0 引言

　　 古建筑木结构具有极高的历史、文化、艺术和科学价值。由于人为、自然等因素的作用，现存的古建筑木结构均已经出现了不同程度的残损(图1),对其进行健康监测和损伤检测具有重要意义。常见的损伤检测方法有观察检测法、现场荷载试验法、无损检测以及特殊情况下进行的抽样破坏性试验 ^[1]。上述方法虽较易实现，但需要提前获知结构损伤的大致位置，操作费时、费力、精度差，并且难以获取结构隐蔽位置的损伤信息。现存古建筑木结构损伤检测迫在眉睫，急需一种检测精度高、不破坏原有结构的损伤检测技术和一套合理的损伤判定理论，以便更好地应用于工程实践。

　　 图1 古建筑木结构局部构件残损情况 

　　  

　　 鉴于木材为各向异性材料，而钢结构、混凝土为各向同性材料，这种差异性加大了古建筑木结构损伤识别研究的难度。近年来，国内外学者从不同角度对结构损伤检测进行了研究。刘蕾蕾 ^[2]通过ANSYS程序对简支梁桥和连续梁桥进行了仿真模拟，结果表明，曲率模态对结构局部损伤很敏感。魏洋等 ^[3]将光纤光栅传感器应用到桥梁结构的健康状况监测中，结果表明光纤光栅传感器具有实测数据稳定、可靠、精确和准分布等优点，能实现对桥梁应力、温度等多项内容的实时监测，是一种有效的结构监测传感器。李德葆等 ^[4]阐明了曲率模态分析的理论依据及其特性，并推导了相关公式。徐华东等 ^[5]对带缺陷木梁进行了模态试验，通过观察曲率模态振型图的突变来判别结构损伤情况，结果表明，用曲率模态法进行木材损伤检测是行之有效的。项贻强等 ^[6]、朱劲松等 ^[7]分别提出了一种基于小波总能量相对变化的损伤识别方法，将其用于桥梁结构损伤识别，结果表明，提出的损伤识别指标能够准确判断损伤位置。王鑫等 ^[8]用有限元软件模拟了随机激励作用下的古建筑木结构损伤，并通过转化为小波包能量曲率差来判定结构的损伤，结果表明，该指标有一定的抗噪声干扰能力，对古建筑木结构的损伤较为敏感，可准确判定损伤位置。Yang等 ^[9]研究表明模态振型和曲率模态适宜对木材结子缺陷进行初步定位。Hu等 ^[10]发展了一种缺陷识别算法，并证明其能够对缺陷的位置及大小进行初步识别。Choi等 ^[11]利用试验模态分析方法对木材局部缺陷进行了研究，探索了模态应变在缺陷定量检测中的适用性。Capecchi等 ^[12]和Cawley等 ^[13]均提出频率法，然而这些方法对结构损伤识别的敏感性不高。综上，既有研究成果对于桥梁等结构损伤识别研究较为普遍，但对于残损木梁损伤识别研究较少，尤其缺乏残损木梁的损伤识别方法。

　　 为此，本文通过有限元软件建立损伤木梁模型，分析曲率模态技术对木材损伤检测的可行性和有效性。基于曲率模态图突变判定损伤位置，探讨在不同损伤位置、不同损伤程度下的识别效果，推导木梁基于曲率模态的损伤程度判定理论，并通过人工模拟损伤木梁的模态试验，验证有限元模拟方法的有效性以及理论的适用性。从而达到既能检测出损伤位置，又能判定出损伤程度的目的。

1 木梁基于曲率模态的损伤识别分析

　　 在有限元模拟时，通过改变局部单元的弹性模量E来模拟损伤 ^[9],损伤的程度根据弹性模量降低的程度来确定。对木梁模型含有同一损伤位置、不同损伤程度和同一损伤程度、不同损伤位置的曲率模态进行对比分析，进而说明曲率模态是一个对木梁损伤比较敏感的参数，用于木梁损伤识别是可行的。

1.1 有限元分析模型

　　 参照《木结构试验方法标准》(GB/T 50329—2012) ^[14],设计的木梁模型截面尺寸为80mm×120mm, 纵向长度为1 100mm, 木梁模型的材料属性见表1。

　　 木材材料属性 表1

木材种类	顺纹弹性模量E/MPa	泊松比μ	密度ρ/(kg/m3)
樟子松	7 500	0.35	450

 

　　  

