小雁塔是“丝绸之路”世界文化遗产建筑的重要组成部分, 为陕西省西安市著名佛教寺院荐福寺 (现为西安博物院) 中的佛塔, 建于唐景龙年间, 1961年被公布为全国首批重点保护文物单位, 是唐代密檐式古塔的杰出代表。小雁塔自建造至今, 历经70余次地震, 曾因地震作用而“三裂三合”, 至今屹立不倒, 显示了良好的抗震性能。该塔原为15层, 在明成化二十三年 (1487年) 及嘉靖三十四年 (1556年) 两次地震中, 塔身开裂, 顶部两层掉落, 现存13层, 残高43.38m。

　　 小雁塔平面为正方形, 如图1所示, 坐落于边长23.38m、高3.2m的正方形基座上, 首层边长11.38m, 层高6.84m, 2层及以上各层的层高和边长均逐层递减, 南北两面墙体开券洞。小雁塔结构墙体采用内部黏土夯筑, 外包砖墙的构造方式, 如图2所示, 外部砖墙采用尺寸为360×180×70粘土砖错缝砌筑, 胶结材料为过滤黄泥, 无砂粒, 密度大, 粘性好。因长期受到温度、湿度变化等环境因素的影响, 墙体表面风化严重, 同时在登塔参观人群荷载及各类振动的作用下, 结构内部不断产生损伤并持续累积, 成为塔体永久保存的重大安全隐患。

　　 作为世界文化遗产建筑, 小雁塔的永久保存具有重要的意义, 而结构安全是其永久保存的基本条件之一。然而, 因小雁塔位于西安城市繁华地段, 且新规划的西安地铁5号线地下轨道距离小雁塔仅300m左右, 在地面交通及地下轨道交通的共同激励下, 环境振动对小雁塔结构损伤的影响显著。为此, 需要针对小雁塔结构振动基本特性, 对其结构损伤特性进行分析, 为其保护提供科学依据。

　　 当前国内外对砖石古塔结构动力特性及振动评估的相关研究主要包括:李德虎等^[1,2]建立了底端固定的离散参数等截面悬臂杆简化计算模型。文立华等^[3]参照实测值提出了修正结构刚度的变截面悬臂杆模型。袁建力等^[4,5]提出了经典理论、测试数据和计算模拟相结合的建模方法。陈太聪等^[6]应用环境随机激振方法, 在金鳌洲塔第9层布置动力传感器, 测试了金鳌洲塔的动力特性, 并应用有限元分析软件STRAND7进行动力特性计算, 将计算结果与测试结果进行对比。林建生^[7]将古塔简化为考虑基础转动变形的变截面弯剪悬臂杆模型, 计算了泉州古石塔的动力特性。范岩旻等^[8]依据古塔结构动力特性测试与数值计算结果, 建立了基于模态信息的结构损伤识别方法, 采用损伤前后结构的低阶模态信息差异进行古塔损伤定位和损伤程度评估研究。

　　 综合相关研究可以发现, 已有研究大多通过建立简化计算模型或进行原位动力测试, 研究古塔结构的动力特性, 同时, 依据古塔动力特性与结构损伤的关联性, 进行损伤识别分析。而砖石古塔结构损伤定位识别问题, 尚需进一步研究分析。因此, 本文通过进行小雁塔原位动力测试, 基于结构模态柔度曲率突变的损伤识别方法, 进行结构动力特性与损伤定位识别, 为砖石古塔结构损伤分析提供参考。

　　 采用中国工程力学研究所研发的动力测试系统, 采集了小雁塔在地面随机激励下的振动信号, 分析结构动力特性及振动响应规律。

　　 动态测试系统包括传感器、导线、信号放大器、采集器。其中传感器与放大器均为941B型, 测试时采用中速度档位, 灵敏度为2.4V·s/m, 通频带为0.25～100Hz;采集器为DA1001型。

　　 因小雁塔结构楼层较多且层高随高度递减, 测试时应将传感器放置于结构振动较为敏感的楼层, 故底部楼层测点间距较大, 顶部楼层测点较为密集, 测点布置如图3所示, 自下而上分别编号1～10。因楼板为木质, 且四边简支于结构, 楼板自振与结构振动不一致, 故将水平振动传感器安装于楼层券洞的内边缘, 如图4 (a) 所示, 而后将传感器与放大器、采集器及计算机连接, 如图4 (b) 所示, 来采集结构水平向振动信号。

