0 引言

　　近年来我国涌现出越来越多的大跨度钢结构建筑，在施工过程中需设置临时支撑塔架，当主体结构安装完成后再拆除临时支撑，可减小安装过程中主体结构的内力和变形，安全性强，在诸多大型项目的建设中得到应用，如国家大剧院和国家体育场等^{[1,2,3,4,5,6]}。临时支撑可看作主体结构的弹性约束，在拆撑过程中主体结构上所施加的荷载不变，其边界条件随着临时支撑的卸载在不断变化，临时支撑与主体结构从完全接触逐渐转为完全脱离，即临时支撑由承载状态逐渐转为无载状态，而主体结构则由无载状态逐渐转为承载状态。为预测和控制拆撑过程中主体结构和临时支撑的内力和变形的变化情况，保证拆撑过程中结构的安全性及竣工时结构的力学状态和几何形态满足设计要求，对拆撑过程进行模拟分析尤为关键。拆撑过程数值模拟的难点在于千斤顶的模拟，临时支撑与主体结构脱离和接触的模拟及临时支撑回弹分析^[7]。

　　支座位移法的应用较早，通过给支座施加位移模拟千斤顶下降，但支座与主体结构相应节点的竖向自由度始终耦合在一起，无法模拟临时支撑与主体结构脱离及临时支撑回弹。等效杆端位移法利用现有商业有限元软件中的只压不拉杆单元的独特性质，模拟临时支撑与主体结构脱离及临时支撑回弹，但不能用于模拟联合临时支撑的情况，且不能模拟临时支撑与主体结构间的相对错动。文献[7]利用现有商业有限元软件中的只压不拉杆单元和梁单元构造了拆撑过程数值模拟的千斤顶单元法，但分析过程中千斤顶上端点与主体结构相应节点的竖向自由度始终耦合在一起，因此不能完全模拟现实意义上千斤顶与主体结构之间的脱离和相互错动。文献[8]基于经典梁单元，构造了模拟千斤顶工作机理的只压不拉梁单元-千斤顶单元，建立了拆撑过程的数值模拟方法:千斤顶-间隙单元法。其在千斤顶上端点与主体结构相关联节点之间设置一个间隙单元，通过两个单元的共同作用来模拟临时支撑与主体结构的脱离和接触，但分析过程中千斤顶上端点与主体结构相互作用的节点是不可变的，所以仍不能模拟临时支撑与主体结构之间的相对错动。鉴于此问题，本文建立了一种新的拆撑过程数值模拟方法:千斤顶-接触单元法。本方法在千斤顶单元上端点与主体结构之间设置一个接触单元，把千斤顶单元和接触单元串联起来，通过对这两个单元进行力学状态的判定及其参数的改变来模拟临时支撑与主体结构之间的脱离、接触和相互错动。

　　1 接触单元

　　在拆撑过程中，一般情况下主体结构与千斤顶之间在接触状态下只传递千斤顶轴线方向的力，不传递其他方向的力和弯矩，而在脱离状态下无任何力的传递。构造接触单元，由千斤顶的上端点和对应于主体结构上梁单元的两端点组成，共3个节点，每个节点有6个自由度。千斤顶上端点与主体结构的接触点在分析过程中是可变的，需通过分析确定。该接触单元可用来模拟拆撑过程中千斤顶与主体结构间的脱离和接触以及相互错动，如图1所示。

　　

　　图1 临时支撑与主体结构的接触和脱离  

　　 

　　接触单元的刚度矩阵及其控制方程可分为2种情况(在二维坐标系下进行讨论)。

　　1)脱离状态接触单元的刚度矩阵K^C为0，存在节点位移u^C，但单元应变ε^C和应力σ^C以及节点力F^C均置0。

　　2)接触状态千斤顶上端点与主体结构的接触点在千斤顶轴线方向(竖直方向)的即时坐标和位移增量相同，而在垂直于千斤顶轴线方向(水平方向)可能产生相对运动。在接触区域处，假设主体结构的单元变形后仍为直线(分析中为提高精度在接触区域须细化单元)，则千斤顶与主体结构间的相互作用即可简化为点-直线接触问题，如图2所示。在接触单元中，设点I和J是主体结构上单元的两端点，点K是千斤顶上端点，点L是与点K相接触的节点，则在接触状态下点K和L在千斤顶轴线方向的位移增量和即时坐标相等。

　　

　　图2 接触单元及其坐标系  

　　 

　　接触单元中主体结构采用经典梁单元，设单元长度为l_e，局部坐标系为，则点L在该局部坐标系中的坐标为。由于梁单元轴向位移采用线性插值函数，横向位移采用三次插值函数，则L点在单元I-J局部坐标系下的位移为:

　　

　　 

　　在整体坐标系x-y下，设千斤顶的轴线方向为竖直的y方向，则点K和L接触的位移约束方程为:

　　

　　 

　　令整体坐标系x-y逆时针旋转到单元I-J局部坐标系的角度为α，则:

　　

　　 

　　则:

　　

　　 

　　又因单元I-J两节点在局部坐标系下位移与整体坐标系下位移的关系为

　　

　　 

　　

　　 

　　利用罚函数法引入该约束方程，则接触单元势能泛函的表达式为^[9]:

　　

　　 

　　式中:c为一个大数(可取主体结构构件轴向刚度的10ⁿ倍，n≥3)^[8]。

　　对式(14)取变分可得:

　　

　　 

　　由于Δu^C为整体坐标系下的位移增量，则接触单元刚度矩阵K^C按对号入座的原则直接参与结构整体刚度矩阵即可。接触单元应变ε^C和应力σ^C以及节点力F^C置0。

　　在接触单元中，点K与线I-J之间接触和脱离状态的判定条件如下。

　　1)接触状态千斤顶上端点到直线I-J的距离l_C=0，令:

　　

　　 

　　式中:y'_L和y'_K分别为节点L和K在新坐标系x'-y'下的竖向坐标，而该新坐标系是通过逆时针旋转整体坐标系x-y角度α后所得到的(见图2)，则:

　　

　　 

　　在整体坐标系中点L与K的坐标相同，即x_L=x_K,y_L=y_K。千斤顶轴力F_x^J≤0。利用上述方法即可求得拆撑过程中与点K相接触的点L的位置及其参数ξ_L。

　　2)脱离状态千斤顶上端点到直线I-J的距离l_C>0，千斤顶轴力F_x^J=0。

　　3)临界状态在拆撑过程中千斤顶与主体结构之间相互作用的状态会发生转变，在t_k时刻千斤顶与主体结构接触(脱离)，在t_k+1时刻可能脱离(接触)，两种状态间的转变必会经历一个中间状态，称为临界状态，该状态在分析过程中须经过迭代求得。

　　2 千斤顶-接触单元法

　　千斤顶-接触单元法就是把千斤顶单元和接触单元串联起来，通过对两个单元进行力学状态的判定及其参数的改变来模拟拆撑过程，其原理和步骤具体如下。

　　1)制订合理的拆撑方案及主体结构落架方式，包括各千斤顶的卸载顺序、卸载步数及各步的下降量。

　　2)建立主体结构、临时支撑、千斤顶和接触的有限元模型，形成分析的整体有限元模型，设其控制方程为Ku=F。一般情况下在初始分析模型中，各千斤顶均与主体结构接触，即各接触单元中的l_C均置0。

　　3)采用施工过程模拟分析的单元“生死”法，先“杀死”所有单元，使得整个结构体系处于“零”状态^[10]。然后按主体结构安装及临时支撑搭设的时间和步骤，依次“激活”各构件，直至拆撑的初始状态。

　　4)拆撑过程分析。若上一阶段拆撑分析完成后获得主体结构、临时支撑、千斤顶及接触单元的力学状态。在此基础上，按拆撑方案下降本阶段要卸载的各千斤顶，即给其两端施加相应的大小相等、方向相反的位移荷载，设其缩短量为Δu_x^C。分析过程中把Δu_x^C再划分为N个子步进行非线性迭代求解，每个子步的下降量为Δu_x^C/N。在此为精确模拟千斤顶上端点与主体结构之间接触点变化的过程，N要尽可能取一个大值。每个卸载子步求解完成后判断千斤顶和接触单元的力学状态，若F_x^J和l_C没有发生符号上的转变，则只修正在接触状态下的千斤顶与主体结构接触位置的改变，然后进行下一子步的分析，依次进行直到本卸载步分析完成。否则，若有千斤顶在某个卸载子步内由脱离(接触)转到接触(脱离)，须进行迭代求得各临界状态，然后在临界状态接触(脱离)千斤顶，进而完成本子步的分析。以下说明两种状态之间转变的迭代算法，为描述方便，假设在每卸载步中其分析的开始时刻为t₀，分析完成时刻为t_N。

　　1台千斤顶在1个卸载子步内与主体结构从接触转到脱离的迭代算法^[8]如下。

　　1)若t_k时刻分析完成时千斤顶与主体结构接触，千斤顶轴力^kF_x^J<0，间隙长度l_C^k=0，设当前卸载子步t_k到t_k+1时刻千斤顶的下降量为Δ^ku_x^C，分析完成后若^k+1F_x^J>0，则说明千斤顶出现轴拉力，应在t_k+1时刻之前与主体结构脱离。

　　2)根据数值计算方法中非线性方程求解的线性插值法^[11]，通过(t_k,^kF_x^J)与(t_k+1,^k+1F_x^J)两点作一直线，与t轴交点的横坐标为:

　　

　　 

　　把Δ₁^ku_x^C作为当前卸载子步千斤顶新的下降量，重新进行分析得到₁^kF_x^J。

　　3)若₁^kF_x^J≤ε则收敛，所求得的临界状态即为t_k¹时刻，其中ε为一个小数;否则，令点(t_k¹,₁^kF_x^J)取代点(t_k+1,^k+1F_x^J)，重复步骤2)和3)，直到_n^kF_x^J≤ε，则临界状态为t_kⁿ时刻。

　　4)在临界状态独立接触单元L和K两点的自由度，使得千斤顶与主体结构脱离，接触单元刚度矩阵置0。然后t_kⁿ到t_k+1时刻千斤顶的下降量为Δ^ku_x^C-Δ_n^ku_x^C，再次求解即可得到t_k+1时刻主体结构和临时支撑的受力状态。

　　1台千斤顶在1个卸载子步内与主体结构从脱离转到接触的迭代算法^[8]如下。

　　1)若t_k时刻分析完成时千斤顶与主体结构脱离，间隙长度l_C^k>0，千斤顶轴力^kF_x^J=0，设当前卸载子步t_k到t_k+1时刻千斤顶的下降量为Δ^ku_x^C，分析完成后若l_C^k+1<0，则千斤顶与主体结构为嵌入状态，须进行迭代修正，使得千斤顶在t_k+1时刻之前与主体结构接触。

　　2)根据数值计算方法中非线性方程求解的线性插值法^[11]，通过(t_k,l_C^k)与(t_k+1,l_C^k+1)两点作一直线，与t轴交点的横坐标为:

　　

　　 

　　把Δ₁^ku_x^C作为当前卸载子步千斤顶新的下降量，重新进行分析得到¹l_C^k。

　　3)若¹l_C^k≤ε则收敛，所求得的临界状态即为t_k¹时刻，其中ε为一个小数;否则，令点(t_k¹,¹l_C^k)取代点(t_k+1,l_C^k+1)，重复步骤2)和3)，直到ⁿl_C^k≤ε，则临界状态为t_kⁿ时刻。

