考虑应变率效应与尺寸效应影响的普通混凝土名义抗拉强度理论预测方法
0 概述
随着我国经济、社会的持续高速发展，土木工程在基础建设方面发挥着举足轻重的作用。工程结构服役期间承受着不同类型的静、动态荷载，按照荷载应变率进行分类，包括蠕变(10-8～10-7s-1)、准静态(10-6～10-5s-1)、汽车冲击(10-4～10-3s-1)、飞机冲击(10-2～10-1s-1)、导弹或落石等冲击(100～102s-1)、地震(10-4～102s-1)以及爆炸(10-2～103s-1)等 [1]。我国是地震多发国家，自2008年汶川地震以来，工程结构抗震问题已成为土木工程领域的研究热点之一。此外，随着全球恐怖袭击、战争隐患等日益剧增，工程结构抗爆、耐冲击等问题亦成为重点研究对象。因此，工程结构(尤其是大型工程结构)在动力荷载作用下的力学性能评估与安全设计十分重要。
混凝土自诞生至今，一直是土木工程领域应用最为广泛的一类工程材料。混凝土是典型的率敏感材料，其宏观力学性能存在显著的应变率效应。应变率效应是指在动态加载条件下，以强度为代表的力学性能指标随荷载应变率增大而提高。1917年，Abrams [2]首次提出了混凝土材料的应变率效应问题。其后，各国学者对此开展了大量试验研究，得到的普遍结论是：低应变率加载条件下，强度随应变率增加缓慢提高；高应变率加载条件下，强度随应变率增加加速提高 [3,4,5,6,7,8,9]。关于混凝土材料率敏感性的机理还没有一个较完善的统一解释，主要有五类影响因素，包括热活化与宏观黏性、能量耗散、混凝土中自由水黏性、惯性力和试验方法 [10]。欧洲CEB-FIP规范 [11]和FIB规范 [12]采用基于大量试验观测数据经验拟合得到的动力增大因子计算模型表征应变率效应的强弱，拟合效果存在离散性且参数物理意义不够明确。我国在混凝土材料动态力学特性方面的研究起步较晚，至今未形成统一的用于设计规范的动力增大因子计算模型，仅现行《水工建筑物抗震设计规范》(GB 51247—2018) [13]指出：混凝土动态弹性模量标准值可较其静态标准值提高50%;混凝土材料动态抗拉强度的标准值可取为其动态抗压强度标准值的10%。显然，这种对混凝土材料动态特性的考虑是初步的。因此，有必要开展混凝土应变率效应的机理分析以及动力增大因子的理论解析工作。
混凝土材料除存在率敏感性外，还存在尺寸敏感性，即其宏观力学性能存在尺寸效应。混凝土尺寸效应问题一直是各国学者研究的热点。尺寸效应是指随着结构尺寸的增大，以强度为代表的力学性能指标不再为常数，且通常有劣化的趋势 [14,15]。因此，基于实验室尺度试件量测得到的材料或构件力学参数仅通过经验外推用于实际工程结构是否合理，是值得商榷的。目前，虽存在几类基于不同理论框架的模型分析方法，但仍存在较大分歧 [16,17]。我国现行《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010)(2015年版) [18]多采用设置安全储备系数等技术措施简单规避尺寸效应带来的力学性能劣化。然而，这种粗犷的技术措施，一方面容易造成混凝土材料的浪费，另一方面亦无法从根本上避免尺寸效应的影响。因此，需要建立合理的尺寸效应理论模型，为指导大型混凝土工程结构设计提供理论依据。
基于上述分析，混凝土宏观力学性能随荷载应变率增大而提高、随结构尺寸增大则存在劣化的趋势，即应变率效应和尺寸效应对混凝土宏观力学性能的影响呈相反趋势。如不考虑尺寸效应导致的性能劣化，仅依据现有经验拟合动力增大因子计算模型、基于实验室尺度标准试件的强度等力学性能指标进行混凝土材料动态力学特性设计，将导致大型混凝土工程结构趋于不安全。目前，针对应变率效应和尺寸效应耦合作用下混凝土材料的断裂破坏行为和宏观力学性能的理论研究相对较少。本文结合笔者前期研究工作中建立的具有实际物理意义参数的抗拉强度动力增大因子计算模型和考虑混凝土材料配合比设计参数的全局尺寸效应模型，尝试建立同时考虑应变率效应与尺寸效应影响的普通混凝土名义抗拉强度理论预测方法。
1 研究现状及研究基础
1.1 抗拉强度动力增大因子解析理论
对应变率效应强弱的表征通常采用动力增大因子ψ,其广义表达式为：
ψ=Γ(ε˙d)Γ(ε˙s) (1)ψ=Γ(ε˙d)Γ(ε˙s) (1)
式中：Г为任意材料性能，如强度、弹性模量、断裂能等；ε˙dε˙d为任意动态应变率；ε˙sε˙s为准静态应变率(通常需人为确定)。
文献[3]归纳了应变率10-8～102s-1范围内混凝土的抗压强度动力增大因子(ψc),以10-5s-1为准静态应变率，ψc值变化范围为0.75～2.25;文献[5]对应变率10-6～102s-1范围内混凝土的抗拉强度动力增大因子(ψt)进行了总结，以10-6s-1为准静态应变率，当应变率为101s-1时，ψt值超过了8。此外，混凝土强度等级亦对其应变率效应产生显著影响，通常普通混凝土力学性能随应变率增大而提高的程度大于高强混凝土，因此欧洲CEB-FIP规范 [11]中采用的动力增大因子计算模型建议降低高强混凝土的应变率效应。其他影响混凝土应变率效应的因素还包括：水灰比、养护条件、湿度条件、龄期、温度、尺寸效应、试验手段和加载方式等 [10]。
由于应变率效应问题的复杂性，绝大多数学者采用了有限试验数据和回归分析方法相结合的技术手段。表1总结了几类典型的抗拉强度动力增大因子ψt拟合模型。可以看到，拟合模型的计算公式形式不一，并且由于拟合参数无具体物理含义，各公式取值相差悬殊。图1给出了上述拟合模型预测的抗拉强度动力增大因子ψt随荷载应变率ε˙dε˙d的变化趋势。可以看到，各模型预测的趋势虽基本相同，但离散性十分显著。此外，受拟合试验数据点离散性的影响，ψt随ε˙dε˙d变化曲线拐点位置的确定极易受到人为因素影响。
表1混凝土抗拉强度动态增大因子ψt计算模型
类型 |
模型来源 | 计算公式 | 适用范围及参数含义 | 特点及评述 |
欧洲规范 模型及其 修正模型 |
文献[11] |
⎧⎩⎨⎪⎪ψt=(ε˙dε˙s)1.016δψt=β(ε˙dε˙s)1/3 (ε˙d≤30s−1) (ε˙d>30s−1){ψt=(ε˙dε˙s)1.016δ (ε˙d≤30s-1)ψt=β(ε˙dε˙s)1/3 (ε˙d>30s-1) 式中δ和β为经验参数，由公式δ=110+6(f ′c/f ′c0),logβ=7.11δ−2.33δ=110+6(f ′c/f ′c0),logβ=7.11δ-2.33确定，f ′c为混凝土抗压强度，f ′c0=10MPa |
适用的应变率范围为3×10-6～3×102s-1,并以3×10-6s-1为准静态应变率 | 能够考虑混凝土强度等级对应变率效应的影响 |
文献[5] |
⎧⎩⎨⎪⎪ψt=(ε˙dε˙s)δψt=β(ε˙dε˙s)1/3 (ε˙d≤1s−1) (ε˙d>1s−1){ψt=(ε˙dε˙s)δ (ε˙d≤1s-1)ψt=β(ε˙dε˙s)1/3 (ε˙d>1s-1) 式中δ和β为经验参数，由公式δ=11+8(f ′c/f ′c0),logβ=6δ−2δ=11+8(f ′c/f ′c0),logβ=6δ-2两个公式确定，f ′c为混凝土抗压强度，f ′c0=10MPa |
适用的应变率范围为1×10-6～1.6×102s-1,并以1×10-6s-1为准静态应变率 | 修正模型[5]较CEB-FIP规范[11]模型更加激进 | |
文献[12] |
⎧⎩⎨⎪⎪ψt=(ε˙dε˙s)0.018ψt=0.0062(ε˙dε˙s)1/3 (ε˙d≤10s−1) (ε˙d>10s−1){ψt=(ε˙dε˙s)0.018 (ε˙d≤10s-1)ψt=0.0062(ε˙dε˙s)1/3 (ε˙d>10s-1) |
适用的应变率范围为1×10-6～3×102s-1,并以1×10-6s-1为准静态应变率 | 与CEB-FIP规范[11]模型相比，更新的FIB规范[12]模型摒弃了经验参数δ和β,公式形式更加简洁，但也因此无法体现混凝土强度等级对应变率效应的影响 | |
基于有限 试验数据 拟合模型 |
文献[19] |
{ψt=1.8330+0.1425logε˙dψt=0.8140+2.9290logε˙d(ε˙d≤2.32s−1)(ε˙d>2.32s−1){ψt=1.8330+0.1425logε˙d(ε˙d≤2.32s-1)ψt=0.8140+2.9290logε˙d(ε˙d>2.32s-1) |
适用的应变率范围为1×10-6～1×103s-1,并以1×10-6s-1为准静态应变率 | 拟合参数存在离散性，拐点位置易受人为因素影响 |
文献[20] |
⎧⎩⎨⎪⎪ψt=1.0ψt=2.06+0.26logε˙dψt=2.06+2logε˙d(ε˙d≤10−4s−1)(10−4s−1≤ε˙d≤1s−1)(ε˙d>1s−1){ψt=1.0(ε˙d≤10-4s-1)ψt=2.06+0.26logε˙d(10-4s-1≤ε˙d≤1s-1)ψt=2.06+2logε˙d(ε˙d>1s-1) |
适用的应变率最大为1×103s-1 |
图1 ψt随ε˙dε˙d变化趋势
针对应变率效应机理解释不够明确、动力增大因子解析理论不够系统的研究现状，笔者基于牛顿运动定律解释了动态名义强度的产生机理，并结合扩展的自洽有限应力模型，通过合理假设不同荷载应变率条件下混凝土材料的应力-应变关系曲线，推导得到了抗拉强度动力增大因子ψt的解析解 [21],其表达式为：
ψt=1+Qsε˙2d (2)ψt=1+Qsε˙d2 (2)
式中Qs为准静态材料常数，其表达式为式(3),推导过程详见文献[21]。
Qs=2mlbGfε2u (3)Qs=2mlbGfεu2 (3)
式中：m为试件质量；l和b分别为试件宽度和厚度；Gf为材料的断裂能；εu为材料的极限拉应变。
由公式(2)可以看到，当ε˙dε˙d无限小而趋于0时，即处于准静态加载条件下，ψt将趋近于1;当ε˙dε˙d逐渐增大时，即处于动态加载条件下，ψt亦随之增大。相比表1所示的欧洲规范采用的和其他学者建立的计算公式，公式(2)为连续函数，无需人为确定拐点位置。此外，由公式(3)可以看到，Qs为具有实际物理意义的参数，与试件质量(惯性效应)、试件尺寸(尺寸效应)、材料性能(配合比设计参数)等密切相关。
1.2 考虑配合比参数影响的全局尺寸效应模型
尺度律是任何物理理论的基础。目前，根据不同基本理论框架，主要包括基于统计理论的尺寸效应律、基于分形理论的尺寸效应律和基于断裂理论的尺寸效应律三类，典型的有随机强度尺寸效应模型 [22]、多重分形尺寸效应模型 [23]、基于边界效应理论的尺寸效应模型 [24]、基于准脆性断裂力学理论(包括Type-1,Type-2以及Universal)的尺寸效应模型 [25]等。
