在现代建筑中, 由于建筑外观、空间使用等需求, 逐渐产生一种大坡度的刚架结构, 其斜梁坡度较大, 已超过了《门式刚架轻型房屋钢结构技术规程》 (CECS 102∶2002) ^[1] (简称门刚规程) 中门式刚架屋面坡度宜取限值1/20~1/8的要求。大坡度刚架结构柱的计算不能满足《钢结构设计规范》 (GB50017—2003) ^[2]与门刚规程中有关结构柱计算长度公式的基本假定, 故在实际工程设计中缺乏理论依据与指导。目前国内外的研究仅针对传统框架结构或门式刚架结构, 对大坡度刚架结构的研究少之又少。斜梁坡度的增大, 将直接影响结构的内力分布、刚度支撑作用, 因而对这种结构柱的计算长度系数取值需进行专项的推导与研究工作, 此项工作对工程设计工作科学、可靠地进行具有重要意义。

　　 对于柱脚铰接形式的大坡度刚架结构形式, 可针对刚架柱建立屈曲微分方程, 设定柱底部支座条件为铰接, 顶部为水平弹簧支座和转动弹簧支座。柱脚铰接形式刚架柱计算简图见图1。

　　 在求解水平弹簧支座和转动弹簧支座刚度时, 可分别就两种弹簧支座形式作出计算简图, 进行刚度求解, 本文采用力学方法进行超静定结构的位移求解, 所以求得单位位移下弹簧支座的反力值, 即可求得转动弹簧支座刚度r_B和水平弹簧支座刚度k_B, 水平及转动弹簧支座位移计算简图见图2。

　　 由图2可知, 大坡度刚架结构柱顶水平弹簧支座位移计算简图及转动弹簧支座位移计算简图均为一次超静定结构, 根据力法原理分别求出两个计算模型的弯矩图, 将超静定刚架弯矩图分别与荷载F及m方向单位力作用下的弯矩图进行图乘, 可求得水平位移Δ_F和转动位移Δ_m:

　　 由于梁柱的线刚度分别为:

　　 同时, 定义长度比例ξ=l₃/l₂, 所以式 (1) , (2) 可化简得:

　　 由式 (5) , (6) 可以看出, 底部为铰接形式的大坡度刚架结构柱顶水平及转动弹簧支座位移同梁柱线刚度比、梁柱长度比值及刚架柱自身几何长度有关。

　　 将式 (5) , (6) 代入刚度计算公式即可求得刚架柱顶水平及转动弹簧支座刚度:

　　 如图1所示, 柱脚铰接形式刚架柱计算可简化为底部支座条件为铰接形式, 顶部为水平弹簧支座和转动弹簧支座形式。在荷载P作用下, 刚架柱在其支座条件下发生变形, 见图3。取图4所示的单元隔离体, 建立力矩与x轴相垂直的水平力的平衡方程:

　　 即有:

　　 对单元隔离体建立弯矩平衡方程, 可得:

　　 从而可得:

　　 所以:

　　 本文假设构件的弯曲变形是微小的, 曲率可以近似地用变形的二次微分表示, 即:

　　 所以可得:

　　 式 (15) 为刚架柱轴心受压的四阶微分方程, 令k²=P/EI₂, 则可得到微分方程的通解:

　　 即有:

　　 由于式中各项参数具有如下关系:

　　 同时, 定义支座参数R_B和K_B:

　　 代入行列式展开式 (式 (19) ) 中, 得:

　　 式 (25) 为柱脚铰接形式刚架柱的计算长度系数关于弹簧刚度的超越方程, 在确定弹簧刚度值, 即在确定刚架的截面大小和刚架尺寸时, 可根据1.1节计算公式确定弹簧刚度值, 继而可以求得刚架柱的计算长度系数。

　　 由于1.2节超越方程在使用中计算较为困难, 故需对其进行数值拟合。本文采用割线法对方程实根进行迭代求解, 从0~100对K_B, R_B进行取值计算, 可以得到刚架柱计算长度系数取值, 根据计算长度系数μ值变化速率, 可得柱脚铰接刚架柱计算长度系数取值, 见表1, 可用作实际工程刚架柱计算长度系数取值参考。