　　 使用有限元软件ABAQUS对木梁模型进行模拟，模型采用Solid45单元，在木梁试件的纵向(Z方向)上共有45个节点、44个单元，在试件的横向(X方向)和竖向(Y方向)各有2个单元，如图2所示。模态分析过程利用Lanczos法特征值求解器进行求解。

　　 图2 木梁有限元模型 

　　  

　　 图3 单处损伤不同损伤程度一阶曲率模态对比 

　　  

1.2 单处损伤不同损伤程度时木梁模型的曲率模态与损伤程度的关系分析

　　 为了研究单处损伤不同损伤程度时木梁模型的曲率模态与损伤程度的关系，将22单元设为损伤单元，然后将22单元的弹性模量E分别降低5%,10%,20%,30%,40%来模拟相应的损伤程度。由于一阶曲率模态中的突变非常明显，并且现实条件下高阶模态不易获得，本文在研究损伤程度判定时采用低阶模态进行分析 ^[10]。图3、图4为模拟所得前两阶曲率模态对比，图中曲率为振型归一化后的比值，没有单位。曲率模态是在位移模态测量的基础上，通过中心差分后所得 ^[3]。

　　 图4 单处损伤不同损伤程度 二阶曲率模态对比 

　　  

　　 图5 单处损伤不同损伤位置 一阶曲率模态对比 

　　  

　　 图6 单处损伤不同损伤位置 二阶曲率模态对比  

　　  

　　 从图3,4中可以看出，局部单元弹性模量降低的有限元模型的曲率模态曲线会在22缺陷单元位置处发生突变。随着局部单元弹性模量降低程度的增加，损伤单元处曲率模态曲线突变的程度也在增加。通过分析可以得出：曲率模态可以用来估计结构局部弹性模量的变化；并且曲率模态对损伤识别较为敏感，可通过曲率的突变位置来判定损伤位置，通过其突变程度判定损伤程度。

1.3 单处损伤不同损伤位置时木梁模型的曲率模态与损伤位置的关系分析

　　 为了研究单处损伤不同损伤位置时木梁模型的曲率模态与损伤位置的关系，分别将11单元、15单元、22单元设为损伤单元，损伤程度都设为弹性模量E降低30%,前两阶曲率模态结果如图5、图6所示。

　　 从图5,6中可以看到，损伤单元分布的位置不同时，模型的曲率都会发生突变，即偏离了原来较为平滑的曲率模态曲线。通过分析可以得出：曲率模态能够显示出弹性模量发生变化的单元位置，并且曲率突变的位置即为损伤位置。也说明了曲率模态技术用于木梁损伤检测是可行的。

2 木梁基于曲率模态的损伤程度判定理论推导

2.1 基本假定

　　 以简支梁为例，做以下基本假定：1)简支梁做无阻尼的自由振动，忽略剪切变形的影响，只考虑梁各点的横向位移；2)梁为等截面直杆，以梁抗弯刚度EI减少来模拟梁的损伤，所以设梁的抗弯刚度为EI(x) ^[15],即沿跨度l随位置x任意变化；3)梁为均质材料，单位长度质量为m—m—;4)梁在弯曲过程中符合平截面假定，材料在线弹性范围内。

2.2 不同支撑条件下梁自由振动横向位移表达式

(1)简支梁做自由振动时位移方程式 ^[16]为：

　　 y(x,t)=Csinnπxl⋅sin(n2π2l2EI¯¯¯¯¯m—−−−√t+ϕ)         (1)y(x,t)=Csinnπxl⋅sin(n2π2l2EΙ¯m—t+ϕ)         (1)

　　 式中：C为待定常数，l为梁的净跨；x为观测点距梁支座的距离；t为梁自由振动时间；ϕ为相位角；n为振型，数值为正整数；y为梁在自由振动状态下的横向位移；EI¯¯¯¯EΙ¯为损伤后的刚度。

(2)固结梁做自由振动时位移方程式 ^[16]为：

　　 y(x,t)=B1[(cosλx−coshλx)−cosλl−coshλlsinλl−sinhλl×(sinλx−sinhλx)]⋅sin[(λl)2nEI¯¯¯¯¯m¯¯¯l−−−√t+ϕ]         (2)y(x,t)=B1[(cosλx-coshλx)-cosλl-coshλlsinλl-sinhλl×(sinλx-sinhλx)]⋅sin[(λl)n2EΙ¯m¯lt+ϕ]         (2)

　　 式中：B₁为常系数；λl为特征方程cosλl·coshλl=1的根，(λl)n=π2(2n+1),n=1,2,3,4,5,⋯(λl)n=π2(2n+1),n=1,2,3,4,5,⋯。

2.3 不同支撑条件下木梁损伤程度判定表达式推导

　　 损伤程度D定义为：

　　 D=1−EI¯¯¯¯¯EI         (3)D=1-EΙ¯EΙ         (3)

　　 式中EI为损伤前的刚度。

　　 由式(3)可导出损伤后的刚度与损伤程度的关系式为：

　　 EI¯¯¯¯=(1−D)EI         (4)EΙ¯=(1-D)EΙ         (4)

　　 将式(4)代入式(1)中，得到损伤部位位移表达式为：

　　 y(x,t)=Csinnπxl⋅sin(n2π2l2(1−D)EIm—−−−−−−√t+ϕ)         (5)y(x,t)=Csinnπxl⋅sin(n2π2l2(1-D)EΙm—t+ϕ)         (5)

　　 采取中心差分法来获取曲率模态 ^[4]。位移与曲率的转换公式为：

　　 Φ′′i=yi−1−2yi+yi+1l2         (6)Φ″i=yi-1-2yi+yi+1l2         (6)

　　 式中：i为损伤位置；Φ″_i为i处曲率模态；y_i为i处位移，即为式(5)所求的位移。

　　 曲率突变系数V_q定义为：

　　 Vq=Δiδi=|Φ′′i−Φ′′i−1||Φ′′i+Φ′′i−1|/2         (7)Vq=Δiδi=|Φ″i-Φ″i-1||Φ″i+Φ″i-1|/2         (7)

　　 式中：Δ_i为i处最大曲率差；δ_i为i处平均曲率。

　　 将式(6)代入式(7)中，则曲率突变系数V_q为：

　　 Vq=2(3yi−1+yi+1−3yi−yi−2)yi+1+yi−2−yi−1−yi         (8)Vq=2(3yi-1+yi+1-3yi-yi-2)yi+1+yi-2-yi-1-yi         (8)

　　 联立式(1),(3),(4),(8),最终得到简支梁损伤程度判定理论公式为：

　　 ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Vq=2(3yi−1+yi+1−3yi−yi−2)yi+1+yi−2−yi−1−yiyi(x,t)=Csinnπxl⋅sin(n2π2l2EI¯¯¯¯¯(x)m—−−−−−√t+ϕ)EI¯¯¯¯(x)={(1−D)EIEI(损伤处)(完好处)         (9){Vq=2(3yi-1+yi+1-3yi-yi-2)yi+1+yi-2-yi-1-yiyi(x,t)=Csinnπxl⋅sin(n2π2l2EΙ¯(x)m—t+ϕ)EΙ¯(x)={(1-D)EΙ(损伤处)EΙ(完好处)         (9)

　　 同理，联立式(2),(8),最终得到两端固结梁损伤程度判定理论公式：

　　 ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Vq=2(3yi−1+yi+1−3yi−yi−2)yi+1+yi−2−yi−1−yiyi(x,t)=B1[(cosλx−coshλx)−cosλl−coshλlsinλl−sinhλl×  (sinλx−sinhλx)]⋅sin[(λl)2nEI¯¯¯¯¯m¯¯¯l−−−√t+ϕ]EI¯¯¯¯(x)={(1−D)EIEI(损伤处)(完好处)(10){Vq=2(3yi-1+yi+1-3yi-yi-2)yi+1+yi-2-yi-1-yiyi(x,t)=B1[(cosλx-coshλx)-cosλl-coshλlsinλl-sinhλl×  (sinλx-sinhλx)]⋅sin[(λl)n2EΙ¯m¯lt+ϕ]EΙ¯(x)={(1-D)EΙ(损伤处)EΙ(完好处)(10)

　　 式(10)采用的方法与简支梁损伤判定公式类似，利用模态试验得出试验数据，将试验曲率突变系数与理论曲率突变系数(含未知数D)建立等式并求解，即可得到损伤程度D。

2.4 算例验证

　　 以简支梁为例，利用1.3节中损伤单元为22单元、损伤程度为30%这一模型，直接提取相关数据来验证简支梁损伤程度判定公式的适用性。

　　 由于低阶模态易获得、较稳定且能很好地反映构件的动态特性 ^[10],因此本文选取一阶模态来计算，一阶曲率模态见图7。

　　 图7 22单元损伤程度30%的一阶曲率模态  

　　  

