由混凝土桥面板与钢梁通过抗剪连接件组合而成能整体受力的梁称为钢-混凝土组合梁。钢-混凝土组合梁的挠度应满足正常使用极限状态验算要求, 荷载作用下产生的竖向挠度不应超过规范规定限值, 组合梁的挠度控制体现了结构刚度的控制要求, 因此对组合梁的挠度计算方法进行研究, 十分必要。

　　 对于钢-混凝土组合梁的挠度计算, 我国原《钢结构设计规范》 (GB 50017—2003) ^[1] (简称钢规) 采用的是考虑组合梁滑移效应的折减刚度法, 而现行《钢-混凝土组合桥梁设计规范》 (GB 50917—2013) ^[2]则分别给出了均布荷载、单点集中荷载作用下考虑滑移效应的简支组合梁的计算模型及相应的挠度计算公式。《公路钢结构桥梁设计规范》 (JTG D64—2015) ^[3]、《公路钢混组合桥梁设计与施工规范》 (JTG/T D64-01—2015) ^[4]和《组合结构设计规范》 (JGJ 138—2016) ^[5]三本规范则沿用了钢规中的折减刚度法。对于不同规范规定的两种计算方法的异同, 目前尚未有文献对其进行研究。

　　 目前, 钢-混凝土组合梁的挠度计算方法较多, 夏骏^[6]根据能量变分原理得到了简支组合梁在均布荷载作用下的挠度表达式, 通过对刚度组合系数表达式进行数值分析和数据拟合, 进而得到了简化设计公式。李莉^[7]基于折减刚度法基本理论, 对折减刚度法进行了修正, 将简支组合梁在三种典型荷载作用下的折减刚度系数沿梁长分布函数拟合为二次项公式, 得到了简支组合梁附加变形系数计算公式。童根树和夏骏^[8]指出按照钢规计算考虑滑移效应的组合梁的折减刚度时, 会遇到栓钉数量增加, 折减刚度反而下降的反常现象;通过引入钢与混凝土的组合作用系数来表示组合作用程度, 提出了新的折减刚度计算公式, 并与已有文献中的试验结果进行了对比分析。沈建华等^[9]通过与钢规中折减刚度计算公式的比较, 经过数值计算和回归分析, 提出了适合薄壁U型钢-混凝土组合梁挠度计算的刚度折减系数修正计算公式。邹杨^[10]提出了统一的挠度增大系数的简化计算方法, 应用于不同荷载作用下简支组合梁的挠度计算, 称之为附加挠度法。魏海斌等^[11]通过ANSYS软件模拟得到的组合梁有限元模型产生样本数据, 采用BP神经网络为计算模型, 得到了简支组合梁在均布荷载、跨中集中荷载作用下对应的挠度增大系数计算公式。肖岩等^[12]对考虑滑移效应的组合梁进行了静力线弹性分析, 提出了组合梁挠度计算的二阶算法, 得到了四种不同边界条件的单跨组合梁在均布荷载、集中荷载作用下相应的挠度理论精确解。

　　 本文总结了已有文献提出的钢-混凝土组合梁挠度的不同计算方法, 分别推导了简支组合梁在均布荷载作用下的挠度放大系数计算公式, 通过作图, 从理论上进行对比分析并研究了各种计算方法的特点及适用范围。通过与已有文献中的试验结果进行对比, 重点研究了两种规范方法^[1,2]和改进折减刚度法得到的挠度计算值与试验值的误差情况。

　　 Xu和Chen^[13,14]通过应用变分原理研究了基于Euler-Bernoulli梁理论的部分抗剪连接组合梁, 推导了控制微分方程及相应的边界条件, 通过假设组合梁挠度和层间滑移的位移形式, 应用Ritz法得到了挠度的近似解。徐荣桥和陈德权^[15,16]总结了部分抗剪连接组合梁挠度计算的不同方法, 对比分析了各种方法的特点和适用范围, 针对钢规中采用的折减刚度法所存在的问题, 提出了组合梁挠度计算的改进折减刚度法, 并进行了进一步的理论研究和验证。本文在前期已有文献研究成果的基础上, 对在不同荷载作用下钢-混凝土组合梁的挠度计算方法进行深入理论研究。