上述尺寸效应模型在一定尺寸范围内均能够较好地描述混凝土宏观力学性能随结构尺寸的变化行为。然而，不可否认的是，由于针对尺寸效应问题的研究在不同的历史时期所采用的基本理论框架不同，导致对尺寸效应行为产生的根源问题的机理解释不尽相同。早在20世纪60年代，就有学者基于混凝土梁抗剪试验结果指出，当梁高从约150mm增大到约1 200mm时，其名义抗剪强度减小约40% [26]。其后，混凝土尺寸效应问题得到了各国学者的广泛关注，并针对混凝土结构的尺寸效应问题开展了大量的试验、数值及理论研究。20世纪80年代以前，基于统计理论的尺寸效应律主要被用于解释强度随结构尺寸增大而降低的机理，并且这一机理被日本结构设计规范 [27]所采用。20世纪80年代，基于断裂理论的尺寸效应律成为解释混凝土尺寸效应行为机理的主要方法，这主要得益于Type-2尺寸效应模型 [28]的出现。时至今日，Type-2尺寸效应模型以及发展而来的Type-1和Universal尺寸效应模型已被美国混凝土协会ACI 318-19规范 [29]接受。20世纪90年代，有学者将新兴的分形理论用于混凝土尺寸效应的研究，提出了基于分形理论的尺寸效应律 [30]。21世纪初，基于混凝土边界层内不同骨料尺寸引起的边界效应问题，又出现了一类基于边界效应理论的尺寸效应模型 [31]。尽管不同的基本理论框架和不同水平的认知程度使得混凝土尺寸效应理论至今难以形成统一认识，但关于混凝土尺寸效应根源问题的讨论仍然极大地丰富了其研究方法 [16,17]。
此外，现有尺寸效应模型大多仅考虑截面宽度、预制裂缝长度等宏观结构尺寸对混凝土力学性能的影响，因此无法体现混凝土材料的非均质特性导致的非线性行为等对其宏观力学性能的影响，典型的有骨料粒径效应、骨料含量效应以及水灰比变化导致的界面强度影响等。为将配合比参数对混凝土材料本身力学性能的影响引入混凝土结构尺寸效应分析理论，笔者结合提出的混凝土细观通用形态学模型 [32]和应用相对广泛的Type-2尺寸效应模型 [28],建立了考虑配合比参数影响的全局尺寸效应模型 [33],其表达式为：
fnt=(MS)ft,m (4)fnt=(ΜS)ft,m (4)
式中： fnt为混凝土名义抗拉强度； ft, m为砂浆基质抗拉强度；M和S分别为材料配合比参数和结构尺寸参数，其表达式分别为式(5),(6),推导过程详见文献[33]。
式中：ρr为模型采用的细观尺度与宏观尺度之间的比例系数；B和D0为与结构形状相关的常数 [28];η为界面裂缝指数；n为骨料尺寸分组编号；gj为骨料级配，j为级配编号；Pk为骨料总含量；D为结构特征尺寸。
由公式(4)～(6)可以看到，基于全局尺寸效应模型求解混凝土名义抗拉强度fnt,即以砂浆基质抗拉强度ft, m为基本已知量，通过材料配合比参数M和结构尺寸参数S两个比例系数进行调谐。需要说明的是，由公式(4)～(6)确定的全局尺寸效应模型仅适用于普通混凝土，即骨料颗粒在混凝土材料发生单轴拉伸断裂时不存在破裂行为。针对骨料破裂情况下混凝土材料宏观力学性能的演化问题将另文探讨。
2 应变率-配合比-结构尺寸统一分析方法
当考虑材料强度的尺度律(即尺寸效应)时，需要用名义强度代替不考虑尺寸效应时的材料强度。因此可以假设：若同时考虑应变率效应和尺寸效应的影响，则混凝土动态强度广义表达式为：
f⋅n=ψfn (7)f⋅n=ψfn (7)