　　 式(9)中位移方程式的未知数有C,n,x,t,ϕ,从图7中可以很容易看出，损伤部位为22单元，即i=22;从而可以确定位移方程式中的x值，由于单元划分长度为25mm, 所以x=525mm。由于本文选取一阶模态，则n=1。现假设t=0,此时处于未振动状态，则位移y=0,从而推出ϕ=0。一阶频率为107Hz, 则周期t=0.058s。l=1 100mm, E=7 500MPa, I=bh³/12,不能确定的未知数只剩常数C。

　　 经计算可得：y₂₀=0.2C,y₂₁=0.22C,y22=0.6×sin(8.41−D−−−−−√)Cy22=0.6×sin(8.41-D)C,y₂₁=0.28C。代入式(9)中，未知常数C可以消掉，计算得出损伤程度D=0.36。

　　 将数值模拟结果所计算的损伤程度与实际设定损伤程度相比，误差在10%以内，这表明通过简支梁损伤程度判定理论公式可以较为准确地判定出木梁的损伤程度。对于两者存在的一定误差，分析其原因：1)推导过程中所作的假定和实际情况存在差异，这种差异转换为曲率时会被放大；2)计算过程中采取了近似计算。

3 简支木梁曲率模态试验

3.1 试件设计与制作

　　 本试验试件截面尺寸为80mm×120mm, 纵向长度为1 300mm(包括两端伸出支座100mm)。

　　 由于残损会使构件的截面面积减少，所以本试验采用人工开槽的方式 ^[15]来模拟试件的初始损伤，开槽位置位于试件底部。开槽使截面惯性矩下降，从而使刚度降低。开槽深度与损伤程度关系如下：当在下侧开槽时，宽度b不变，高度h在减小，根据矩形截面惯性矩I计算表达式：I=bh³/12,当损伤程度为20%时，损伤截面处净惯性矩I′=bh′³/12=0.8I=0.8bh³/12,化简可得梁损伤截面处实际高度h′=0.8−−−√3hh′=0.83h,h=120,即h′=111mm, 开槽深度为9mm。其余损伤试件的开槽深度计算方法同上。试件具体尺寸如图8所示，试件基本参数见表2。

　　 试件基本参数 表2

试件 编号	损伤 程度/%	损伤位置	固有频率/Hz
			一阶频率	二阶频率
1	0	—	115.686	255.878
2	5	跨中	114.287	255.146
3	10	跨中	112.698	253.259
4	20	跨中	108.853	250.546
5	10	1/4跨	113.569	252.482

 

　　  

　　 图8 试件具体尺寸/mm  

　　  

3.2 测试方案

3.2.1 试验设备

　　 采用模态分析技术对木梁损伤进行检测时，一般需要激励设备、传感系统和分析系统三类仪器 ^[4]。本试验选用INV3060网络分布式采集分析仪对采集的信号进行分析处理，激振器采用应用力锤YD-5T121109,上述设备均为北京某振动和噪声技术研究所生产。接收器为美国PCB公司的加速度传感器3801D3FB20G。试验主要装置见图9。

　　 图9 试验装置 

　　  

3.2.2 激振方式

　　 本试验采用力锤激振，其在中小型结构中较为适用。锤击时，顶帽与结构发生冲击接触，传递给结构的冲击力近乎为半正弦形。在力锤使用过程中要避免反跳造成多次冲击，否则会造成信号处理阶段的困难。敲击时，不要用力过猛，避免造成结构局部变形超出弹性范围。

3.2.3 试件支撑方式及测点布置

　　 本试验梁的支撑方式为两端简支。试件两端各留100mm用于固定试件，将试件余下的1 100mm等距布置45个节点，划分为44个单元，每个单元长为25mm。试件尺寸及单元划分情况如图10所示，简支木梁试验实景如图11所示。

　　 图10 简支木梁试验简图/mm  

　　  

　　 图11 简支木梁试验实景图  

　　  

　　 测点数量、位置及测量方向的选择应考虑两个方面的要求：1)能够在变形后明确显示试验频段内所有模态的变形特征及各模态间的变形区别；2)保证所关心的结构残损点(即结构损伤关键位置)都在所选测量点之中。为了达到更好的试验效果，本文采用多点输入、多点输出的方法进行模态试验，将3个加速度传感器分别布置在5,19,29节点处进行互补，用力锤从第一节点依次敲至最后节点，每个节点至少敲击3次，最后取均值。

4 试验结果及其分析

4.1 试件固有频率

　　 固有频率是通过模态试验最容易获得的模态参数，且测试结果较为准确，同时固有频率是获取其他模态参数的基础，具有一定的代表性。由于试验条件有限，高阶模态不易获取，因此只分析前两阶模态 ^[10]。试件1～5的前两阶固有频率见表2。

