近年来,我国各地频繁出现极端暴雨事件,城市内涝发生地点相对集中在大中城市^[1],严重影响着城市的正常运转和人们的生产生活。中国气象局和住房和城乡建设部签署合作框架协议,联合开展城市内涝预警和防治工作,这对城市排水防涝系统的规划设计和管理提出了更严格要求^[2]。城市排水防涝系统规划设计的前提是对城市降雨的情况和规律有清楚的认识和研究,有适合于本区域降雨规律的暴雨强度公式,它是确定城市防涝设施设计流量、城市排水防涝系统规划与设计的重要基础性工作,直接影响着排水防涝工程的投资和城市的安全^[3]。

　　 根据水文气象频率分析理论,暴雨强度公式是重现期、暴雨强度、降雨历时三者关系的数学表达式,是通过数理统计法^[4]对逐分钟的降雨资料整合后所得出的降雨规律。编制城市暴雨强度公式^[5]的步骤主要包括:资料的收集与处理、样本选取、频率分析、公式推求等。随着我国各地气象部门实测雨量资料的积累,大部分地区的实测降雨累积年份已经超过30年,同时考虑与水利部门成果的协调,《室外排水设计规范》(GB 50014-2016,2014年版)中建议采用年最大值采样法进行新的暴雨强度公式的编制。

　　 在近期编制城市暴雨强度公式的实践中,计算成果出现了大量的问题,给城市暴雨强度公式的使用和城市排水(雨水)防涝设施建设带来很大风险。其中表现最突出、问题最大的部分在理论频率曲线参数的计算,很多城市的研究成果误以为理论频率分析计算仅仅是单纯的几个复杂参数求解的数学问题,忽视了其工程实践经验因素,因此有必要结合实践经验探讨城市暴雨强度公式中皮尔逊Ⅲ型分布的适线原则和方法。

　　 目前在暴雨强度公式编制过程中,我国常用的理论频率曲线为皮尔逊Ⅲ型曲线、指数分布曲线、耿贝尔分布曲线。其中指数分布曲线不适合年最大值法,耿贝尔分布曲线是皮尔逊Ⅲ型曲线的一个特例,所以研究皮尔逊Ⅲ型曲线的频率分布具有实际意义。在对降雨样本进行频率分析工作之前,应先对选取的样本系列进行初步的概率密度分析,进而初步选定与样本相吻合的频率分析曲线进行降雨样本的频率分析。我国水文工作者已进行了大量的实例拟合和分析^[6,7],采用最大值法采样获得的各时段暴雨强度样本数据呈偏态铃型分布,符合皮尔逊Ⅲ(P-Ⅲ)型概率密度分布函数的特征。

　　 皮尔逊Ⅲ型分布的密度函数为:

　　 式中:Γ(α)为α的伽玛函数,α、β、b分别为P-Ⅲ型分布的形状、尺度和位置参数,α,β>0。其中α、β、b经适当换算,可以用3个基本统计参数:均值 、变差系数C_v、离差系数C_s表示如下:

　　 X的分布函数为:

　　 皮尔逊Ⅲ型分布曲线见图1。对随机变量X进行标准化,标准化形式为 ,可得:

　　 皮尔逊Ⅲ型分布三个参数X^-、C_v和C_s的确定没有理论解,通常可以采用极大似然法、矩法和适线法求得近似解。而在实际工作中发现矩法抽样误差大,不可靠;极大似然法在实际使用时计算比较繁杂,对计算的精确度要求较高,而且对某些分布(如P-Ⅲ型)的似然方程有时无解;相比较前两种方法,在初步快速、准确确定参数初值后,采用经验适线法还可以避免目估适线的任意性。因此在水文计算中通常使用适线法来推求参数的可行性解^[8]。

　　 对于年最大值样本系列,将不同历时下的样本值分别按从大到小顺序排列得到:x₁≥x₂≥…≥x_m≥…≥x_n。

　　 在不同历时下,分别采用经验频率公式:

　　 对每一个x_m,求出一个对应的经验频率p_m,将经验点据(x_m,p_m)点绘在海森机率格纸上,即得到样本系列点的经验频率曲线;把P-Ⅲ型分布中的P=P(x≥x_p)=F(x_p)的关系也画在格纸上,得到理论频率曲线。根据理论频率曲线对样本经验点据的拟合程度,确定最终的参数估计值,如图2所示。

　　 作为拟合曲线与经验点据间离差的量度,根据水文学和数理统计原理,可以有多种不同指标,如φ₁=∑Δx_i²,φ₂=∑︱Δx_i︱,φ₃=∑︱Δx_i︱^1/2,φ₄=∑Δp_i²,φ₅=∑︱Δp_i︱,φ₆=∑(Δp′_i)²,φ₇=∑︱Δp′_i︱,φ₈=∑︱Δx_iΔp_i︱等。取不同的指标达到最小求解C_v、C_s就构成了不同的适线准则。根据经验φ₁=∑Δx_i²=min准则和φ₄=∑Δp_i²=min准则较好。

　　 由于统计参数误差的存在,由实测降雨样本系列点绘出的经验频率曲线与P-Ⅲ型拟合绘制出的理论频率曲线两者不一定配合得好,必须通过反复调整适线来确定合适的统计参数。

　　 水文手册中求解P-Ⅲ参数时,进行的频率分析是分别相互独立的估计各个历时下样本的统计参数值,使各个历时下点线分别拟合最佳,若将对应参数下的各历时频率曲线同时绘制在海森机率格纸上,就可能会出现不同历时下的理论频率曲线相交的不合理现象。因此在进行降雨样本频率分析时,应将各个历时的降雨样本绘制在同一张海森机率格纸上,在一簇频率曲线的背景参照下,进行不同历时下统计参数C_v、C_s的调整,使统计参数能够符合基本的降雨规律。

　　 由于经验频率计算公式的问题,2年重现期以下的经验点据占总样本点据的50%,较小重现期下的数据对拟合误差值的贡献率较大,而对于排水工程上要求考虑的重现期一般在2年以上。因此,对于点线的拟合并非误差越小越好,应更多地照顾工程实际要求重现期段下的样本拟合情况。

　　 在同一海森机率格纸上绘制不同历时下P-Ⅲ型理论曲线与经验点据,参考水利部门的经验,设计暴雨量时取C_s/C_v=3.5,根据经验反复进行曲线参数调整:

　　 (1)应尽可能地照顾点群的走势,使频率曲线尽可能多地通过点群的中心。

　　 (2)分析经验样本点的精度,使曲线尽量地接近或通过较可靠的样本点。

　　 (3)对于特大值的处理,经验频率精度较差,适线分析时,不宜机械的使曲线无条件的通过这些样本点,而使曲线脱离点群;但也不能为了照顾点群趋势使曲线离特大值太远,应考虑特大值的可能误差范围以便进行曲线的调整。

　　 因实际工程上对重现期的要求不同,因此在频率分析适线时在满足点群趋势下,侧重考虑的范围段就会有所差异:城市市政排水设计时多考虑的是小重现期(一般2~20年)短历时降雨量,防涝系统规划设计时则会侧重考虑高重现期(20~100年)长历时的雨量值以更可靠的保证工程安全性^[9],而对于城市排水防涝属于大排水系统下的设施规划,应该兼顾城市排水与水利排涝综合考虑,最终在满足上述原则的情况下,各历时曲线之间应呈现一簇几乎平行走势的曲线族。

　　 本文以广州市为例,基于广州市的气象资料,运用上述方法原则对广州市暴雨强度公式推求过程中P-Ⅲ型理论频率适线进行分析。根据广州市中心城区深层隧道排水系统规划设计的要求,采用广东省气象局提供的广州市中心城区连续52年的实测年最大值样本系列,进行皮尔逊Ⅲ型理论曲线下短历时和长历时暴雨强度公式的频率适线分析。

　　 对于广州市城市排水管网系统的年最大值法短历时P-Ⅲ曲线适线,采用误差最小和排水管网侧重考虑的低重现期部分拟合最佳原则。重点考虑2~20年重现期段下的整族曲线与经验点据的拟合情况,使此重现期段内的曲线尽可能多地通过各经验点据中心;对于某些点据,P-Ⅲ理论曲线不能穿过其中心的,为了保证实际工程的安全可靠性,应在合理范围调高曲线。经过反复调整、优化后的短历时P-Ⅲ适线图详见图3,各调整参数值见表1。

　　 对于广州市城市排水防涝系统的年最大值法长历时P-Ⅲ曲线适线,采用上述原则进行适线。由于广州深邃排水系统规划设计时工程量大,工程安全性要求较高,应适当调大C_v、C_s值,重点考虑10~100年重现期段下的整族曲线与经验点据的拟合情况。经反复调整、优化后的长历时P-Ⅲ曲线在要求重现期段下能较可靠的保证工程安全性,最终适线结果详见图4,各调整参数值见表2。

　　 通过对广州市52年实测年最大值降雨样本系列进行的长、短历时下的P-Ⅲ频率适线分析,由反复调整优化后的上述各历时频率曲线,根据经验适线法φ₁=∑Δx_i²准则,分别统计计算出广州市城市排水管网系统要求重现期(2~20年)段和城市排水防涝系统要求重现期(10~100年)段各历时下的φ₁值,计算结果详见表3。

　　 由表3中统计计算的适线前、后的φ₁值对比可以看出:对于广州市城市排水管网系统(短历时)和城市排水防涝系统(长历时),在各自实际工程要求重现期段内的适线φ₁值均较小,样本点与所调适线之间误差值小、拟合程度较好,基本符合P-Ⅲ频率适线拟合误差最小原则和工程常用重现期段拟合最佳原则。

　　 由于工程实践中对工程设计重现期要求的不同,在满足适线基本原则要求下,城市排水短历时暴雨强度公式推求过程中多考虑的是小重现期下雨强;而城市防涝系统推求的长历时暴雨强度公式则更多的是考虑到工程安全性,即高重现期下的雨强值。在P-Ⅲ频率适线时,长历时适线在高重现期下斜率比短历时适线斜率大些,而在低重现期部分长历时适线斜率是小于短历时适线的。因此,长、短历时两套系统下推求的城市暴雨强度公式是不可以互相取代的,两者各司其职,才能够更可靠地保证工程安全性要求。

　　 城市暴雨强度公式推求的理论频率分析不仅仅是单纯的几个复杂参数求解的数学问题,在进行频率分析适线时更应该考虑到其工程实践经验因素,在保证实际工程经济合理性的情况下以更可靠地保证工程的安全性。结合实践经验提出皮尔逊Ⅲ型分布在适线时应遵循:拟合误差最小原则和工程常用重现期段拟合最佳原则。上述原则的提出和阐释可以使最终推求的城市暴雨强度公式更加符合工程需求。