　　 从表1可以发现, 在K_B, R_B取值较小时, μ值变化速率较快, 即转动弹簧刚度和水平弹簧刚度的增大, 都会使μ值迅速降低, 而在K_B, R_B均为0时, 刚架柱成为仅有底部铰支固定的机构, 不成为结构体系, 故其计算长度系数取值无意义。随着K_B, R_B取值逐渐增大, μ值变化速率逐渐降低。当K_B, R_B取值大于10时, μ值逐渐趋于稳定, 即K_B, R_B取值的增大对μ值计算结果的影响逐渐变小。当K_B, R_B取值达到1 000时, μ值变化率已小于1‰, 故可以认为K_B, R_B取值达到1 000时, 弹簧刚度已接近于无穷大。

　　 当水平弹簧刚度取值为0、转动刚度取值为1 000时, μ值计算结果为2.002, 此时可以认为刚架柱简化为柱脚铰接、顶部平移但不能转动的模型, 接近于理论模型中μ值为2.0的计算结果;当水平弹簧刚度取值为1 000、转动刚度取值为0时, μ值计算结果为1.0, 此时可以认为刚架柱简化为两端铰接的理论模型, 等于理论模型中μ值为1.0的计算结果;当水平弹簧刚度取值为1 000、转动刚度取值为1 000时, μ值计算结果为0.701, 此时可以认为刚架柱简化为柱脚铰接, 顶部刚接的理论模型, 接近于理论模型中μ值为0.7的计算结果。

　　 对计算μ值的超越方程进行拟合, 需先确定超越方程的曲面形式, 将K_B, R_B从0~100的计算结果绘制成曲面, 见图5。

　　 由图5可以看出, 二次曲面可以满足柱脚铰接形式刚架柱计算长度系数变化曲面的变化速率, 且当K_B, R_B趋向于无穷大时, 函数应趋向于定值, 故设μ值曲面为如下形式:

　　 所以拟合公式可以化简为:

　　 使用MATLAB对计算数据进行数值拟合, 可以得到各项参数的系数值, 即:d=79.38, e=11.01, f=33.19, g=40.25, h=4.124。故柱脚铰接形式刚架柱计算长度系数拟合公式为:

　　 计算结果表明, 拟合公式确定的刚架柱计算长度系数为0.987 9, 标准差为0.111 5, 且计算结果略大于超越方程计算结果, 所以拟合公式计算足够精确, 且可以适用于实际工程计算取值。

　　 门刚规程第4.1.5条中对斜梁坡度作出了限值规定, 要求门式刚架屋面坡度宜满足限值1/20~1/8的要求。因此, 建立的有限元模型的坡度取值在1/8~1的区间内, 共选取五种坡度进行有限元模拟计算。由于刚架跨度和刚架柱高也会影响结构的屈曲临界荷载, 所以选用20, 24, 27, 30m四种跨度取值及6, 9, 12m三种柱高取值。各模型编号命名形式为l₁-l₂-α, 其中l₁表示刚架跨度, l₂表示刚架柱高, α表示斜梁坡度, 其中α=2l₃/l₁, l₃为刚架最高点与柱顶高度的差值, 单位均为m。

　　 本文分析采用二节点的三维线性梁单元Beam188来模拟刚架梁或柱的受力特性^[3]。由于本文主要研究内容为刚架柱的计算长度系数, 材料类型选取的不同将不会影响最终的计算结果, 为能够更真实地表达钢材应力-应变关系, 选用曹珂等^[4]对Q420钢材进行材性试验得到本构关系近似曲线作为本章建模的材料模型, 材料属性为各向同性, 泊松比取0.3。

