0 引言

　　 针对传统桩基础设计方法带来的碟形差异沉降问题，许多学者 ^[1,2,3,4,5]做了大量的优化设计研究分析。《建筑桩基技术规范》(JGJ 94—2008) ^[6]于2008年提出了变刚度调平设计理念，加快了桩基础优化设计的应用普及。然而，由于设计概念的本质特征，桩筏基础常用于软土中，结构、土体和基础作为一个耦合系统使得建筑物的地震响应评估必须包含建筑物与土壤之间的动态相互作用。桩筏基础的动刚度，即基础动阻抗函数是土-桩-结构动力相互作用分析的关键 ^[7]。历次大地震后，各类桩基础出现了严重的破坏现象，如桩头的剪切破坏等 ^[8]。变刚度优化设计使桩筏基础的静刚度分布变得不再均匀(竖向刚度沿水平向或竖向非均匀分布),为保证这类结构的安全，需要深入研究变刚度优化设计对桩筏基础动刚度的影响。

　　 在动力荷载作用下，如地震或上部结构引起的振动，桩体的存在会对地基动刚度产生一定的影响。由于桩体与土体的振动特性不同、波在两种介质之间传播以及群桩效应等使群桩动阻抗函数的计算变得十分复杂，桩基础变刚度调平设计产生的变桩距、变桩径、变桩长等非均匀布桩会加剧这种复杂性。Novak等 ^[9]通过引入平面应变假设，首先进行了单桩动阻抗函数研究；Kaynia等 ^[10]研究了均质地基中群桩的动阻抗函数，其结果被视为严密解答，成为众多算法对比校核的依据。

　　 本文采用直接法 ^[11]首先计算了半空间弹性地基上2×2群桩基础的动阻抗函数，并与Kaynia等 ^[10]的解析解进行对比，验证了计算方法的精度；然后，将该方法用于成层地基中大规模桩筏基础的动阻抗函数计算。考虑到地震动的不确定性，桩筏基础可能遭受到不同强度的超设计基准地震动。因此，本文对比研究了三种不同地震动水平作用下，变桩距和变桩径优化设计对桩筏基础水平(X向)、竖直和回转三个方向动阻抗函数的影响。分析了不同荷载频率下桩筏基础动刚度受水平向变刚度影响的特点，为考虑动力荷载的桩筏基础优化设计提供参考。

1 基础动阻抗函数计算

　　 基础动阻抗函数定义为在基础顶面某一指定方向施加一单位幅值的谐振运动，在基础顶面产生的谐振荷载幅值表示为P=k+ia₀c,其中，k和c分别为阻抗的刚度和阻尼；a₀为无量纲频率，a₀=ωd /V,V为土层的剪切波速，d为基桩直径，ω为频率。

1.1 基础动阻抗函数的计算方法

　　 本文采用直接法 ^[11]计算动阻抗函数。此方法的实施，需采用有限元分析软件(本文采用ANSYS)对桩基础及其附近土体进行三维有限元离散，并在边界处施加黏弹性人工边界 ^[12]条件。然后，通过在基础顶面施加不同频率的指定位移模式，进行谐响应分析。模型计算简图如图1所示。该方法可以全面地考虑地基的各种不均匀性，如夹层及非水平成层等情况。采用以阻尼器和弹簧表示的黏弹性人工边界，具有形式简单、物理意义明确、计算精确、程序易于实现等优点。

　　 具体计算步骤如下：

　　 (1) 采用ANSYS有限元分析软件对桩筏基础进行三维建模，桩、筏和土体均采用三维实体单元。

　　 (2) 在模型的四周和底部边界施加黏弹性人工边界。

　　 (3) 在筏板的顶部施加不同频率的指定位移模式，进行谐响应分析。

　　 (4) 提取筏板顶部节点的反力作为桩基础的动刚度。

　　 计算中假定基础承台为刚性，不考虑埋置情况及承台与地基接触。模型中桩和土体共用节点，不考虑桩土界面的滑移状态。

　　 图1 黏弹性人工边界条件计算模型  

　　 黏弹性人工边界是一种应力边界条件，作用在边界上的面力σ可表示为：

　　 σ=Ku+Cu˙         (1)σ=Κu+Cu˙         (1)

　　 式中：u和u˙u˙分别为位移和速度；K和C分别为弹簧系数和阻尼系数，取值如下：

　　 K=αGR,C=ρcv         (2)Κ=αGR,C=ρcv         (2)

　　 式中：G,ρ,c_v为土层的剪切模量、质量密度和波速；R为散射源至模型边界的距离；α和c_v为粘弹性人工边界参数，取值见表1。

　　 黏弹性人工边界条件中系数取值 ^[13]13]表1

1.2 计算方法验证

　　 Miura ^[14]和Kaynia ^[10]等给出半无限地基中2×2 群桩基础解析解的模型参数如下：E_s=(1/100)E_p,ρ_s/ρ_p=0.7,υ_s=0.4,υ_p=0.25,L_p/d=20,s/d=5,其中：E_s,E_p分别为土和桩的弹性模量；ρ_s和ρ_p分别为土和桩的密度；υ_s和υ_p分别为土体和桩体材料的泊松比；L_p,s,d分别为桩的长度、间距和直径。采用直接法计算时，建立与Miura等 ^[14]解析解同参数的2×2群桩基础，采用ANSYS有限元计算软件建模分析，模型范围为60m×60m×30m, 竖向网格尺寸为1m, 水平方向最大网格尺寸为0.9m, 如图2所示。鉴于Miura等 ^[14]给出的部分模型参数为比值，采用直接法计算时需要按比例予以具体化：ρ_p=2 000kg/m³,E_p=3.9×10⁹Pa, ρ_s =1 400kg/m³,E_s=3.9×10⁷Pa, d=1m, L_p =20m, s=5m。在动刚度计算中，筏板被视为无质量刚性基础，即在模型材料设置中将筏板的弹性模量设置为一个足够大的值(本文取2×10¹⁴Pa),质量密度设置为0.001kg/m^{3 [11]}。

　　 图2 2×2 群桩模型   

　　 图3 半无限地基中2×2群桩的地基动阻抗函数  

　　 图4 模型A1,A2和A3的布桩平面图  

　　 采用直接法计算的动阻抗函数计算结果如图3所示，并与Miura等 ^[14]的解析解对比分析。由图3可见，两者结果吻合较好。将计算所得水平动阻抗函数(K_hh)、回转动阻抗函数(K_RR)和竖向动阻抗函数(K_vv)分别用其对应的静刚度(水平静刚度k^s_hh=4 500(E_pI_p/L³_p),回转静刚度k^s_RR=20(E_pI_p/L_p),竖向静刚度k^s_VV=1.6(E_pA_p/L_p))进行归一化处理，其中x_i为桩头位置水平坐标。

2 模型简介

　　 为研究变刚度优化设计对多层土体中桩筏基础水平、竖向和回转三个方向动阻抗函数的影响特点。本文选取一个等刚度模型(A1)和对A1进行优化设计后的两个变刚度模型(A2和A3)进行研究。A1作为初始设计方案，采用等直径(d=1.5m)、等桩长(L=37m)、等间距(约3d)的均匀布桩模式。A2 和A3为变刚度设计模型，模型的具体来源见文献[15],其中变刚度设计模型A2是在A1的基础上调整为变桩径、等桩长、等间距布置；变刚度设计模型A3是在A1的基础上调整为等桩径、等桩长、变桩距布置。为排除群桩材料变化产生的影响，优化设计时让三个模型的群桩总体积相等(误差小于1%),具体布桩见图4。研究模型源自某拟建核电站的桩筏基础 ^[15],桩基础平面布桩属不规则布桩，上部结构形式复杂，其研究结果也因此而更具有一般性。三个模型的筏板尺寸相同：筏板长边尺寸最大78m, 短边尺寸最大53m。

　　 本小节计算模型水平向尺寸取为筏板尺寸的约4倍 ^[16](X向322m, Y向223m),竖向尺寸53m, 水平向和竖向最大网格尺寸分别为8m和3m, 模型概况如图5所示。由于优化模型尺寸偏大，且考虑到本研究以对比分析为主，所以网格尺寸以满足动力计算要求取值 ^[17],即竖向网格尺寸取为(1/8～1/5)·(V_s/f_max),水平向网格尺寸取为(3～5)h_max,其中f_max为动力计算中所考虑的最高频率，h_max为不同土层竖向网格尺寸中的最大值。模型动阻抗函数的计算步骤参照1.1小节，模型其余细节设置同1.2节。

　　 图5 桩筏基础的模型概况  

　　 计算模型采用的土体参数值均为实测值，如表2所示，其中ρ_s为密度。为研究不同地震动水平下不同方案在三个方向上动阻抗函数的区别，土体的动参数(等效剪切模量G和等效阻尼比ξ)取自输入地震动水平峰值加速度分别为0.1g,0.2g和0.4g时的一维土层地震反应分析结果，计算时采用的人工地震波如图6所示。每一层土体单元对应的三种地震动水平下的动参数数值均可得出，限于篇幅仅给出地表土层、中间土层和底部土层的动参数具体数值，列于表3。从表3可以看出，地震动水平的增加会减小土层的等效剪切模量，表现为顶层减小不明显，随土层埋深的增加而越发显著。等效阻尼比的变化则相反，随地震动水平的增加而增加，增加幅值随土层埋深的增加而增加。

　　 各土层物理力学参数 表2

　　 图6 人工地震波(峰值加速度0.1g)  