　　4)在临界状态耦合接触单元L和K两点的竖向自由度，使得千斤顶与主体结构接触，求得接触单元的刚度矩阵。然后t_kⁿ到t_k+1时刻千斤顶的下降量为Δ^ku_x^C-Δ_n^ku_x^C，再次求解即可得到t_k+1时刻主体结构和临时支撑的受力状态。

　　在此需指出的是，若不采用上述迭代算法，增大卸载的子步数也可达到同样的精度，但是计算量将非常大。

　　5)重复步骤4)直到所有千斤顶与主体结构脱离，则拆撑过程分析完成，即可得到拆撑过程主体结构和临时支撑的内力发展和变形变化的过程。

　　6)“杀死”所有临时支撑，按施工步骤安装后续主体结构的构件及围护结构等，并施加相应荷载，即可得到竣工时主体结构的内力状态和几何形态。

　　3 算例分析

　　采用FORTRAN语言编制千斤顶-接触单元法模拟拆撑过程的有限元程序。为研究拆撑过程中主体结构、临时支撑、千斤顶和接触单元的受力机理，检验算法及程序的正确性，仅对简单结构的拆撑过程进行分析。

　　1)取两端刚接梁-可动支撑体系进行分析(见图3)，梁长18m，支撑高2m，均采用H600×200×6×8。假设梁上作用的均布荷载q=35k N/m。计算模型中梁均匀划分为9个单元，支撑划分为1个单元，梁与支撑相互作用处不存在节点，节点编号如图3所示。假设支撑的位置在节点5和6之间变化，用系数k来反映其位置的改变，令k=0代表支撑点11支承在梁节点5处，k=1代表支撑点11支承在梁节点6处，其他类推。分析中支撑与梁的相互作用通过由节点5,6和11所构成的接触单元的刚度来传递，且假设支撑只约束梁的竖向自由度。k取值不同时梁的竖向位移如图4所示，可看出k=0.25与k=0.75,k=0与k=1下梁的位移均关于过梁跨中的竖直线对称，且支撑点从左移动到右时节点5的位移逐渐变大，相反，节点6的位移逐渐减小，这均与定性分析的结果相吻合，证明本文所构造的方法可精确模拟拆撑过程中支撑与主体结构接触点变化的情况。

　　

　　图3 两端固支梁-可动支撑体系节点编号  

　　 

　　

　　图4 k取值不同时梁的竖向位移  

　　 

　　2)取L形结构，在计算模型中柱高取8m，梁长L取13m，均采用H600×200×6×8，结构划分为12个单元，节点编号如图5所示。与千斤顶相互作用区域的单元长度取0.5m，比其他区域的要小，以减小在计算千斤顶上端点与主体结构间距时的误差。临时支撑高7.5m，采用H500×150×4×6。千斤顶高0.5m，分析过程中千斤顶上端点与主体结构构件轴心线上的节点相接触或脱离。材料弹性模量E=2.06×10¹¹N/m²。不考虑L形结构的柱、临时支撑和千斤顶自重，但假设L形结构的梁上作用均布荷载q=2k N/m(梁自重及施工过程中作用在其上的恒荷载)。2个临时支撑分别位于梁的L/2和L处(见图5)。L形结构和临时支撑采用经典梁单元，接触单元的刚度矩阵见式(17)。

　　拆撑方案采用“分组分步”的方式，具体步骤为:千斤顶1→2，分5大步、2小步完成。其中，每个大步的2个小步分别为千斤顶1下降U₁/5→千斤顶2下降U₂/5。在此U₁和U₂分别是拆撑完成时与千斤顶1和2初始接触点的竖向位移，分别取为节点8和9，节点12和13竖向位移的平均值。

