在力学研究的长河中,没有一个领域像钢压杆屈曲强度那样,具有如此复杂而变换的历史。

　　 欧拉(Euler)于1744年最早进行了压杆的弹性屈曲的研究并于1759年推导出著名的欧拉公式^[1]。欧拉公式作为压杆在弹性范围内屈曲的临界力计算公式,很好地解释了长柱的稳定问题。但对于柱子长细比较小的情况,如中长柱和短柱,因为会发生屈服先于屈曲的情况,欧拉公式不再适用。这表现为其后的几十年中,人们苦于对欧拉理论和柱子试验结果不一致问题的困惑,而竟然没能在理论上取得任何进展。

　　 1845年,比利时的E.拉马利(E.Lamarle)^[2]首先指出欧拉公式只在弹性范围内适用。1889年,法国的康西德尔(Considere)和德国的恩格塞尔(Engesser)^[3]各自独立发表文章,指出以广义形式表示的欧拉公式可适用于弹性和弹塑性范围。其后,恩格塞尔于1895年发表了著名的双模量理论,之后卡门(Karman)进行了一系列精确的试验。他们的工作成功地解决了整个弹性及非弹性屈曲方面的难题,可以看成屈曲问题在悠久历史过程中的里程碑。

　　 一般来说,对于细长柱、薄板或薄壳类受压构件,会在达到材料的屈服强度(严格地说是比例极限)之前,出现弹性范围内的失稳。而对于应用范围的一般情况,如中长柱,在轴压下可能屈服先于弹性屈曲发生。

　　 探寻类似中长柱的弹塑性屈曲问题是继欧拉之后人们200多年来为之努力的方向。

　　 轴压力P作用下(图1)的直杆,同时在横向力下产生弯矩m_x,其弹性侧移曲线y的微分方程为:

　　 $E{\rm I}\frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}+{\rm P}y+m{}_{\text{x}}=0(1)$

　　 令$\alpha =\sqrt[]{\frac{{\rm P}}{E{\rm I}}}$,则:

　　 $y=\frac{m{}_{\text{x}}}{{\rm P}}\left(\frac{\sin \alpha x}{\alpha x\text{c}\text{o}\text{s}\frac{\alpha l}{2}}-1\right)(2)$

　　 当m_x≠0时,P以欧拉临界力P_E为极值,而此时y趋于无穷大。

　　 ${\rm P}{}_{\text{E}}=\frac{\text{π}{}^{2}E{\rm I}}{l{}^2}(3)$

　　 当m_x=0时,齐次方程的特征值为:

　　 ${\rm P}=\frac{n{}^2\text{π}{}^{2}E{\rm I}}{l{}^2}(4)$

　　 其中只有n=1即P=P_E有意义,其他n值时柱子的形状需要人为控制。

　　 以上推导来自F. Bleich^[2],之所以加上弯矩m_x,是为得到弹性侧移曲线公式(2),便于欧拉临界力与侧移y相关性的分析,这从下面的结论中可以看到:1)P<P_E时,若没有m_x,柱子保持直立。若施加m_x,柱子挠度符合式(2),此时去掉m_x,柱子恢复直线状态。2)P=P_E时,若没有m_x,柱子可以处于正弦曲线状态。若施加m_x,柱子会有非常大的挠曲,去掉m_x,柱子不会回到初始状态。

　　 至此得到屈曲准则:达到临界荷载P_E时,有两种平衡状态,即直线形式和与直线无限近的挠曲形式。这种“平衡状态的分叉”,属分叉失稳。

　　 将式(3)写成临界应力的形式,引入考虑端部约束的系数k,得到:

　　 $\sigma {}_{\text{c}}=\frac{\text{π}{}^{2}E}{(kl/r){}^2}(5)$

　　 式中:l为计算长度;k为计算长度系数。

　　 式(3)的欧拉临界力为理想直杆屈曲承载力。初挠度和荷载偏心的存在,使得两端铰接的实际压杆的承载力永远小于式(3)的欧拉临界力P_E,而这更加反衬出欧拉的精妙和伟大。

　　 式(3)的临界力P_E,是对应于长细比大的细长柱的,此时截面压应力未达到屈服应力而发生弹性屈曲失稳。对于短柱,发生弹性屈曲前应力可能超过屈服应力,此时弹性模量是临界应力σ_c=P_c/A的函数,而不再是常数。

　　 康西德尔和恩格塞尔均采用引入变化的弹性模量使欧拉公式可用于非弹性范围。恩格塞尔于1889年提出切线模量理论。康西德尔提出以$\stackrel{—}{{\displaystyle E}}$代替E用于非弹性屈曲,$\stackrel{—}{{\displaystyle E}}$在E和切线模量之间:当轴心受压柱在超过比例极限的应力作用下开始挠曲时,在凹侧的应力是增长的,在凸侧的应力是减少的。受此启发,恩格塞尔于1895年提出了双模量理论。

　　 双模量理论一度占优势。但后来的试验发现,屈曲荷载介于切线模量理论和双模量理论之间,并更接近于切线模量理论。直到1947年,香莱(Shanley)^[4]的研究证明了恩格塞尔原先的切线模量理论的正确性。

　　 恩格塞尔于1895年提出了双模量理论。在压力P作用下的短柱,应力σ=P/A超过比例极限,并有微小挠度。图2为仅考虑挠曲影响的截面应力分布。凹区在原压应力σ基础上增加压应力,因已进入非弹性区,挠曲新增的压应力符合图3的非线性应力-应变关系,即dσ/dε=E_t。凸区在原压应力σ基础上增加拉应力,因仍处于弹性区,挠曲新增的拉应力其应力-应变关系为σ=Eε。因σ₂<σ₁,故挠曲的应力中和轴n-n偏向凸区。

　　 据此,可列出如下平衡条件:

　　 $\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{h{}_1}{\int }}s}{}_1\text{d}A-{\displaystyle \underset{0}{\overset{h{}_2}{\int }}s}{}_2\text{d}A=0(6\text{a})\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{h{}_1}{\int }}s}{}_1(z{}_1+e)\text{d}A-{\displaystyle \underset{0}{\overset{h{}_2}{\int }}s}{}_2(z{}_2-e)\text{d}A={\rm P}y(6\text{b})\end{array}$

　　 挠度y取自中心轴。由图2可知:

　　 $s{}_1=\frac{\sigma {}_1}{h{}_1}z{}_1,s{}_2=\frac{\sigma {}_2}{h{}_2}z{}_2$

　　 图4为两个非常接近的截面的转动,由Δdx=h₁dφ及$\text{Δ}\text{d}x=\frac{\sigma {}_1\text{d}x}{E}$,则$\frac{\text{d}\phi }{\text{d}x}=\frac{\sigma {}_1}{Eh{}_1}$,同理$\frac{\text{d}\phi }{\text{d}x}=\frac{\sigma {}_2}{E{}_{\text{t}}h{}_2}$。小变形,$\frac{\text{d}\phi }{\text{d}x}=\frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}$,则:$\sigma {}_1=Eh{}_1\frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2},\sigma {}_2=E{}_{\text{t}}h{}_2\frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}$。

　　 将以上代入式(6a),(6b),得:

　　 $\begin{array}{l}E\frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{h{}_1}{\int }}z}{}_1\text{d}A-E{}_{\text{t}}\frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{h{}_2}{\int }}z}{}_2\text{d}A=0(7\text{a})\\ \frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}(E{\displaystyle \underset{0}{\overset{h{}_1}{\int }}z}{}_1^2\text{d}A+E{}_{\text{t}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{h{}_2}{\int }}z}{}_2^2\text{d}A)+\\ e\frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}\left(E{\displaystyle \underset{0}{\overset{h{}_1}{\int }}z}{}_1^2\text{d}A-E{}_{\text{t}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{h{}_2}{\int }}z}{}_2^2\text{d}A\right)={\rm P}y(7\text{b})\end{array}$

　　 由式(7a)可知,$S{}_1={\displaystyle \underset{0}{\overset{h{}_1}{\int }}z}{}_1\text{d}A,S{}_2={\displaystyle \underset{0}{\overset{h{}_2}{\int }}z}{}_2\text{d}A$分别为n-n轴左右两边的面积矩,即:

　　 $ES{}_1-E{}_{\text{t}}S{}_2=0(8)$

　　 由式(8),式(7b)第二项为零,则:

　　 $\frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}(E{\rm I}{}_1+E{}_{\text{t}}{\rm I}{}_2)={\rm P}y(9)$

　　 式中${\rm I}{}_1={\displaystyle \underset{0}{\overset{h{}_1}{\int }}z}{}_1^2\text{d}A,{\rm I}{}_2={\displaystyle \underset{0}{\overset{h{}_2}{\int }}z}{}_2^2\text{d}A$分别为n-n轴左右两边的惯性矩。

　　 令:

　　 $\stackrel{—}{{\displaystyle E}}=E\frac{{\rm I}{}_1}{{\rm I}}+E{}_{\text{t}}\frac{{\rm I}{}_2}{{\rm I}}(10)$

　　 得:

　　 $\stackrel{—}{{\displaystyle E}}{\rm I}\frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}+{\rm P}y=0(11)$

　　 式中:I为全截面对通过重心C的惯性矩;$\stackrel{—}{{\displaystyle E}}$为有限模量或折算模量。

　　 对于给定截面及材料,由式(8)及h=h₁+h₂可定出n-n轴的位置,进而确定I₁,I₂;由式(8)和式(10),从应力-应变图可定出E_t,进而确定$\stackrel{—}{{\displaystyle E}}$。

　　 微分方程式(11)与式(1)具有相同的形式,但它已从弹性范围扩展到非弹性范围。在弹性范围,$\stackrel{—}{{\displaystyle E}}$取定值E;在非弹性范围,$\stackrel{—}{{\displaystyle E}}$是临界应力σ=P/A的函数,它与x无关。

　　 类比轴压杆的弹性屈曲,式(11)的解为:

　　 ${\rm P}=\frac{n{}^2\text{π}{}^2\stackrel{—}{{\displaystyle E}}{\rm I}}{l{}^2}$

　　 其中当n=1时得到临界力:

　　 ${\rm P}{}_{\text{r}}=\frac{\text{π}{}^2\stackrel{—}{{\displaystyle E}}{\rm I}}{l{}^2}(12)$

　　 式(12)即为欧拉方程的普遍形式。

　　 令$\tau {}_{\text{r}}=\stackrel{—}{{\displaystyle E}}/E$,式(12)为:

　　 $\sigma {}_{\text{r}}=\frac{{\rm P}{}_{\text{r}}}{A}=\frac{\text{π}{}^{2}E\tau {}_{\text{r}}}{(l/r){}^2}(13)$

　　 图5为应力σ_r与τ_r,E_t关系图^[2],确定方法为由应力-应变图σ-E对应关系(σ即为$\sigma {}_{\text{r}})$定E_t,可做出σ_r-E_t/E关系图;由E,E_t,I₁,I₂确定$\stackrel{—}{{\displaystyle E}},$做σ_r-τ_r图。

　　 图5隐含着一个变量l/r₀σ_r-E_t/E关系图,表示的是随着l/r变化弹性模量从弹性区E变为非弹性区E_t进而引起σ_r从弹性区至非弹性区的对应变化规律。σ_r-τ_r关系图类似,只是因τ_r与I₁,I₂有关,故该图表现出与截面形状相关的关系,特别在接近屈服强度的区域,对于相同的σ_r,H形截面沿腹板屈曲比十字形截面的τ_r小很多,说明此时前者对应着更小的l/r。从图中还可以看到,由于E_t/E曲线即为切线模量理论,在纵坐标相同时,其临界应力总是小于双模量理论的值,故切线模量理论可以说是临界力的下限。

　　 恩格塞尔于1889年提出的线模量理论,以下列假定为基础:在临界力σ_t=P_t/A下,可能出现一个不稳定的平衡挠曲形式,而变形大小只与相应于临界力σ_t的切线模量E_t=dσ/dε有关。恩格塞尔假定受挠的直柱变为挠曲后,凸边应变的符号不变。起先大家认为这个理论是不正确的,其后他又提出了双模量理论。但试验的结果支持切线模量理论。直到香莱的研究证实了切线模量理论的正确性,使这一理论成为压杆非线性稳定的基本理论。

　　 现在分析一下这个理论。在弹性屈曲范围,当P≤P_E,不会产生挠曲。可以推断,如果凸边应变符号会改变,当P≤P_r就不能发生挠曲;如果凸边应变符号不会改变,当P≤P_t就不可能发生挠曲。因P_t<P_r,故切线模量荷载P_t就是使直柱仍然保持直线的最大荷载。

　　 令τ=E_t/E,因I₂+I₂>I(I₁,I₂为非重心轴n-n两边截面的惯性矩),E>E_t,故τ<τ_r。

　　 切线理论的挠度方程为:

　　 $E{}_{\text{t}}{\rm I}\frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}+{\rm P}y=0(14)$

　　 即:

　　 $E{\rm I}\tau \frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}+{\rm P}y=0(15)$

　　 与前面类似,可得到切线模量理论的临界应力公式如下:

　　 $\sigma {}_{\text{t}}=\frac{\text{π}{}^{2}E\tau }{(l/r){}^2}(16)$

　　 可见,切线模量理论得到的屈曲强度比双模量理论的低。其中τ与σ_t仅取决于材料的弹塑性性能,而与截面形状无关(当然与长细比有关)。

　　 将图5的H形截面的τ_r曲线代入式(13),可得到σ_r-l/r关系曲线,结果为图6的曲线A^[2]。同理,将图5的E_t/E曲线代入式(16),可得到σ_t-l/r关系曲线为图6的曲线B。弹性范围内,平均压应力与l/r的关系曲线由欧拉双曲线代替。图6的曲线也叫柱子曲线。

　　 式(13),(16)可写成普遍形式,引入考虑压杆端部约束的系数k:

　　 $\sigma {}_{\text{c}}=\frac{\text{π}{}^{2}E\tau }{(kl/r){}^2}(17)$

　　 从式(17)可见,弹性范围内,因τ=1,端部约束系数k对屈曲强度影响巨大;非弹性范围,τ<1,且τ随kl/r的减小而很快减小,部分抵消了屈曲强度的增长。

　　 端部约束系数k对弹性范围内的屈曲强度影响巨大,而对非弹性范围内的屈曲强度影响不大。

　　 双模量理论看似精确,但与试验结果不符,这源自双模量理论的一个假定:在未达到临界荷载σ_r之前,柱子是直的,这与弹性阶段的欧拉杆的概念是一致的。香莱在当时发表的文章中看到这一点,指出当P达到切线模量荷载P_t(使柱子保持直线的最大荷载)后,柱子开始挠曲。P在P_t和P_r之间变化时,柱子的挠曲可能是连续变化的,此时挠度y从0增到无穷大。

　　 香莱以一双肢铰接柱来研究非弹性问题(图7)。两肢为刚性,之间用一弹塑性较连接。假定柱在荷载刚刚超过P_t开始挠曲,P在P_t和P_r之间时,柱中点挠度d为:

　　 ${\rm P}={\rm P}{}_{\text{t}}\left(1+\frac{1}{\frac{b}{2d}+\frac{1+\tau }{1-\tau }}\right)(18)$

　　 式中b为柱宽,τ=E_t/E。假定τ不变,等于与P_t对应的值。

　　 香莱指出,在荷载P作用下,具有挠曲形状的柱在理论上是稳定的。而此前人们的认知局限于对弹性欧拉临界力的理解上,即认为非弹性阶段的稳定临界点柱子是直的,没有认识到超过切线模量后,有出现这种挠曲形状稳定的可能性。

　　 根据香莱理论,柱凹凸两侧的应变率是比值R=P/P_t的函数,即:

　　 $\{\begin{array}{c}\frac{\text{Δ}\epsilon {}_1}{\epsilon {}_{\text{t}}}=\frac{2\left(\frac{1}{\tau }-R\right)}{\frac{1-\tau }{R-1}-\left(1+\tau \right)}(\text{凹}\text{面})\\ \frac{\text{Δ}\epsilon {}_2}{\epsilon {}_{\text{t}}}=\frac{2\left(R-1\right)}{\frac{1-\tau }{R-1}-\left(1+\tau \right)}(\text{凸}\text{面})\end{array}(19)$

　　 式中ε_t为相应于P_t的应变。

　　 图8为τ=E_t/E=0.75时Δε/ε_t与R的关系曲线^[2]。从图中可见,超过切线模量后柱截面凹面的压应变快速增加,凸面的压应变由于挠曲后拉区的出现缓慢减少。R=1.0处表示柱进入挠曲,对应着切线模量临界力P_t。双模量理论对应着临界力P_r,此时凹凸区应变均趋于无穷。实际的柱子附加应变Δε₁的增长要快的多,因为柱子的每个部分都是弹性体而不仅仅如图7模型中所示仅中间单元是弹塑性体,这样各部分柱体会逐渐进入塑性使变形迅速增加。可以推断,柱丧失使用价值的临界荷载只比切线模量荷载P_t稍微大一些。

　　 对于香莱的天才而巨大的贡献,卡门有如下完美而精妙的评论:“恩格塞尔和我是以如下假定为基础,即当直柱在同样荷载下,会有与直线平衡位置无限接近的平衡位置,此时柱子的平衡状态变为不稳定。那么这个问题的正确答案就是在欧拉公式中以双模量代替杨氏模量。香莱的思路更宽广,他在想当平衡位置出现分叉时,最小荷载是多少?他的解答是,切线模量荷载是使柱从直线状态转为平衡位置的第一分叉。实际上在切线模量荷载和双模量荷载之间,存在着一系列的平均位置。”

　　 “为什么我们不能将弹性屈曲理论的推理方法扩展到非弹性情况所有的平衡位置呢?显然,这并不是由于在非弹性范围内应力-应变关系是非线性的,而是由于非线性的变形过程具有不可逆性。对于不同的荷载过程,同一应力下的变形是不同的,因而非弹性范围的稳定荷载是不稳定的。香莱看到了这一点,对非线性区域的稳定极限的定义予以修正,这正是他的论文的伟大之处”。

　　 图9为铝合金实心圆杆的试验结果^[2],图10为软钢杆的试验结果^[2],图11为铝合金挤铸的H形截面的试验结果^[2]。从图中可见,试验很好地验证了切线模量理论。

　　 在非弹性范围,找到临界力可能的最小值即切线模量临界荷载更重要,虽然它并不是实际的屈曲荷载,但可作为屈曲荷载的下限。这个下限只比临界荷载稍微低一些。因此,可以把切线模量荷载作为临界荷载,之前的恩格塞尔公式(13),即为柱子曲线公式。

　　 应力-应变曲线的形状对确定临界应力与长细比关系的柱子曲线的影响很大。

　　 图12(a)为没有明显流限的材料的应力-应变曲线,如铝合金及高强钢。相应的柱子曲线为图12(b)^[2]。

　　 图12(c)为具有明显流限的建筑钢的应力-应变曲线,柱子曲线为图12(d)。小于比例极限σ_p时,柱子曲线为欧拉临界应力曲线L-σ_p,比例极限σ_p至流限σ_y,柱子曲线为σ_p-M,注意到此时E_t=0对应着l/r=0。试验中会出现l/r值低于30的短柱,其屈服强度P/A高于流限很多的现象。这是由于材料的不均匀性,使得流塑不是在整个截面同时发生,先期进入流塑的部分会出现强化,使临界应力有些像高强钢一样的向上增长而超过流限。但这一变化是不稳定的,因此还是建议采用L-σ_p-M作为柱子曲线。

　　 对于具有完整的材料受压应力-应变关系的柱子,可以按弹性区欧拉荷载和非弹性区切线模量荷载,做出柱子屈服荷载和长细比关系的柱子曲线。这个柱子曲线对任何实心截面的理想柱子都是有效的,可以作为中心受压柱设计公式的唯一理论基础。

　　 弹性区和非弹性区的柱子曲线(临界荷载)(图13)可采用如下公式表示:

　　 $\sigma {}_{\text{c}}=\frac{\text{π}{}^{2}E{}_{\text{t}}}{(l/r){}^2}(20)$

　　 弹性区,E_t=E,柱子曲线为欧拉曲线;非弹性区,E_t为变值,柱子曲线为恩格塞尔的切线模量临界应力曲线。弹性区与非弹性区的分界点对应着比例极限σ_p,此时对应的长细比为:

　　 $\left(\frac{l}{r}\right){}_{\text{B}}^2=\frac{\text{π}{}^{2}E}{\sigma {}_{\text{p}}}(21)$

　　 因此非弹性段的柱子曲线为:

　　 $\sigma {}_{\text{c}}=\sigma {}_{\text{y}}-\frac{\sigma {}_{\text{p}}(\sigma {}_{\text{y}}-\sigma {}_{\text{p}})}{\text{π}{}^{2}E}\left(\frac{l}{r}\right){}^2(22)$

　　 前文的式(16)～(18)为理想直杆在轴心压力下的屈曲应力计算公式。实际的钢压杆存在着几何缺陷和物理缺陷。几何缺陷包括杆件的初挠曲、荷载的初偏心,物理缺陷包括残余应力。采用式(16),弹性阶段用欧拉公式、弹塑性阶段用切线模量理论求出临界应力,初弯曲、初偏心、残余应力用安全系数考虑。

　　 我国74钢规^[5]用的就是这种形式,所不同的是柱子曲线采用试验方法得到。原因估计为,一是切线模量理论的精确计算不如试验来得直接,而当时试件的类型不多,只有三类,做起来不困难。当时的三条柱子曲线与理论公式比较接近。

　　 需要指出的是,这里的残余应力指的是由板件经过轧制或焊接组成具有几何形状的构件后,因温度应力产生的在截面不同部位的残余应力。实际上,钢材拉伸试验应力-应变曲线中弹性段与塑性段之间所表现出的弹塑性段即是残余应力的结果。如果经过退火消除了这一残余应力,钢材可以做出理想弹塑性应力-应变曲线。

　　 由此可见,切线模量理论考虑的应力-应变曲线的非弹性段相当于考虑了板件的残余应力,而由板件组成截面形成的残余应力是无法考虑的(因为做型钢截面的拉伸试验不现实)。由于前一种残余应力的存在及其复杂性,用单一的安全系数不能真正反映残余应力对临界力的影响。比如,同一截面,对于不同的主轴,残余应力对其临界力的影响是不同的。

　　 因此,从88钢规^[6]开始,采用下面的方法考虑柱子曲线。

　　 设初弯曲曲线如图14所示^[7]。

　　 $y{}_0=v{}_0\frac{\sin \text{π}x}{l}(23)$

　　 临界状态微分方程为:

　　 $E{\rm I}{y}^{″}+{\rm N}\left(y+y{}_0\right)=0(24)$

　　 设n²=N/EI,则:

　　 $y^{″}+n{}^{2}y=-n{}^{2}v{}_0\frac{\sin \text{π}x}{l}(25)$

　　 微分方程式(25)的通解为:

　　 $y=C{}_1\text{c}\text{o}\text{s}nx+C{}_2\text{s}\text{i}\text{n}nx(26)$

　　 特解为:

　　 $y=C{}_3\frac{\sin \text{π}x}{l}(27)$

　　 引入边界条件:x=0,y=0,得C₁=0;x=l,y=0,得C₂sinnl=0,则C₂=0。

　　 将式(27)代入式(25)有:

　　 $\left[\left(n{}^2-\frac{\text{π}{}^2}{l{}^2}\right)C{}_3+n{}^{2}v{}_0\right]\frac{\sin \text{π}x}{l}=0(28)$

　　 因$\frac{\sin \text{π}x}{l}\ne 0$,则:

　　 $\left(n{}^2-\frac{\text{π}{}^2}{l{}^2}\right)C{}_3+n{}^{2}v{}_0=0(29)$

　　 可得:

　　 $C{}_3=\frac{v{}_0}{\frac{{\rm N}{}_{\text{E}}}{{\rm N}}-1}(30)$

　　 式中${\rm N}{}_{\text{E}}=\frac{\text{π}{}^{2}E{\rm I}}{l{}^2}$为欧拉临界力。式(30)带回式(27)得:

　　 $y=\frac{v{}_0}{\frac{{\rm N}{}_{\text{E}}}{{\rm N}}-1}\frac{\sin \text{π}x}{l}(31)$

　　 考虑初挠度的临界状态挠度方程为:

　　 $y{}_{\text{m}}=y+y{}_0=\frac{v{}_0}{1-\frac{{\rm N}{}_{\text{E}}}{{\rm N}}}\frac{\sin \text{π}x}{l}(32)$

　　 最大挠度(x=2/l)为:

　　 $\nu {}_{\text{m}}=\frac{v{}_0}{1-\frac{{\rm N}{}_{\text{E}}}{{\rm N}}}(33)$

　　 如图15所示,具有初挠度的轴压杆其临界力以欧拉临界力为极值,此时挠度杆中挠度趋于无穷大。

　　 焊接钢构件会产生焊接残余应力。热轧型钢由于不均匀冷却会产生残余应力。火焰切割及冷校也会产生残余应力。残余应力在构件截面上是自平衡力,它不影响强度承载力,但影响稳定承载力。

　　 在压力作用下,具有压应力的残余应力区域会过早进入屈服,此时这部分因模量E=0而退出工作,只有弹性区仍能继续承载。以有效截面表示的压杆临界力为:

　　 $\begin{array}{l}{\rm N}{}_{\text{Κ}}=\frac{\text{π}{}^{2}E{\rm I}{}_{\text{e}}}{l{}_0^2}=\frac{\text{π}{}^{2}E{\rm I}}{l{}_0^2}m(34)\\ \sigma {}_{\text{Κ}}=\frac{\text{π}{}^{2}E}{\lambda {}^2}m(35)\end{array}$

　　 式中I_e为有效截面惯性矩。

　　 工字形热轧截面,翼缘角部冷却得快,与腹板交界处冷却得慢,故角部对交界处产生拉应力,交界处对角部产生压应力,这样翼缘角部为压残余压力,与腹板交界处为拉残余应力,分布见图16。残余应力σ_r与轴心压力引起的压应力叠加后的应力如图中虚线所示,这时翼缘四角为塑性屈服区,其余部分为弹性区,后者为有效截面。

　　 对强轴(x轴)屈曲(忽略腹板作用):

　　 $\begin{array}{l}m=\frac{{\rm I}{}_{\text{e}}}{{\rm I}}=\frac{\frac{2t\left(kb\right)h{}^2}{4}}{\frac{2tbh{}^2}{4}}=k(36)\\ \sigma {}_{\text{Κ}}^{\text{x}}=\frac{\text{π}{}^{2}E}{\lambda {}_{\text{x}}^2}k(37)\end{array}$

　　 对弱轴(y轴)屈曲(忽略腹板作用):

　　 $\begin{array}{l}m=\frac{{\rm I}{}_{\text{e}}}{{\rm I}}=\frac{\frac{2t(kb){}^3}{12}}{\frac{2tb{}^3}{12}}=k{}^3(38)\\ \sigma {}_{\text{Κ}}^{\text{y}}=\frac{\text{π}{}^{2}E}{\lambda {}_{\text{y}}^2}k{}^3(39)\end{array}$

　　 因k<1,故残余应力对弱轴的影响比对强轴大得多。

　　 对于较厚的板,残余应力表现出沿厚度方向的不均匀,与表面相差在10%左右。因残余应力是温度应力,不因钢材强度而改变,因而对于高强钢的影响小。残余应力对长柱影响小。

　　 图17分别绘出了弹性直杆、弹塑性直杆具有初挠度弹性杆的临界应力-挠度曲线^[9]。实际压杆的临界应力-挠度曲线为bcde。初挠度的存在使压杆受力后会向初挠曲方向挠曲,c点达到边缘纤维屈服,d点达到最大临界应力,之后会达到全截面屈服至e点。

　　 首先考虑边缘纤维屈服,按照Perry公式:

　　 $\begin{array}{l}\sigma {}_{\max }=\frac{{\rm N}}{A}+\frac{{\rm N}}{W}\left(\frac{\omega {}_0{\rm N}{}_{\text{E}}}{{\rm N}{}_{\text{E}}-{\rm N}}\right)=f{}_{\text{y}}(40)\\ \frac{{\rm N}}{A}\left(1+\frac{A\omega {}_0}{W}\frac{{\rm N}{}_{\text{E}}}{{\rm N}{}_{\text{E}}-{\rm N}}\right)=f{}_{\text{y}}(41)\\ \sigma {}_{\text{c}\text{r}\text{i}}\left(1+\epsilon {}_0\frac{\sigma {}_{\text{E}}}{\sigma {}_{\text{E}}-\sigma {}_{\text{c}\text{r}\text{i}}}\right)=f{}_{\text{y}}(42)\\ \sigma {}_{\text{c}\text{r}\text{i}}=\frac{f{}_{\text{y}}+(1+\epsilon {}_0)\sigma {}_{\text{E}}}{2}-\sqrt[]{\left(\frac{f{}_{\text{y}}+\left(1+\epsilon {}_0\right)\sigma {}_{\text{E}}}{2}\right){}^2-f{}_{\text{y}}\sigma {}_{\text{E}}}(43)\end{array}$

　　 式(43)为具有初挠度ω₀的轴压杆边缘屈服公式,由Perry首先提出,其中ε₀=ω₀/ρ为相对初挠度;ρ=W/A为核心矩;$\sigma {}_{\text{E}}=\frac{{\rm N}{}_{\text{E}}}{A}=\frac{\text{π}{}^{2}E}{\lambda {}^2}$。

　　 对于中短柱,残余应力的存在使具有压残余应力的部分受压后提前达到比例极限,从而使这部分截面率先进入非线性状态,进而降低了构件的刚度。故残余应力影响构件的稳定承载力。

　　 我国钢结构设计规范轴心受压构件的稳定系数φ,是按柱的最大强度理论用数值方法算出大量φ-λ曲线(柱子曲线)归纳确定的。计算时考虑了截面的不同形式和尺寸,不同的加工条件及相应的残余应力形式,并考虑了1/1 000杆长的初弯曲。88钢规选择96条曲线作为确定φ值的依据,并按承载能力相近的截面及其弯曲失稳对应轴合为一类,归纳为 a,b,c 三类,每类柱子曲线的平均值(即50%分位值)作为代表曲线。

　　 板件厚度t≥40mm的构件,残余应力不但沿板宽度方向变化,在厚度方向的变化也比较显著。板件外表面往往以残余压应力为主,对构件稳定的影响较大。因此,03钢规对板件厚度t≥40mm的工字形、H形截面和箱形截面的类别作了专门规定,增加了d类截面的φ值。

　　 轴心压杆的计算理论和算出的各曲线值,参见李开禧、肖允徽等写的“逆算单元长度法计算单轴失稳时钢压杆的临界力”^[10]和“钢压杆的柱子曲线”^[11]。下面对逆算单元长度法简介如下^[12]。

　　 基本假定:1)钢材为理想弹塑性;2)临界状态挠曲线为正弦半波曲线;3)平截面假定;4)小变形;5)忽略初偏心;6)初挠度按1/1 000考虑。

　　 逆算法步骤:压杆分成若干待定长度的单元。单元长度(计算长度)作为未知量,在假定临界力下变化曲率,由内外力平衡加残余应力,反算出初单元长度。由此算出杆件总长度,即可得到对应临界力的杆件长细比。

　　 选用14种残余应力分布模式。图18为铰接轴压杆,l/2分成若干段。

　　 第一段上端截面“0”:

　　 由N算出压应变ε₀=N/AE,其中A为截面面积,应力为:

　　 $\sigma {}_i=E\epsilon {}_0+\sigma {}_{\text{r}i}(44)$

　　 式中:σ_ri为y_i处的残余应力,σ_i≥f_y,取σ_i=f_y;σ_i≤-f_y,取σ_i=-f_y;y_c对应截面形心线;y_e对应弹性部分中和轴。

　　 y_i处的弯曲屈曲应变ε_i=σ_i/E,曲率$R{}_0=\epsilon {}_i/\left(y{}_i-y{}_{\text{e}}\right)$,端截面取Ф₀=R₀。

　　 单纯由残余应力引起的上端弯矩:

　　 ${\rm M}{}_0=E{\rm I}{}_{\text{e}0}R{}_0(45)$

　　 式中I_e0为上端弹性区的惯性矩。

　　 第一段下端截面“1”:

　　 N不变,ε₀不变,应力为:

　　 $\sigma {}_i=E[\epsilon {}_0+R{}_1\left(y{}_i-y{}_{\text{e}}\right)]+\sigma {}_{\text{r}i}(46)$

　　 忽略y_e的变化,即弹性区中和轴位置不变。

　　 $R{}_1=R{}_0+\text{d}R{}_1(47)$

　　 给定一个dR₁,得R₁,计算σ_i和ε_i:

　　 $\text{d}{\rm M}{}_1=E{\rm I}{}_{\text{e}1}\text{d}R{}_1(48)$

　　 得:

　　 ${\rm M}{}_1={\rm M}{}_0+\text{d}{\rm M}{}_1(49)$

　　 根据N和M₁加上初弯曲1/1 000和残余应力算出应力分布,结果不一定与给定的R₁=R₀+dR₁吻合,调整dR₁,至吻合为止。

　　 根据平衡条件:

　　 ${\rm M}{}_1={\rm N}\Delta {}_1\sin \theta {}_1(50)$

　　 同时:

　　 $Ф{}_1=\theta {}_1=Ф{}_0-R{}_1\Delta {}_1(51)$

　　 解方程式(50),(51),得第一段单元长度Δ₁。

　　 已知N,M₁,Ф₁,R₁,计算第二段下端点“2”,M₂=M₁+dM₂,R₂=R₁+dR₂,迭代得到dR₂,至此得到第二段单元长度Δ₂,转角Ф₂=Ф₁-R₂Δ₂。

　　 以此类推,将所有长度相加,再乘以2,得到N作用下考虑残余应力的杆长l₀,即得到了一组$\sigma {}_{\text{Κ}}({\rm N}/A)$与$\lambda (l{}_0/i)$的对应值。变化N可得到σ_K与λ的对应曲线,即$\phi \left(\sigma {}_{\text{Κ}}/f{}_{\text{y}}\right)-\lambda$柱子曲线。

　　 88规范采用上面算出的柱子曲线,并将各类截面的理论φ值拟合为Perry公式形式:

　　 $\begin{array}{l}\phi =\frac{\sigma {}_{\text{c}\text{r}}}{f{}_{\text{y}}}=\frac{1}{2}\{\left[1+(1+\epsilon {}_0)\frac{\sigma {}_{\text{E}}}{f{}_{\text{y}}}\right]-\\ \sqrt[]{\left(1+(1+\epsilon {}_0)\frac{\sigma {}_{\text{E}}}{f{}_{\text{y}}}\right){}^2-4\frac{\sigma {}_{\text{E}}}{f{}_{\text{y}}}}\}(52)\end{array}$

　　 式中ω₀为初挠度,如综合考虑几何缺陷和物理缺陷,则ε₀也可看成考虑了各种缺陷的以相对初挠度表示的等效缺陷。

　　 仍采用式(52)中Perry公式的表达式形式,以压溃点d为临界应力进行数值计算,即式(52)中的边缘屈服应力σ_cr由临界应力σ_u=N_u/A代替。由此反算ε₀,得到四条柱子曲线的数值为:

　　 a: ε₀=0.152λ_n-0.014

　　 b: ε₀=0.300λ_n-0.035

       将ε₀带代回式(59),得:

　　 $\begin{array}{l}\phi =\frac{1}{2\lambda {}_{\text{n}}^2}[\left(\alpha {}_2+\alpha {}_3\lambda {}_{\text{n}}+\lambda {}_{\text{n}}^2\right)-\\ \sqrt[]{\left(\alpha {}_2+\alpha {}_3\lambda {}_{\text{n}}+\lambda {}_{\text{n}}^2\right){}^2-4\lambda {}_{\text{n}}^2}](53)\end{array}$

　　 以上适用于正则化长细比$\lambda {}_{\text{n}}=\frac{\lambda }{\text{π}}\sqrt[]{f{}_{\text{y}}/E}>0.215$的情况。

　　 当λ_n≤0.215时(相当于$\lambda \le 20\sqrt[]{235/f{}_{\text{y}}}$),采用另一条曲线表示:

　　 $\phi =1-\alpha {}_1\lambda {}_{\text{n}}^2(54)$

　　 式中系数α₁,α₂,α₃见17钢标^[8]表D.0.5。

　　 图19为采用的柱子曲线与我国的试验值的比较情况^[13]。由于试件的厚度较小,试验值一般偏高,如果试件的厚度较大,有组成板件厚度超过40mm的试件,自然就会有接近于d曲线的试验点。

　　 自欧拉推出欧拉公式之后,众多学者对轴压杆弯曲屈曲进行了全面和深入的研究工作,完善了非弹性阶段临界力公式,可以说这些理论工作都属于欧拉临界力范畴。

　　 将欧拉临界力公式用于工程设计,有两种方法,第一种是采用欧拉临界力理论公式,引入安全系数,以考虑初弯曲、初偏心和残余应力等初始缺陷的影响,这种方法与欧拉临界力理论公式直接对应,概念上易理解,应用起来方便,缺点是当杆件截面多样复杂时,初始缺陷用单一安全系数不容易把控。第二种方法是目前17钢标采用的方法,即以等效初挠度综合考虑初始缺陷,按压弯杆件计算轴压杆的屈曲。