　　 通常门式刚架柱计算长度系数的计算是通过在门式刚架柱顶施加集中力, 并按有侧移失稳的特征值方法求得^[5]。在实际工程中, 刚架梁与柱均承受竖直向下的均布荷载, 因此梁柱均承受轴力和弯矩的作用。因此, 本章建立的有限元模型, 采用acel命令施加重力方向加速度作用, 在计算特征值屈曲分析时, 施加单位加速度作用, 计算所得特征值根据钢材密度及刚架几何信息, 即可求得刚架屈曲临界荷载。

　　 通过对有限元刚架模型特征值进行屈曲分析, 可以得到特征值计算结果, 由于模型施加了沿重力方向的单位加速度作用, 所以可通过下式计算得到刚架柱的屈曲临界荷载:

　　 式中:λ为ANSYS计算所得特征值;ρ为钢材密度;A₁为斜梁截面面积;A₂为刚架柱截面面积。

　　 根据欧拉极限承载力公式计算刚架柱临界屈曲荷载, 得:

　　 式中:P_cr为刚架柱临界屈曲荷载;μ为刚架柱计算长度系数。

　　 由式 (30) 得到刚架柱计算长度系数计算公式为:

　　 利用上式即可得到通过ANSYS特征值屈曲分析所得到的刚架柱计算长度系数取值μ_ANSYS。将其与第1.3节式 (28) 计算得到的刚架柱计算长度系数理论解μ_Theory对比, 见表2。表中引入差值η:

　　 从表2中可以看出, 通过ANSYS软件进行特征值屈曲分析计算所得的刚架柱计算长度系数与通过第1.3节理论公式式 (28) 计算所得结果非常接近, 说明有限元模型的建立较为准确, 同时, 通过有限元计算结果的验证, 也说明了理论计算公式的正确性。

　　 有限元模型计算结果与理论公式计算结果相比, 存在一定误差, 主要有以下原因:1) 理论公式的推导过程中, 进行了一定的简化工作, 如在推导柱顶弹簧支座刚度时, 在计算支座位移的过程中, 只考虑了弯矩作用, 忽略了轴力和剪力对支座位移的影响;2) 理论公式的推导是通过将刚架考虑为柱顶支撑作用, 再通过独立出刚架柱的计算模型, 建立微分平衡方程, 求解出刚架柱的计算长度系数。而有限元方法是通过刚架整体进行屈曲分析, 求解出临界屈曲荷载的大小, 进而求出刚架柱的计算长度系数。

　　 通过两种计算结果的对比可以发现, 有限元计算所得的刚架柱计算长度系数值要略大于理论公式计算结果, 并且当柱高较低时, 两种计算方法的结果误差值偏大, 其差值接近7%~10%;当柱高较高时, 两种计算方法的结果则更为相近, 其差值约为1%~3%。这是因为在建立相同跨度的刚架有限元模型时选用了相同截面形式的梁截面及相同截面形式的柱截面, 当柱高较低时, 柱与斜梁的线刚度比相对较大, 因而斜梁产生较大的轴力作用, 而在理论公式推导计算中, 柱顶支座位移忽略了梁轴力的影响, 因而导致两者误差值的增大。

　　 通过有限元计算分析结果可以看出, 由于理论推导公式的假设及简化, 使得计算结果小于有限元计算结果。故参考有限元计算结果, 实际应用中可将理论推导公式的计算结果偏于安全地放大10%。

　　 通过对本节所示的60个不同跨度、柱高及坡度的刚架计算发现, 刚架柱的计算长度系数取值范围约为2.5~6.0, 刚架柱计算长度系数取值远大于下端铰接上端刚接时轴压柱0.7的计算长度系数取值, 说明此类结构对于刚架柱计算长度系数取值有较大的影响, 在实际工程的设计工作中, 应采用本文建议公式或单独采用有限元模拟确定刚架柱计算长度系数以进行结构稳定设计。