式中f⋅nf⋅n和fn分别为动态和准静态加载条件下的混凝土名义强度。
根据公式(2)给出的含实际物理意义参数的混凝土抗拉强度动力增大因子ψt [21],以及公式(4)给出的基于全局尺寸效应模型的混凝土名义抗拉强度fnt [33],容易得到动态加载条件下普通混凝土名义抗拉强度f⋅ntf⋅nt为：
f⋅nt=ψt fnt (8)f⋅nt=ψt fnt (8)
由公式(3)可以看到，准静态材料常数Qs受到m,l,b,Gf以及εu这5个结构或材料参数的综合影响。为便于工程应用，可将其中的试件质量m和材料断裂能Gf转换为易于现场得到的实测参数，如：m=ρV(ρ为混凝土材料的密度，V为试件体积，V=llrb,lr为试件高度或参考长度 [21,33]),Gf=fntεulr/2(基于文献[21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33]基本假定)。进而，将公式(2)～(3)及上述转换关系代入公式(8),可以推导得到：
图2 Pk=0.75时M随η变化趋势
图3 S随l/D0变化趋势
图4 Lsr随l/D0变化趋势
f⋅nt=fnt+(4ρl2ε3u)ε˙2d (9)f⋅nt=fnt+(4ρl2εu3)ε˙d2 (9)
为初步验证公式(9)推导是否合理，对其进行量纲分析可知，公式第二项[(4ρl2ε3u)ε˙2d][(4ρl2εu3)ε˙d2]量纲为Pa, 与f⋅nf⋅n和fn量纲一致。进一步，定义公式(9)中(4ρl2ε3u)(4ρl2εu3)为荷载应变率参数Lsr,即
Lsr=4ρl2ε3u (10)Lsr=4ρl2εu3 (10)
将公式(4)和(10)代入公式(9)得到动态加载条件下普通混凝土名义抗拉强度f⋅ntf⋅nt的具体表达式为：
f⋅nt=(MS)ft,m+Lsrε˙2d (11)f⋅nt=(ΜS)ft,m+Lsrε˙d2 (11)
可以看到，当ε˙dε˙d无限小而趋于0时，公式(11)将退化为公式(4)表示的准静态加载条件下的混凝土名义抗拉强度fnt;当ε˙dε˙d逐渐增大时，动态加载条件下的混凝土名义抗拉强度f⋅ntf⋅nt将同时受到材料配合比参数M、结构尺寸参数S以及荷载应变率参数Lsr影响。
3 参数分析
为便于讨论M,S和Lsr三参数对f⋅ntf⋅nt的影响规律，借鉴文献[33]中的参数分析方法，并根据我国《水工混凝土配合比设计规程》(DL/T 5330—2015) [34],令ρr=1,B=1,D0=1m, n=4,εu=1,ρ=1kg/m3。
3.1 材料配合比参数M
由公式(5)可以看到，M与表征界面力学性能强弱的界面裂缝指数η、表征平均(或最大)骨料粒径大小的骨料级配gj、骨料总含量Pk等细观参数密切相关。在细观尺度上，界面过渡区是普通混凝土材料中的薄弱环节，其力学性能的强弱直接影响混凝土的宏观力学性能。以Pk=0.75 [35]为例，图2给出了不同级配混凝土M随η的变化趋势。根据文献[32],界面裂缝指数η与界面强度成反比关系，即η越大，界面强度越低。因此，由图2可以分析得到，总体上M随η的增大逐渐减小，即普通混凝土强度随界面力学性能降低亦降低。
此外，针对骨料粒径效应，由图2分析可知，存在一临界界面裂缝指数ηc=0.427,使得混凝土强度不随骨料粒径变化；当η <0.427时，混凝土强度随骨料粒径增大而提高；当η>0.427时，混凝土强度随骨料粒径增大而降低 [33]。
3.2 结构尺寸参数S
由公式(6)可以看到，S与选取的结构特征尺寸密切相关。这里，取结构特征尺寸为试件宽度l。图3给出了S随l/D0的变化趋势，可以看到，结构尺寸参数S随以l/D0表征的结构尺寸增大而增大，与Type-2尺寸效应模型 [28]一致。
3.3 荷载应变率参数Lsr
由公式(10)可以看到，与结构尺寸参数S相似，Lsr亦与试件宽度l相关。图4给出了Lsr随l/D0的变化趋势。可以看到，荷载应变率参数Lsr随以l/D0表征的结构尺寸增大而快速增大。这是由于随着结构尺寸或体积的增大，惯性效应增强，因而体现为荷载应变率参数Lsr的快速增大。
4 荷载应变率对混凝土尺寸效应行为影响分析
基于提出的应变率-配合比-结构尺寸统一分析方法，可讨论荷载应变率对普通混凝土名义抗拉强度尺寸效应行为的影响。根据本文3.1节分析，可取ηc=0.427,则有恒定M=0.422;另为简化计算，取ft, m=1Pa; 其他参数与本文第3节一致。进而，将公式(11)无量纲化，则有：
f⋅ntft,m=0.4221+lD0√+4(lD0)2ε˙2d (12)f⋅ntft,m=0.4221+lD0+4(lD0)2ε˙d2 (12)
图5给出了荷载应变率在1×10-6～1×10-3s-1范围内f⋅ntft,mf⋅ntft,m随lD0lD0的变化曲线。当荷载应变率小于1×10-4s-1时，荷载应变率引起的名义强度增强效应较弱，因此其对尺寸效应行为无显著影响，即普通混凝土名义抗拉强度随结构尺寸增大单调降低。当荷载应变率大于1×10-4s-1时，普通混凝土名义抗拉强度随结构尺寸增大先降低后提高，产生这一现象的原因是：
(1)结构尺寸较小时，惯性效应较弱，荷载应变率引起的名义强度增强效应亦较弱，故对尺寸效应行为无显著影响。
(2)结构尺寸逐渐增大时，惯性效应亦逐渐增强，当荷载应变率引起的名义强度增强效应超过尺寸效应行为带来的力学性能劣化程度时，名义抗拉强度即随结构尺寸增大而逐渐提高。
需要说明的是，上述分析是在选取简单参数基础上形成的规律性认识，如图6所示，随着荷载应变率继续提高，混凝土名义抗拉强度受应变率效应影响显著提高，并有抵消尺寸效应影响的趋势，因此，应存在一能够抑制尺寸效应行为的临界荷载应变率，这与文献[36]数值试验结果一致。此外，本文提出的普通混凝土名义抗拉强度理论预测方法是在抗拉强度动力增大因子解析理论和考虑配合比参数影响的全局尺寸效应模型基础上建立的，存在较多基本假定，如：均为2D模型、单轴拉伸加载条件下混凝土为单一裂纹破坏形态、混凝土材料应力-应变关系曲线采用双线性弹性本构模型、骨料形状假定为圆形等，上述假定均易使解析解与实际存在差异。后续将开展系统试验，对建立的应变率-配合比-结构尺寸统一分析方法进行标定和修正。
图5 不同荷载应变率下f⋅nt/ft,mf⋅nt/ft,m随l/D0变化曲线
图6 不同荷载应变率下f⋅nt/ft,mf⋅nt/ft,m随l/D0变化曲线
5 结论
在混凝土抗拉强度动力增大因子解析理论和考虑配合比参数影响的全局尺寸效应模型的研究基础上，建立了全解析的用于普通混凝土名义抗拉强度预测的应变率-配合比-结构尺寸统一分析方法。基于建立的统一分析方法，分析了应变率效应对混凝土尺寸效应行为的影响，得到的主要结论如下：
(1)荷载应变率较低时，应变率效应对混凝土尺寸效应行为影响可忽略；荷载应变率较高时，随结构尺寸增大，惯性效应增强，应变率效应对混凝土尺寸效应行为有削弱作用。
(2)根据本文解析理论及已有数值试验结果，存在能够抑制尺寸效应行为的临界荷载应变率。
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