　　 为了避免干扰信号对测试结果的影响, 在文物管理部门协助下, 于博物院闭馆期间进行测试。通过系统自动去直流消除初始干扰振动信号, 为避免频率混叠, 采样频率应大于分析信号最大频率的2倍, 故设置为128Hz。具体测试工况为:在地面脉动激励下, 分别持续采集结构沿东西及南北方向30min的振动速度信号, 进行结构动力特性分析。

　　 依据弯剪悬臂杆计算模型^[9], 按下式对小雁塔动力特性进行预估:

　　 $f{}_j=\frac{\alpha {}_{j}b{}_0}{2\text{π}{\rm H}{}^2}\phi (1)$

　　 式中:f_j为结构第j阶自振频率, Hz;α_j为结构第j阶自振频率的综合变形系数;b₀为结构底部两对边的距离, m;H为结构计算高度 (台基顶至塔刹跟部的高度) , m;φ为结构质量刚度参数, m/s。

　　 代入相关参数计算所得小雁塔的前3阶自振频率分别为:f₁=1.18Hz, f₂=4.49Hz, f₃=9.40Hz。

　　 对采集到的振动信号进行滤波后, 截取其中持续10min的振动信号, 计算各测点信号的功率谱, 进行结构动力特性分析。古塔结构在随机激励作用下, 激振力与结构响应的自功率谱密度有如下关系^[10]:

　　 $\left|{\rm H}(\omega )\right|{}^2=\frac{S{}_{\text{R}}(\omega )}{S{}_{\text{E}}(\omega )}(2)$

　　 式中:H (ω) 为频响函数;S_R (ω) , S_E (ω) 分别为激振力与结构响应的自功率谱密度。

　　 当古塔附近无其他振源时, 可将地脉动近似为有限频带宽度的白噪声, 其功率谱为常数, 结构自振频率可依据其自功率谱识别, 对各楼层测点时域信号进行积分变化得到功率谱密度曲线如图5所示。

　　 由图5可见, 在地脉动激励下, 各楼层测点振动频域响应功率谱峰值对应的频率值基本一致, 随着楼层高度的增加, 峰值点愈加明显, 各条曲线均有3个峰值点, 分别对应于小雁塔结构的前3阶自振频率, 如表1所示。

　　 由表1可见, 因小雁塔结构平面为正方形, 沿东西方向与南北方向的抗侧刚度较为接近, 故沿两个方向振动的各阶自振频率均较为接近。同时因结构在各楼层沿南北立面墙体连续开洞, 削弱了结构沿东西方向的抗侧刚度, 因而沿东西方向振动的频率略低于南北方向。

　　 在平稳随机激励下, 砖石古塔结构可等效为一个多质点体系, 各测点振型坐标与功率谱有如下关系^[10]:

　　 $\frac{\phi {}_{1i}}{\phi {}_{2i}}=\frac{S{}_{12}(\omega {}_i)}{S{}_{22}(\omega {}_i)}(3)$

　　 式中:φ_1i, φ_2i分别为测点1和测点2的第i阶振型坐标;S₁₂ (ω_i) 为测点1与测点2的互功率谱峰值;S₂₂ (ω_i) 为测点2的自功率谱峰值。

　　 由式 (3) 计算楼层测点的功率谱响应, 得到小雁塔沿水平方向振动的前3阶振型如图6所示。由图6可见, 小雁塔沿东西方向与南北方向的前2阶振型坐标较为接近;而同一测点第3阶振型坐标相差较大。同时由振型坐标可见, 沿东西方向与南北方向的第1阶振型均呈剪切型, 且相邻测点间振型坐标之差基本接近。

　　 高阶振型均呈弯剪型, 相邻测点间振型坐标相差较大, 其中第2阶振型测点5与测点6相差最大, 第3阶振型测点7与测点8相差最大, 其中测点5～测点8分别位于结构第7～10层, 因小雁塔为密檐塔, 楼层质量沿高度变化率不大, 但因结构中部楼层层间刚度相差较大, 对高阶振型曲线的影响较为显著。