　　 部分土层等效剪切模量G 和等效阻尼比ξ表3

3 计算结果分析

　　 研究模型涉及多层土体，且存在桩间距不等的情况，为便于比较分析，本小节的动阻抗函数没有用静刚度进行归一化处理。动阻抗函数的纵坐标为群桩的动阻抗，横坐标采用频率作为变量。已有研究表明 ^[14],当桩间距是土壤介质中波长的一半时，会使得相邻桩以反相的运动方式振动，群桩中桩土相互作用会使阻抗函数出现峰值。接下来从变刚度优化设计和输入地震动水平两个方面对桩筏基础动刚度的影响特点进行分析。

3.1 变刚度优化设计对动阻抗函数的影响

　　 图7为桩基础变刚度优化设计前后各模型在不同地震动水平下对应不同方向的动阻抗函数。图7(a),(b)表明，模型A2和A3的水平动阻抗函数的实部RE和虚部IM与模型A1相比，在输入频率较小时曲线较为接近，随着输入频率的增加表现出模型A2和A3的动阻抗函数曲线振荡幅值小于模型A1的特点。说明在输入频率较小时，变刚度优化设计方案不会显著影响群桩的水平动刚度，随着输入频率的增大影响越发显著。图7(c)～(f)为竖向和回转方向的动阻抗函数曲线。变刚度优化设计对竖向和回转方向动刚度的影响在整个计算频率范围内都不明显，可认为变刚度优化设计不影响群桩在竖向和回转方向的动刚度。

　　 结合图4发现，A2和A3两种变刚度优化模型均表现为群桩刚度沿水平方向的不均匀分布，具体表现为，桩筏基础中心处桩体置换率高于周边，所以优化模型的桩基础水平动刚度与等刚度设计模型相比表现出相对明显的区别。而桩基础混凝土的置换量沿竖向(桩长方向)并无变化，所以其竖向和回转方向的动刚度优化前后始终变化不大。

　　 图7 各模型在三种地震动水准下的动阻抗函数

3.2 输入地震动水平对动阻抗函数的影响

　　 从图7可以看出，随着输入地震动水平的增加，群桩水平向动刚度曲线实部和虚部的振荡幅值均减小，且在低频段影响较小，高频段影响较大。当输入频率较小时，竖向和回转方向的动阻抗函数随输入地震动水平变化的影响均不显著，随着输入频率的增加，动阻抗函数曲线开始出现振荡，且振荡幅值随地震动水平的增加而减小。与水平方向动刚度相比，竖向和回转方向的动刚度对地震动水平的敏感度在输入频率较小时较弱，随着输入频率的增大越发显著。结合表3不难发现，土体的等效剪切模量随着输入地震动水平的增加而减小，表现为土层越靠近模型底部减小幅度越大。等效剪切模量的降低意味着土体抵抗剪切变形的能力减弱，进而表现出桩筏基础动刚度曲线振荡幅值减小的特点。

　　 综合分析，桩筏基础水平向的动阻抗函数曲线振荡显著，且始于低频阶段，受地震动水平和优化设计的影响随着输入频率的增加而增加。竖向和回转方向的动刚度曲线在输入频率较小时没有振荡，且受地震动水平和桩基变刚度优化设计的影响均不明显。

4 结论与建议

　　 本文对既定场地的桩筏基础进行了动阻抗函数的研究及分析，并得出以下重要结论：

　　 (1)当输入频率较小时，采用变桩径和变桩距的优化设计，对桩筏基础三个方向的动刚度影响均不明显；随着输入频率的进一步增加，桩筏基础水平向动刚度会有明显减小，竖向和回转方向动刚度没有影响。说明，当输入频率较小时，采用变桩径和变桩距优化设计在减小竖向差异沉降的同时，不会对桩筏基础各个方向动刚度产生不利影响。

　　 (2)地震动水平的增加会减小土体的等效剪切模量和增大土体的等效阻尼比，进而减小桩筏基础的动阻抗函数曲线的振荡幅值。即减小桩筏基础的动刚度。

　　 (3)桩筏基础水平向动刚度的减小会引起上部结构位移的增加，进而增加桩体顶部被剪坏的可能性。因此，当输入频率较大时，需要考虑水平向刚度优化设计带来的基础水平动刚度减小问题。

　　 影响桩基础动刚度变化的因素复杂，以上研究结果为既定场地特点和桩基础规模的分析结果。在实际工程应用时，针对不同的场地特点，有必要对桩筏基础进行不同输入荷载频率的研究，以确保水平向变刚度优化设计不会对桩筏基础的动刚度造成不利影响。本研究仅涉及由变桩径和变桩长形成的水平向变刚度，由变桩长引起的竖向刚度变化对桩筏基础动刚度带来的影响有待进一步研究。