　　 为便于对比分析, 对于两端简支组合梁, 定义f为部分抗剪连接组合梁的跨中挠度, f_eq为完全抗剪连接组合梁的跨中挠度, 则可称f/f_eq为组合梁的挠度放大系数。在均布荷载作用下, 两端简支组合梁按不同挠度计算方法得到的挠度放大系数计算公式见表1。

　　 通过表1中计算公式可知, 挠度放大系数f/f_eq均与参数αl和β²有关。参数αl (αl>0) 实际上是表示钢-混凝土组合梁抗剪连接程度 (组合作用程度) 的一个无量纲参数, 其值越大, 表示抗剪连接程度越大, 反之, 则抗剪连接程度越小。l为组合梁的跨度, 参数α和β²分别按下式计算。

　　 $\alpha =\sqrt{\frac{n{}_{\text{s}}k}{p}\left(\frac{1}{EA{}_0}+\frac{d{}_{\text{c}}^2}{E{\rm I}{}_0}\right)},\beta {}^2=\frac{E{\rm I}{}_{\text{e}\text{q}}}{E{\rm I}{}_0}(1)$

　　 式中:n_s为抗剪连接件在一根梁上的列数;k为抗剪连接件刚度系数;p为抗剪连接件的纵向平均间距;d_c为钢梁截面形心到混凝土翼板截面形心的距离;E为钢材的弹性模量;I_eq为组合梁的换算截面惯性矩。

　　 则EI_eq为完全抗剪连接组合梁的换算截面刚度, 计算公式为:

　　 $E{\rm I}{}_{\text{e}\text{q}}=E{\rm I}{}_0+d{}_{\text{c}}^{2}EA{}_0,A{}_0=\frac{A{}_{\text{c}\text{f}}A}{\alpha {}_{\text{E}}A+A{}_{\text{c}\text{f}}},{\rm I}{}_0={\rm I}+\frac{{\rm I}{}_{\text{c}\text{f}}}{\alpha {}_{\text{E}}}(2)$

　　 式中:A_cf, A分别为混凝土翼板和钢梁的截面面积;I_cf, I分别为混凝土翼板和钢梁的截面惯性矩;α_E为钢材与混凝土弹性模量的比值。

　　 当参数β²=3.5时, 表1中折减刚度法^[1]、修正折减刚度法^[9]、理论精确解^[12]及改进折减刚度法^[15]得到的挠度放大系数f/f_eq随抗剪连接程度αl的变化见图1。由图1可知, 当0<αl<3.38时, 折减刚度法得到的挠度放大系数为1, 当αl≥3.38时, 由数值1开始, 先随着参数αl的增大而增大, 到达拐点 (αl=4.78) 后随着参数αl的增大而减小;修正折减刚度法^[9]得到的挠度放大系数随参数αl的增大而减小, 但在αl=5处不连续, 由表1中对应计算公式可判断为第一类跳跃间断点;改进折减刚度法^[15]得到的挠度放大系数与理论精确解吻合很好, 变化趋势一致, 均随参数αl的增大而减小, 表明增大抗剪连接程度可以减小挠度放大系数, 符合实际。通过与理论精确解对比可知, 折减刚度法存在计算结果小于理论精确解情况, 偏于不安全, 并且存在随着抗剪连接程度增大, 挠度反而变大的反常现象, 导致这种情况的详细原因分析可见文献[15];修正折减刚度法^[9]得到的挠度放大系数虽然趋势和理论精确解一致, 但是小于理论精确解, 误差大, 偏于不安全。