　　 当楼层响应的功率谱已知时, 可通过功率谱半带宽法按式 (4) 计算各阶振型的振型阻尼比, 如表2所示^[10]。

　　 $\zeta {}_i=\frac{\text{Δ}\omega }{2\omega {}_i}(i=1,2,\cdots ,n)(4)$

　　 式中:ζ_i为第i阶振型阻尼比;Δω为半功率点幅值所对应的频率带宽;ω_i为第i阶自振频率。

　　 由表2可以看出, 计算所得东西方向振型的振型阻尼比均略大于南北方向的同阶振型阻尼比。因结构损伤将引起阻尼比增加, 故应对小雁塔进行结构损伤分析。

　　 若将砖石古塔作为一个结构系统, 当其结构损伤后, 与其关联的物理力学参量随之变化, 且结构损伤与不同参量的关联程度不同, 可将与结构损伤紧密关联的物理力学参量用于损伤识别。研究结果表明^[11,12], 结构动力系统的柔度矩阵较振动频率或振型对局部损伤更为敏感, 故柔度曲率幅值突变系数可作为结构损伤的敏感参数。

　　 进行结构模态分析后, 将刚度矩阵及柔度矩阵以模态参数 (频率、振型、质量统称为模态参数) 表示为^[13]:

　　 $\begin{array}{l}\mathit{{\rm K}}=\mathit{{\rm M}}({\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}\omega }{}_i^2\text{ϕ}{}_i\text{ϕ}{}_i^{\text{Τ}})\mathit{{\rm M}}(5)\\ \mathit{F}={\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}\frac{1}{\omega {}_i^2}}\text{ϕ}{}_i\text{ϕ}{}_i^{\text{Τ}}(6)\end{array}$

　　 式中:K为结构刚度矩阵;F为柔度矩阵;M为质量矩阵;ϕ_i为质量归一的振型向量。

　　 对比式 (5) 及式 (6) 可见, 模态参数对刚度矩阵的贡献与结构频率的平方成正比, 因而高阶模态参数对结构刚度矩阵的影响显著, 而模态参数对柔度矩阵的贡献与结构频率的平方成反比, 故确定柔度矩阵只需依据较低阶模态参数即可。

　　 当结构发生损伤后, 其柔度矩阵为^[14]:

　　 $\mathit{F}{}_{\text{d}}={\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}\frac{1}{\omega {}_{\text{d}i}^2}}\text{ϕ}{}_{\text{d}i}\text{ϕ}{}_{\text{d}i}^{\text{Τ}}(7)$

　　 式中:F_d为损伤结构的柔度矩阵;ω_di为损伤结构的第i阶频率;ϕ_di为第i阶振型向量坐标。

　　 函数图形的曲率反映了函数值变化的剧烈程度, 若结构中存在损伤单元时, 损伤单元刚度降低, 相应的柔度曲率变化显著, 因而柔度曲率突变区域即为结构损伤的部位。可见, 依据古塔结构振动模态的柔度曲率, 可进行结构损伤识别。通过动力测试结果分析得到古塔的柔度矩阵, 应用中心差分法得到结构柔度曲率为^[15]:

　　 $\begin{array}{l}{F}^{″}=\frac{F{}_{i,j+1}-2F{}_{i,j}+F{}_{i,j-1}}{(\text{Δ}x){}^2}(8)\\ F{}_{{\text{d}}^{″}}=\frac{F{}_{\text{d}i,j+1}-2F{}_{\text{d}i,j}+F{}_{\text{d}i,j-1}}{(\text{Δ}x){}^2}(9)\end{array}$

　　 式中:F″, F_d″为结构损伤前、后的柔度曲率;F_{i, j+1}与F_{di, j+1}, F_{i, j}与F_{di, j}, F_{i, j-1}与F_{di, j-1}分别为损伤前、后第j+1, j, j-1个测点的第i阶振型柔度系数;Δx为相邻测点间的距离。

　　 比较式 (8) 及式 (9) 可见, 结构损伤前后的柔度曲率差ΔF″=F_d″-F″;而柔度矩阵变化量ΔF=F_d-F。则柔度差值曲率可表示为:

　　 $\delta F{}_{{\text{j}}^{″}}=\frac{\delta F{}_{j+1}-2\delta F{}_j+\delta F{}_{j-1}}{(\text{Δ}x){}^2}(10)$

　　 当损伤结构柔度曲率已知时, 可导出柔度曲率幅值突变系数α_ij为^[12]:

　　 $\alpha {}_{ij}=\left|\frac{2F{}_{\text{d}ij}˝}{F{}_{\text{d}i(j+1)}˝+F{}_{\text{d}i,(j-1)}˝}\right|(11)$

　　 式中F_dij″, F_{di, (j+1)} ″与F_{di, (j-1)} ″分别为损伤点 (第j个测点) 及其相邻点 (第j+1, j-1个测点) 的柔度曲率值, 其中i为振型阶数, j为测点。

　　 依据小雁塔振动模态的测试结果, 将该结果作为结构损伤后的状态, 可认为各楼层均存在不同程度的损伤, 3个测点构成1个测点区段, 按测点编号自下而上递推, 共划分为8个区段, 按式 (10) 及式 (11) 计算各测点区间的柔度曲率, 如图7所示, 与之对应的幅值突变系数如图8所示。

　　 比较图7 (a) 及图7 (b) 可见, 小雁塔沿南北方向及东西方向的前3阶模态的柔度曲率随测点高度的变化规律基本一致, 除东西方向的第2阶模态外, 其余各模态的柔度曲率峰值点均位于测点9处, 且曲率峰值较为接近;同时可见, 底部楼层测点1, 2, 3及测点9沿水平方向的各阶模态柔度曲率值均较为接近, 而在测点6附近各阶模态的曲率峰值相差较大。因结构底部楼层墙体横截面较大, 故结构刚度及质量均大于其他楼层, 局部损伤对底部楼层柔度曲率的影响不显著, 故应进一步依据模态柔度曲率幅值突变系数进行结构损伤分析。

　　 由图8 (a) 可见, 小雁塔沿东西方向模态柔度曲率幅值突变系数随测点高度的变化规律为:除顶部楼层测点外, 其余楼层的柔度曲率幅值突变系数均不显著, 且顶部测点第1阶模态的柔度曲率幅值突变系数显著大于第2阶及第3阶模态。对比图8 (b) 与图8 (a) 可以发现, 南北方向各阶模态柔度曲率幅值突变系数随测点高度的变化规律与东西方向基本一致, 表明沿两方向结构楼层质量与侧向刚度的变化规律基本一致, 但南北方向与东西方向不同之处在于, 除顶部测点外, 测点6及测点1的第1阶模态柔度曲率幅值突变亦较为明显。同时可见, 顶部测点沿东西方向的模态柔度曲率幅值突变系数显著大于沿南北方向的突变系数值, 而测点1及测点6处沿南北方向的柔度曲率幅值突变系数值则大于沿东西方向的突变系数值。

　　 依据小雁塔沿水平向振动模态的柔度曲率及其幅值突变系数曲线分析可知, 测点1、测点6及测点8对应的楼层测点柔度曲率幅值突变系数值显著大于相邻测点, 表明结构在第2层、第8层及第11层发生了较严重的损伤。可见, 依据古塔原位动力测试结果, 可实现结构损伤定位。

　　 同时由东西方向与南北方向模态柔度曲率幅值突变系数值的大小关系可见, 因塔体南北立面墙体开洞, 结构损伤对底部楼层及顶部楼层刚度的削弱更加显著, 故其第1阶模态柔度曲率幅值突变较为突出。沿东西方向墙体未开洞, 结构损伤仅在顶部楼层引起刚度降低较为显著。其原因在于, 当古塔墙体开洞后, 楼层质量及刚度随高度的突变程度随之增加, 使振动模态柔度曲率幅值突变明显。

　　 小雁塔作为重要的世界文化遗产建筑, 结构安全是遗产建筑保护的关键, 振动及地震作用加剧古塔结构损伤, 是结构安全的主要威胁。通过小雁塔原位动力测试, 进行结构动力特性及分析, 并基于结构振动模态柔度曲率幅值突变系数法, 对小雁塔结构损伤进行了分析, 主要结论如下:

　　 (1) 按规范公式计算小雁塔前3阶自振频率所得结果与测试结果较为接近, 但因古塔南北立面墙体开洞, 结构沿南北方向的各阶频率均略高于东西方向。

　　 (2) 小雁塔结构楼层质量随高度变化不大, 结构中部楼层层间刚度相差较大, 由结构振型曲线可见, 楼层刚度变化对高阶振型的影响较为显著。

　　 (3) 因结构动力系统的柔度曲率幅值突变系数对结构损伤较为敏感, 故仅依据低阶模态曲率参数 (含柔度曲率及突变系数) 即可进行古塔结构损伤分析。

　　 (4) 依据小雁塔振动模态的柔度曲率及其幅值突变系数进行结构损伤识别, 结果表明结构第2层、第8层及第11层发生了较严重的损伤, 实现了结构损伤定位。

　　 (5) 因古塔墙体开洞, 振动模态柔度曲率幅值的突变规律随之改变, 对结构损伤定位识别的显著性有一定影响。