第一章从柱子挠曲的微分方程出发，由线性齐次微分方程的解得到屈曲荷载P_E。微分方程是解决稳定问题的基础，而其线性齐次微分方程的解揭示了屈曲问题的本质。这些线性齐次方程在解决微振问题上同样举足轻重。弹性稳定理论与微振理论具有相似性，其根源在于稳定问题和振动问题具有共同的数学基础。第21和22节通过引入微分方程的若干重要特点切入屈曲问题的数学本质。第23-26节讨论能量法，重点介绍李兹法。第27和28节分别介绍逐次渐近法和有限差分法。

　　 能量法的基础是变分法。在第29-33节将介绍这一数学分支。

　　 第一章微分方程(6)适用于两端铰接柱，对于具有端部嵌固或弹性约束的柱，要用下面更具普遍性的公式代替:

　　 以I_x=Iψ(x)代入上式:

　　 其中:

　　 式(66)的通解为:

　　 式中C为常数，由柱子端部边界条件确定。常见的端部条件为:

　　 将边界条件代入式(68)，可得到四个线性齐次方程:

　　 式中:α为λ的超越函数;C为常数。

　　 齐次方程组(70)有两组解，其一为C₁至C₄为零，对应着y=0，表示柱子为直立状态;其二为系数行列式为零，对应着方程组(70)的非零解。

　　 由式(71)可得到特征值λ_i，对应着P_i。λ_i代入(70)，可得到C₁至C₄。考虑到式(70)的系数行列式为零，则式(70)任意一个方程式恒等于其他三个方程式的组合，从而形成包含四个未知数的三个独立方程式。式(68)的解为:

　　 对应某一值λ，中心压杆有挠度曲线，幅度不定但形式由式(72)确定。式(71)即为稳定准则，式(67)为其特征值，其中最小的λ对应的P即为临界荷载P_c。

　　 微振和屈曲在数学上具有相似性。振动问题中，特征函数y_i代表无限个主振型，特征值λ_i与相应振型的频率有关，由方程式(71)Δ=0来确定，因而方程式(71)也称为频率方程。两种问题的相似关系如下: