等参数。

(2) 自变量的数目nd为m, 范围为0或者1 (0表示安装阀门, 1表示安装水表) 。

(3) 适应度函数设为:

式中mean＿P———需水节点的平均压力, m;

mean＿Age———需水节点的平均水龄, h;

a———权重参数, 取10;

b———惩罚参数, 若方案中某节点不满足要求 (如节点水压) 时设置为1 000, 否则为0。

本文采用参考文献[16]中的Modena管网为例验证所提出的DMA分区方法。该管网总流量为406.93L/s, 共包含272个节点 (包括4个水源节点) , 317根管段, 管网总长度约为72km, 需水节点的最低水压为14mH₂O。

运用谱聚类算法时, 在相似度矩阵中引入管网节点的自然邻, 可引导管网节点向节点分布密集的方向进行聚类, 即聚类结果会往产生割边少的方向进行。图1表示节点聚类个数 (DMA分区数) 为2～15的分区边界管段总数情况比较。

结果显示: (1) 构建相似度矩阵时, 引入管网节点的自然邻, 使得节点聚类产生边界管段总数明显减少, 即安装阀门和水表的数量和费用都会减少; (2) 随着分区个数的增大, 引入节点自然邻构造相似度矩阵的优势越明显, 即边界管段的数量更少。

经查阅相关文献, 相关的学者^[17]对Modena管网进行DMA分区, 产生分区个数为4, 基于此, 本文也采用分区个数为4对Modena管网进行DMA分区, 验证该方法的优劣性。在运用遗传算法时, 种群大小popSize设为100、迭代次数maxGens设为100、杂交率probCrossover设为0.7和突变率probMutation设为0.1。权重参数a和惩罚参数b的取值通过试验确定, 具体过程如下:对于a, 先根据节点平均水压与节点平均水龄的大小对比, 得到一个取值范围, 例如:[10];然后, 通过模拟计算发现当a=10时效果最好。对于b, 令其取一个较大的值, 使得F较大;当节点水压不满足条件时, 该方案在优化计算过程中被淘汰。本文中b取1 000。

方案A表示构建相似度矩阵时引入节点自然邻, 得到的管网DMA分区的方案;方案B表示构建相似度矩阵时不引入节点自然邻, 得到的管网DMA分区的方案。得到的分区结果如图2和图3所示。

表1是两者DMA分区后的节点分布情况。

从表1、图2、图3结果可以看出, 引入自然邻产生DMA分区的方式, 其节点分布情况更加均衡。此外, 引入自然邻产生4个DMA分区结果, 每个分区都有1个水源点, 而不引入自然邻产生4个DMA分区, DMA2分区有2个水源点, DMA4则没有水源点。对于多水源供水管网而言, 每个分区内有1个独立水源的方案更利于应对异常工况。因此, 引入节点自然邻产生管网DMA分区, 更利于对管网的运行。

图4是DMA分区结果的水表和阀门安装数量的情况, 可以得出引入节点自然邻产生管网DMA分区的方案更具经济性:从阀门安装的数量来看, 方案B的14个, 远远高于方案A的9个。而水表安装的数量相等, 同为6个, 但方案B有1个DN350的水表, 其安装费用远高于其他小型号的水表。

表2和表3是DMA分区结果的管网运行性能和压力的比较。从表2和表3可以看出:

(1) 需水节点的平均水龄, 都约等于1h, 说明分区后的节点水龄没有明显变大, 间接说明水质没有因DMA分区而恶化。

(2) 分区压力标准差方面, 2个方案的各个DMA分区之间差别较小, 数值在3.69～6.65。

(3) 需水节点的平均水压方面, 原始管网的水压为25.13mH₂O。引入节点自然邻得到DMA分区的结果为23.31 mH₂O, 不引入节点自然邻得到DMA分区的结果为24.08 mH₂O。前者下降了1.82 mH₂O (7.24%) , 后者下降了1.05 mH₂O (4.18%) 。

(4) 供水管网的物理漏失量与其节点水压有密切关系, 采用经验关系式:Q_{i, leak}=C_iH_i^nl[18]计算得到引入节点自然邻得到DMA分区的物理漏失量为29L/s, 不引入节点自然邻得到DMA分区的结果为30.7L/s。前者下降了2.9L/s (9.09%) , 后者下降了1.2L/s (3.76%) 。

提出了基于节点自然邻概念的管网DMA分区方法。首先, 利用谱聚类算法有效地减少管网DMA分区产生的边界管段, 从而减少了安装水表和阀门的费用;然后, 通过遗传算法有效地找到水表和阀门的最佳安装位置, 使得管网实行DMA分区后节点平均水压降低, 从而起到控制管网物理漏失的作用。基于Modena案例管网验证了上述分区方法的可行性。本方法能较好地适用于中小型供水管网的DMA分区任务;对于大型的供水管网, 则需要对模型规模进行适当地简化。否则, 大型管网相似度矩阵的稀疏性会在谱聚类计算过程中引入较大偏差, 影响DMA分区结果的合理性。