　　 斜梁坡度大是大坡度刚架结构的一个显著特征, 而斜梁坡度的增加对刚架结构既可能产生有利影响, 也可能产生不利影响。一方面由于斜梁坡度的存在, 导致斜梁承受较大的轴力, 同时通过梁柱节点的传递, 使得柱端承受较大的剪力作用, 并且剪力随着坡度的增大而增大, 使得刚架柱更易于发生屈曲失稳, 丧失承载力;另一方面, 斜梁坡度的存在, 使得斜梁屋架产生类似拱的效应, 由于拱效应的存在, 使得刚架柱承受的轴向力减小, 反而使得刚架结构的极限承载力得到提高。因此, 两种因素作用的掺杂使得刚架结构受力情况较为复杂, 需研究斜梁坡度的变化对大坡度刚架结构计算长度系数的影响。

　　 第1.3节中理论公式 (28) 通过计算柱顶支座刚度的方式计算得出刚架柱的计算长度系数, 按2.2节刚架选取柱高、跨度及斜梁坡度计算, 进行参数化分析, 比较计算结果, 可以得到各个刚架柱顶支座参数, 见表3。

　　 刚架柱顶支座参数变化趋势可反映出刚架柱顶支座刚度的变化趋势, 从表3中可以看出, 对于相同跨度、柱高的柱脚铰接的大坡度刚架结构, 随着斜梁坡度的增大, 刚架柱顶支座的水平刚度呈现下降趋势, 而转动刚度在斜梁坡度从0.2变为0.4时有小幅度的增长, 当斜梁坡度继续增大时, 转动刚度呈现为下降的趋势。综合来看, 斜梁坡度的增大, 对刚架柱顶支座的刚度有削弱的作用, 故斜梁坡度的增大会使柱脚铰接形式的大坡度刚架柱计算长度系数随之增大。对2.2节的计算结果进行整理, 可以得到刚架柱计算长度系数随斜梁坡度的变化曲线, 见图6~9。

　　 从图6~9可以看出, 对于柱脚铰接形式的各个跨度及柱高的大坡度刚架结构, 理论公式计算结果同ANSYS有限元屈曲分析结果呈现相同的变化趋势, 刚架柱的计算长度系数基本随着斜梁坡度的增大呈现线性增长的趋势。这说明斜梁坡度会直接影响刚架柱平面内屈曲临界荷载的大小, 随着斜梁坡度不断增大, 大坡度刚架结构对柱顶的约束刚度逐渐变小, 导致刚架柱的计算长度系数取值呈现线性增长的趋势, 从而使得刚架柱的长细比增大, 稳定系数减小。

　　 分析表明, 斜梁坡度的增大对刚架柱计算长度系数具有较大的影响, 在实际工程中, 应充分考虑斜梁坡度的影响作用, 按实际情况计算出刚架柱的计算长度系数取值, 以保证刚架柱平面内的稳定。

　　 本文通过理论分析和有限元分析对柱脚铰接的大坡度刚架结构柱计算长度系数进行了研究, 《冷弯薄壁型钢结构技术规范》 (GB 50018—2002) ^[5]中规定, 对于门式刚架中常用的平板式铰接柱脚, 柱的计算长度系数应乘以0.85的折减系数。故在实际工程设计中, 可通过折减系数考虑柱脚转动约束的有利作用。

　　 本文采用理论公式推导和ANSYS有限元分析计算两种方法, 对柱脚铰接形式的大坡度刚架柱计算长度系数取值进行了研究, 得到以下结论:

　　 (1) 提出了柱脚铰接形式的大坡度刚架结构柱的顶部支撑刚度的计算公式, 利用该公式可根据刚架尺寸及截面等基本信息, 快速计算出柱顶部支撑的刚度值。

　　 (2) 提出了柱脚铰接形式的大坡度刚架结构柱计算长度的屈曲方程, 利用超越方程计算结果对计算长度系数进行了公式拟合, 拟合公式可计算出较为精确的近似结果, 可通过柱顶支座刚度代入拟合公式计算解得刚架结构柱的计算长度系数。

　　 (3) 通过ANSYS有限元计算分析, 验证了本文理论公式的正确性与实用性。

　　 (4) 斜梁坡度的增大, 对刚架柱顶支座的刚度有削弱作用, 使得柱脚铰接形式的大坡度刚架柱计算长度系数随之增大。在实际工程中, 应充分考虑斜梁坡度的影响作用。