　　 对表1中组合规范法^[2]和附加挠度法^[10]的挠度放大系数计算公式进行对比分析, 发现两者形式一致, 仅存在系数的数值不同。理论分析可知, 当$\alpha l<2\sqrt{2}$时, 后面一项结果小于0, 即滑移效应产生的附加挠度小于0, 导致出现挠度放大系数小于1的情况, 与实际不符;当$2\sqrt{2}\le \alpha l<4$时, 挠度放大系数虽然大于等于1, 但是随着参数αl的增大而增大, 出现抗剪连接程度增大, 挠度放大系数反而变大的反常现象, 不符合实际;当αl≥4时, 挠度放大系数随着参数αl的增大而减小, 变化趋势虽然和实际相符合, 但须进一步研究计算精度问题。

　　 比较表1中组合规范法和理论精确解的计算公式可知, 组合规范法相当于简化了理论精确解的计算公式, 直接忽略了双曲函数项, 本质上是隐含了这样一个假设条件, 即cosh (αl/2) 为一个较大的数, 则其倒数约等于0;根据双曲余弦函数在正区间内单调增加的性质可知, 只有当参数αl的取值较大时才能使函数值较大, 其倒数则趋近于0, 由cosh (10.6/2) =100.17可知, 对于抗剪连接程度较大 (αl>10.6) 的组合梁, 组合规范法精度较高。

　　 当参数β²=3.5时, 表1中组合规范法^[2]、附加挠度法^[10]、理论精确解^[12]及改进折减刚度法^[15]得到的挠度放大系数f/f_eq随抗剪连接程度αl的变化见图2。由图2可知, 组合规范法和附加挠度法得到的挠度放大系数变化趋势一致, 均先随着参数αl的增大而增大, 在拐点αl=4处达到最大值, 然后随着参数αl的增大而减小;类似于折减刚度法, 当αl<4时, 组合规范法和附加挠度法均存在随着抗剪连接程度增大, 挠度放大系数变大导致挠度变大的反常现象, 且当αl<5时计算结果均小于理论精确解, 误差过大, 偏于不安全。另外, 折减刚度法得到的挠度放大系数最小值为1, 而对于组合规范法和附加挠度法, 当$\alpha l<2\sqrt{2}$时, 挠度放大系数小于1, 不符合实际, 应设置限制条件明确组合规范法和附加挠度法的适用范围, 由图2可知组合规范法和附加挠度法不适用于$\alpha l<2\sqrt{2}$的组合梁。

　　 组合系数法^[6]、组合系数法^[8]和理论精确解^[12]在不同参数β²下计算得到的挠度放大系数f/f_eq随抗剪连接程度αl的对比见图3。由图3可知, 组合系数法在不同参数β²下对应的曲线存在交点, 同一参数β²下与理论精确解相差太大, 精度太低;组合系数法得到的挠度放大系数与理论精确解变化趋势一致, 均随参数αl增大而减小, 符合实际, 但结果稍微小于理论精确解, 偏于不安全。

　　 对于常用组合梁, 通过对文献[8]中15根组合梁以及文献[16]中24根组合梁的材料数据进行统计分析发现, 参数αl一般在5.0～10.0之间, 平均值为7.4;参数β²一般在2.0～3.5之间, 平均值为2.65。因此, 重点研究当参数αl在5.0～10.0之间以及参数β²在2.0～3.5之间变化时不同计算方法的特点对实际工程设计有重要的应用意义。

　　 当参数αl在5.0～10.0之间以及参数β²在2.0～3.5之间变化时, 根据表1中理论精确解^[12]对应的挠度放大系数计算公式, 作出三维图见图4, 由图4可知挠度放大系数f/f_eq与参数αl、β²的关系为空间光滑曲面。对于不同参数β²值, 折减刚度法^[1]、组合规范法^[2]、理论精确解^[12]以及改进折减刚度法^[15]得到的挠度放大系数f/f_eq随参数αl的变化图见图5。由图5可知, 四种计算方法的结果均随着参数αl的增大而减小, 表明挠度放大系数随着抗剪连接程度的增大而减小, 变化趋势与实际情况一致, 但是不同计算方法得到的挠度放大系数的变化曲线存在区别。由图5对比可知, 改进折减刚度法与理论精确解吻合很好, 但折减刚度法、组合规范法与理论精确解均存在不同程度的误差。

　　 为了研究折减刚度法^[1]、组合规范法^[2]、改进折减刚度法^[15]与理论精确解^[12]的误差大小, 对于不同参数β²值分别作出相应误差值随参数αl的变化如图6所示。误差值计算公式为: (计算值-精确解) /精确解×100%。对于折减刚度法, 由图6 (a) 可知, 当参数β²=3.5时, 其对应的误差值位于-9.3%～0.8%之间, 随着参数αl的增大由负值变为正值;由图6 (b) 可知, 当参数β²=3.0时, 其对应的误差值位于-6%～1.3%之间, 随着参数αl的增大由负值变为正值;由图6 (c) 可知, 当参数β²=2.5时, 其对应的误差值位于-2.3%～3%之间, 随着参数αl的增大由负值变为正值, 到达最大值后逐渐减小;由图6 (d) 可知, 当参数β²=2.0时, 其对应的误差值位于-2%～5.3%之间, 随着参数αl的增大先逐渐增大至最大值后减小;总之, 对于不同参数β²值, 误差值随参数αl的变化曲线及区间不同, 误差值有正有负, 误差变化不稳定。

　　 由图6可知, 组合规范法对应的误差值均为负值且位于-3%～0之间, 误差绝对值均随着参数αl的增大而减小, 逐渐趋近于0, 表明组合规范法的计算结果始终小于理论精确解, 偏于不安全。由图6可知, 改进折减刚度法对应的误差值随参数αl的变化均接近于一条直线, 表明对于改进折减刚度法, 同一参数β²下, 参数αl在5.0～10.0之间的变化对其与理论精确解的误差影响很小;当参数β²=3.5时, 误差值位于0～0.35%之间, 当参数β²=3.0时, 误差值位于0～0.3%之间, 当参数β²=2.5时, 误差值位于0～0.25%之间, 当参数β²=2.0时, 误差值位于0～0.2%之间, 表明随着参数β²值的减小, 误差最大值逐渐减小, 根据表1中的挠度放大系数计算公式也可以得到同样结论。

　　 根据图6对比分析三种计算方法的误差变化情况可知, 改进折减刚度法的误差变化情况最为稳定, 且与理论精确解吻合很好, 误差值均在0～0.35%之间, 精度很高, 计算结果稍微大于理论精确解, 偏于安全, 相比折减刚度法和组合规范法, 优点突出。

　　 对于两端简支组合梁, 在均布荷载、跨中集中荷载、对称集中荷载 (左侧集中荷载距离左支点l/4处) 作用下时, 对应用改进折减刚度法得到的挠度放大系数与对应的理论精确解^[17]进行误差分析, 相应的误差值随参数αl的变化图见图7。由图7可知, 误差值的大小与参数β²的取值大小以及荷载作用形式有关, 增大β²会导致误差绝对值变大;当荷载形式为均布荷载时, 误差值位于0～0.5%之间;当为另外两种荷载形式时, 误差值位于-1.5%～1.5%之间。因为荷载形式不同, 导致计算结果与理论精确解^[17]之间误差值较小, 而不同荷载形式对应的理论精确解计算公式复杂, 涉及双曲函数运算, 为便于实际应用, 可以忽略荷载形式不同对组合梁挠度放大系数的影响, 统一采用均布荷载作用下通过改进折减刚度法计算挠度放大系数, 然后根据挠度放大系数的定义, 得到相应荷载作用下的挠度。

　　 对于均布荷载作用下的单跨组合梁, 当参数β²=3.5时, 四种不同边界条件下挠度放大系数f/f_eq随抗剪连接程度αl的变化图见图8。由图8可知, 四种边界条件下改进折减刚度法计算得到的挠度放大系数与理论精确解^[15]吻合较好。

　　 与理论精确解^[15]的误差值随参数αl的变化图见图9, 由图9可知, 当边界条件为两端简支 (SS) 时, 改进折减刚度法^[15]结果稍微大于理论精确解^[15], 但不超过0.5%, 精度很高;当边界条件为其他三种情况 (CC, CF, CS) 时, 改进折减刚度法^[15]结果均小于理论精确解^[15], 误差值最大时对应的边界条件为一端固支一端简支 (CS) , 其次是一端固支一端自由 (CF) , 最后是两端固支梁 (CC) , 误差绝对值均在5%以内。数值分析表明, 改进折减刚度法^[15]计算公式较为简单, 形式统一, 不涉及双曲函数运算, 可用于不同边界条件下单跨组合梁的挠度计算。

　　 将表1计算公式得到的组合梁挠度计算值与文献[18]的挠度试验结果进行比较, 试验试件数据参见文献[8], 应用不同计算方法得到的跨中挠度见表2, 单位为mm。对于组合规范法, 梁号1～11按照现行《钢-混凝土组合桥梁设计规范》 (GB 50917—2013) ^[2]跨中集中荷载作用下简支组合梁的计算模型及公式进行挠度计算, 梁号12～15按照均布荷载作用下简支组合梁的计算模型及公式进行挠度计算, 计算结果见表2。

　　 由表2可知, 神经网络法^[11]计算得到的挠度值与试验值相差过大, 出现负数, 不符合实际情况。对于理论精确解^[12]、折减刚度法^[1]、组合规范法^[2]及改进折减刚度法^[15], 四种计算方法得到的计算值与试验值的误差对比图见图10。由图10可知, 组合规范法^[2]对应的误差值较大, 最大值超过25%。经计算, 理论精确解^[12]、折减刚度法^[1]、组合规范法^[2]及改进折减刚度法^[15]对应的误差平均值分别为7.356 2%, 7.652 1%, 13.769 6%, 6.572 4%, 误差的标准差分别为8.396 6%, 8.309 3%, 10.358 8%, 8.300 4%。通过比较折减刚度法^[1]、组合规范法^[2]及改进折减刚度法^[15]与试验值之间误差的平均值和标准差大小可知, 组合规范法的误差平均值及标准差最大, 其次是折减刚度法^[1], 最小的是改进折减刚度法^[15], 与试验值的误差对比结果表明改进折减刚度法^[15]得到的组合梁挠度计算值与试验值吻合较好, 精度较高, 计算结果优于折减刚度法^[1]和组合规范法^[2], 因此, 改进折减刚度法^[15]可以应用于单跨钢-混凝土组合梁的挠度计算。

　　 本文总结了各种不同计算方法得到的挠度放大系数计算公式, 通过作图分析了各种方法的特点及与理论精确解的误差情况, 数值分析及试验数据表明, 改进折减刚度法优点突出, 可作为一种近似计算方法应用于实际工程中部分抗剪连接组合梁的挠度计算。

　　 (1) 对于均布荷载作用下的常用两端简支组合梁, 折减刚度法与理论精确解的误差较大, 变化情况不稳定;组合规范法与理论精确解的误差为负值, 偏于不安全;改进折减刚度法与理论精确解的误差很小, 变化稳定, 偏于安全。

　　 (2) 对于两端简支组合梁, 可以忽略荷载形式不同的影响, 统一采用均布荷载作用下通过改进折减刚度法得到的挠度放大系数继而得到相应的挠度;对于均布荷载作用下的单跨组合梁, 四种不同边界条件下挠度放大系数与理论精确解均吻合较好, 误差绝对值小于5%, 相比之下, 改进折减刚度法计算公式简单统一, 便于应用。

　　 (3) 与已有文献中的试验结果对比发现, 改进折减刚度法计算得到的挠度值与试验数据比较吻合, 误差的平均值及标准差均小于规范中的两种不同计算方法, 表明改进折减刚度法精度较高。