　　 对比试件1～4可以看出，同阶固有频率随着损伤程度的增大而降低，但并无显著差别。对比试件1,3,5发现，相同损伤程度、不同损伤位置的试件固有频率差别不大。固有频率能简单地判别结构是否存在损伤，但并不能判别出损伤位置。此外，固有频率的变化需要与标准试件进行比较，这在现实条件下不易实现，因此用固有频率这一指标来判别损伤是不可靠的。

4.2 单处损伤不同损伤程度时木梁试件的曲率模态与损伤程度关系分析

　　 经过试验模态分析，得到完好木梁试件1与损伤木梁试件2～4的第一阶和第二阶曲率模态，分别如图12、图13所示。

　　 图12 单处损伤不同损伤程度试件一阶曲率模态对比 

　　  

　　 图13 单处损伤不同损伤程度试件二阶曲率模态对比 

　　  

　　 图14 单处损伤不同损伤位置 试件一阶曲率模态对比 

　　  

　　 图15 单处损伤不同损伤位置 试件二阶曲率模态对比  

　　  

　　 图16 试件4的一阶曲率 模态  

　　  

　　 图12、图13反映了木梁试件在单处损伤情况下不同损伤程度的曲率模态变化情况。从图中可以看出，与有限元分析结果相似，曲率在木梁损伤位置处有明显的突变，从而能够准确判定出损伤位置，并且曲率的突变程度随木梁损伤程度的增加而增大，突变程度在一定程度上可以反映出损伤程度，因此，利用曲率模态的突变程度可以估计木梁的损伤程度。

4.3 单处损伤不同损伤位置时木梁试件的曲率模态与损伤位置关系分析

　　 经过试验模态分析，得到完好木梁试件1与损伤木梁试件3,5的第一阶和第二阶曲率模态，分别如图14、图15所示。

　　 图14、图15反映了木梁试件在单处损伤情况下相同损伤程度、不同损伤位置时曲率模态的变化情况。从图中可以看出，与有限元分析结果相似，曲率的突变位置随着损伤位置的改变而改变。因此，通过木梁试件的曲率模态突变位置可以很容易地识别木梁试件损伤的位置。

4.4 损伤程度判定理论的验证

　　 同样以简支梁为例，验证2.3节简支梁损伤程度判定公式(9)的正确性与适用性。提取试件4在模态试验中的数据，绘制的一阶曲率模态曲线如图16所示。

　　 通过图16可以判定损伤位置在22单元，即i=22,从而可确定位移方程式中的x值，因单元划分长度为25mm, 所以x=525mm。由于选取一阶模态，则n=1。现假设t=0,此时处于未振动状态，则位移y=0,从而推出ϕ=0。试件4的一阶频率为108.853Hz, 则t=0.058s。l=1 100mm, E=7 500MPa, I=bh³/12。基于模态试验结果以及式(5)～(7),将采用中心差分法得出V_q试验值与理论值建立等式，可求出损伤程度D=0.29,试件设定损伤程度为20%。同理可分别求出各试件2,3,5的损伤程度分别为0.08,0.16,0.15。

　　 利用模态试验数据求解得到的损伤程度与实际设定损伤程度的误差均在在10%以内，这验证了简支梁损伤程度判定理论公式的适用性，其可以较为准确地判别出木梁试件的损伤程度。对于两者存在的一定误差，分析其原因：1)未考虑试验过程中支座固定条件、人为因素以及木梁试件自身缺陷；2)公式推导时假定梁做无阻尼自由振动，但在现实条件下是不可能实现的，因为阻尼会使振幅不断衰减，在一定程度上会减小相邻两节点的突变，使试验所得V_q值偏小。

5 结论

　　 (1)与完好木梁的曲率模态相比，当木梁存在损伤时，曲率模态在其损伤位置处会发生突变，突变程度随其损伤程度的增加而增大。曲率模态对木梁的损伤识别非常敏感，通过曲率模态可准确地判定和评估木梁的损伤位置和损伤程度。

　　 (2)通过有限元算例和模态试验对木梁损伤程度判定理论公式进行验证，误差在10%以内，表明木梁损伤程度判定理论公式在基本假定条件下具有一定的适用性。

　　 (3)采用有限元方法对木梁损伤进行模拟时，通过降低有限元模型局部单元弹性模量可以实现木梁局部损伤和缺陷的模拟。

　　 (4)有限元模态分析和试验模态分析所得到的曲率模态吻合较好，验证了利用曲率模态分析技术对木梁损伤进行识别是有效可行的。