　　采用千斤顶-接触单元法对该结构的拆撑过程进行了模拟分析，而千斤顶单元法和千斤顶-间隙单元法不能考虑接触点变化的影响。拆撑过程中千斤顶轴力、梁节点弯矩和位移、千斤顶顶点和临时支撑顶点(千斤顶底点)的竖向位移，以及千斤顶与梁支撑点之间的水平相对错动如图6～10所示。其中，横轴代表拆撑进度，“0”代表拆撑初始状态，“10”代表拆撑完成状态，且梁支撑点1和2分别为千斤顶1和2与梁在初始状态下的接触点，JEM表示千斤顶单元法，JCM表示千斤顶-接触单元法。

　　

　　图5 L形结构及临时支撑  

　　 

　　

　　图6 千斤顶轴力  

　　 

　　

　　图7 梁节点弯矩  

　　 

　　注:梁节点12(JEM)与梁节点12(JCM)重合

　　

　　图8 梁支撑点及千斤顶顶点竖向位移  

　　 

　　注:千斤顶2顶点与梁支撑点2重合

　　通过分析，可得出如下结论:千斤顶不会出现拉力，当千斤顶轴力为0时，说明千斤顶与梁脱离，同理轴力<0时，千斤顶与梁接触;由于千斤顶与主体结构脱离后两者独立变形，则千斤顶顶点的位移与相应位置处梁节点的位移不同，所以控制千斤顶的下降量与控制梁的变形不同;临时支撑在其内力减小时会发生回弹变形，拆撑过程中临时支撑顶点的位移反映了其变形的变化过程;在拆撑过程中，千斤顶与梁之间会产生一定的水平相对错动。

　　

　　图9 临时支撑顶点竖向位移 

　　 

　　

　　图1 0 梁支撑点与千斤顶之间水平相对位移 

　　 

　　注:梁支撑点1与梁支撑点2重合

　　3)为研究千斤顶单元法、千斤顶-间隙单元法和千斤顶-接触单元法的计算精度，对这3种方法所采用的计算模型进行讨论。同时，采用千斤顶单元法对上述算例的拆撑过程进行了分析，所获得的千斤顶轴力和梁节点弯矩如图6,7所示，可看出，与千斤顶-接触单元法所得到的结果存在一定差别，且当千斤顶与主体结构的接触位置改变较大时，该偏差较大，其影响不可忽略。文献[8]中验证了千斤顶单元法和千斤顶-间隙单元法的计算精度相同，因此这两种方法的计算模型可归为一类，定为模型1，而千斤顶-接触单元法的计算模型定为模型2。这两种模型的差别主要在于模型1中千斤顶与主体结构的接触位置不变，而模型2中的接触位置是可变的，如图11所示。可看出，若假设初始状态千斤顶上端点A与主体结构上的B点接触，则在结构变形之后给千斤顶一定的下降量，此时两种模型处理接触点时的原则分别为:模型1中千斤顶上端点A仍与主体结构上的B点相互作用，但实际上它们并不一定会接触;模型2中千斤顶上端点A会与主体结构上的C点产生相互作用，其具体位置根据结构的即时构形确定，这与实际情况相吻合。可见，模型2能更精确、真实地模拟结构的拆撑过程。

　　

　　图1 1 模型1和2的力学原理  

　　 

　　4 结语

　　1)建立一种新的拆撑过程数值模拟方法:千斤顶-接触单元法。本方法在千斤顶单元上端点与主体结构间设置1个接触单元，把千斤顶单元和接触单元串联起来，通过对这两个单元进行力学状态的判定及其参数的改变来模拟临时支撑与主体结构之间的脱离、接触和相互错动。

　　2)推导了千斤顶上端点与主体结构接触区域的位移约束条件，利用罚函数法把该约束条件引入势能泛函，然后对其进行变分，获得了接触单元的刚度矩阵。

　　3)构造了千斤顶-接触单元法程序实现的算法，采用FORTRAN语言编制了拆撑过程分析的有限元程序。算例分析表明，本方法理论正确，所编制程序可精确、真实地分析大跨度钢结构拆撑过程中内力发展和变形变化。