近几十年来，消能减震技术已经成为一项能有效减轻建筑结构地震反应的新技术，并具有安全可靠、适用广泛、节省造价等优点，得到了越来越多的关注和工程应用^[1,2,3]。由于土-结构动力相互作用分析的复杂性，在进行结构抗震设计时，工程师常采用刚性基础假定，此种假定在地基刚度较大时是可行的，而对于软土地基则不一定合理。相关文献[4,5,6]研究认为，考虑SSI效应后，整个结构体系会变得更柔，结构楼层的位移幅值会有大幅度的增加。对于不同类型的场地土，考虑SSI效应后，结构的层间位移和层间剪力等地震响应的变化规律较为复杂，且随着结构高度的增加，SSI效应的影响将越来越显著。

　　 黏弹性消能减震装置其本构特性是频率相关的，非常依赖于结构的动力特性，其在增加结构的阻尼同时也增加了结构的刚度，考虑SSI效应的影响之后，整个体系的动力特性进一步发生变化，反之影响到阻尼器的减震效果。然而，目前关于SSI效应对消能减震结构影响的研究仍然相对较少，缺乏系统性与推广性。

　　 本文首先在频域中建立了考虑SSI效应的黏弹性框架减震结构的动力方程，采用随机振动的分析方法对结构进行抗震研究。考虑了土-基础运动相互作用的影响，对输入功率谱进行调整。基于首次穿越破坏准则，以层间位移角为控制参数定义了结构的失效概率，通过MATLAB分析了10层及20层典型框架减震体系在不同土-结构敏感性参数下的失效概率，得到了一些具有工程指导价值的结论。

　　 图1为考虑SSI效应的黏弹性框架减震结构模型示意图。结构第i层的刚度、质量、阻尼系数、惯性矩、高度分别以k_i,m_i,C_i,I_i,h_i表示。采用圆形埋置基础，基础质量为m₀，惯性矩为I₀，半径为R，埋深为E，基岩至土体表面的距离为H。结构层间布置黏弹性阻尼器。其复刚度采用Makris^[7]提出的五参数分数导数模型，其具体表达式如下:

　　 其中实部刚度、虚部刚度分别为:

　　 式中:k,c₀,b，α，β均为待定系数，阻尼器模型中具体参数通过试验数据拟合得到k=0,c₀=15kN/m,b=0.3s^0.6，α=1，β=0.6。

　　 实部刚度与虚部刚度及阻尼系数C随频率的变化如图2所示。图3为不同激励频率下阻尼器的滞回曲线。

　　 考虑剪切面积与剪切厚度的影响，阻尼器复刚度表达式如下:

　　 式中:A_s为黏弹性阻尼器剪切面积;d为剪切厚度。

　　 若上部结构在第j层与j+1层之间设置黏弹性阻尼器，阻尼器编号为i，则阻尼器与结构之间的水平相互作用力向量可写为如下形式:

　　 式中L_i=[0，…，L_i=1,L_i+1=-1，…，0]。

　　 若结构中共布置m个阻尼器，则相互作用力向量为:

　　 将式(2)带入式(4)中，并考虑水平向变形协调，其在频率中的表达形式如下:

　　 式中:u(ω)为结构各层相对于基础上表面位移向量的傅里叶变换;θ₀为阻尼器与水平方向夹角。

　　 由于黏弹性阻尼器与基础阻抗函数均具有频率相关性的动力特性，则考虑SSI效应的减震结构体系的动力方程在频域中的表达式如下:

　　 式中:U(ω)={u(ω)u₀(ω)φ₀(ω)}^T为结构体系的位移向量，包括上部结构相对于基础上表面的位移u(ω)与基础平动和转动位移u₀(ω)，φ₀(ω);为自由场加速度的傅里叶变换;H_u(ω)，H_(ω)分别为基础底部水平与回转加速度分量传递函数;Γ={0_n×11 0}^T，γ={0_n×10 1}^T分别为水平与回转输入指示向量。

　　 平衡方程左侧的质量矩阵M、阻尼矩阵C、刚度矩阵K分别如下:

　　 其中:

　　 式中:M_s,c_s,k_s分别为上部结构的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵;k_hh,k_hr,k_rr分别为频率相关的基础动刚度;c_hh,c_hr,c_rr分别为频率相关的基础阻尼系数;ψ=[1,1，…，1]_n×1;Λ=[h₁,h₂，…，h_n]_n×1。

　　 设基岩的水平加速度为平稳随机过程，其自谱为白谱S₀，覆土层的阻尼比为ξ_g，水平圆频率为ω_g，由虚拟激励法可以推导出地面加速度的自谱密度为:

　　 该模型即为著名的金井清谱，由于该模型夸大了低频地震动的能量，胡聿贤和周锡元引入了参数ω_c将金井清谱的低频分量合理缩减，提出了一个修正模型^[8]:

　　 基岩输入白噪声幅值可通过下式获得:

　　 式中:f为峰值因子，根据相关文献研究^[9]其值取约为3;ω_e可通过下式获取:

　　 假定基岩覆土层为弹性均质半空间体系，其圆频率可由下式求得^[10]:

　　 式中V_s为土体的剪切波速。

　　 图4给出了地震动加速度峰值为35gal、覆土层厚度为40m情况下剪切波速在100～500m/s范围内的自由场地输入功率谱。

　　 由于地基-土体动力运动相互作用的影响，导致输入基础底部的加速度与自由场相比有所不同。研究表明，高频振动分量在通过基础时受到限制，即刚性基础对短波长的地震动形成了约束，因此基础输入运动机制相当于一个低通滤波器，在基础底部一方面对水平向地震动具有一定的衰减作用，另一方面产生回转分量。文献[11]给出了基岩覆土层上圆形埋置基础底部输入运动与自由场地傅里叶幅值的近似函数关系。

　　 水平分量:

　　 回转分量:

　　 当时，

　　 当时:

　　 式中:U_g^f为自由场地震波水平位移的傅里叶变换幅值;ω_n=πV_s/2E;V_s为土体的剪切波速。

　　 功率谱与傅里叶幅值谱具有如下相关关系^[12]:

　　 通过推导可得到水平及回转输入加速度功率谱

　　 图5及图6给出了土体剪切波速V_s=200m/s时不同基础埋深比对应的基础底部水平和回转输入加速度功率谱。可以看出随着基础埋深比的增加，高频部分水平分量的衰减程度增大，而回转分量则随着基础埋深比的增加而增大。

　　 水平地震作用下结构的失效通常是由结构中产生过大的地震剪力或弯矩造成的，而层间位移角是衡量结构中剪应力或弯曲应力的重要指标。国内外学者在该方面做了大量的研究工作，Yun^[13]调查分析了钢框架结构的失效与其层间位移角的相关关系。Wen^[14]研究了层间位移角对结构的性能与损伤程度的影响;我国规范也规定了不同震级作用下不同结构形式的层间位移角限值。因此本文选用结构的层间位移角作为判断结构是否失效的参数。

　　 采用首次穿越破坏准则作为结构失效的判断依据，结构层间位移角超过其限值的单边跨越可通过下式求得:

　　 式中:θ_lim为层间位移角限值;θ_n为结构第n层层间位移角计算值;的联合概率密度函数。

　　 由于基础输入运动为0均值的高斯平稳过程，因此联合概率密度可以通过下式求得:

　　 将式(20)带入式(19)可得:

　　 实际计算结构失效时，应考虑双边跨越情形，则第n层的失效概率为:

　　 式中T_d为强震过程的持续时间。

　　 假定超过极限状态的概率服从泊松分布，结构整体失效概率为:

　　 求解结构失效概率时所用到的层间位移角随机反应标准差及其导数的标准差可通过下式求得:

　　 当j=2,3,4…n时，

　　 其中:

　　 式中:h₀为结构层间高度值;h_j为结构第j层楼面到基础上表面的高度值。

　　 根据工程实例选取了抗震设防烈度为7度的两种质量刚度沿层高分布相对均匀的典型框架结构，楼层分别为10层，20层，具体参数如表1所示。基础半径为R=10m，埋深E=2,4,6,8m。基岩至覆土层表面高度H=40m。土体剪切波速变化范围为100～500m/s。基础阻抗函数采用Novak^[15]提出的近似方法求得，具体求解过程详见参考文献。阻尼器沿结构层高均匀布置，通过调整其形状系数使上部结构的1阶模态阻尼比分别达到8%,10%,12%，其具体计算可通过模态应变能法^[16]求得。

　　 第l阶等效圆频率可通过下式迭代求解:

　　 第l阶等效阻尼表达式如下:

　　 表2给出了不同阻尼比下两种结构阻尼器形状系数。

　　 采用7度小震输入，地震动峰值为35gal，结构层间位移角限值^[17]θ_lim=1/550。经计算，两种结构在固定基础上的失效概率均小于0.01。

　　 图7给出了10层结构体系在不同土体剪切波速、基础埋深比、附加阻尼比三种参数影响下失效概率变化规律。图8给出了20层结构体系失效概率随上述三种参数的变化规律。

　　 由图可见:1)对于未加阻尼器的结构，当土体剪切波速V_s=500m/s,10层结构与20层结构的失效概率均小于0.01，与固定基础相似。随着土体变软，结构的失效概率逐渐增大，当土体剪切波速V_s趋近于100m/s时其失效概率均趋近于1;2)通过在结构中设置黏弹性阻尼器可以显著地降低其失效概率，降幅随附加阻尼比的增大而增大，随土体的变软而减小;3)随着基础埋深比的增大，水平输入功率谱随之减小而回转输入功率谱增加，结构的阻抗也有所增加。三种因素共同作用之下，10层结构不同基础埋深比所对应的失效概率差别不大，而对应于较软土体上具有12%等效阻尼比的20层结构，基础埋深比对结构失效概率的影响则十分明显。

　　 为进一步研究结构高宽比对阻尼器减震效率的影响，图9给出了E/R=0.8工况下附加阻尼器结构与原结构相比失效概率的降幅百分比。

　　 两种结构在土体剪切波速为100～200m/s间未加阻尼器时的失效概率均接近于1，而在相同附加阻尼比情况下，随着土体的变软，阻尼器对20层结构的控制效果要明显小于10层结构。对应于土体剪切波速V_s=100m/s的工况，等效阻尼比为8%的10层减震结构的失效概率与原结构相比降幅为83%，而20层结构的降幅仅为20%，随着附加阻尼比的增大20层结构降幅有所提高，但仍小于10层结构。

　　 本文基于随机振动理论，以结构层间位移角为控制参数研究了考虑SSI效应的黏弹性框架减震结构的失效概率。数值分析表明，对建立在软土地基上的具有较高高宽比的高层结构，黏弹性阻尼器对结构层间位移角的控制效果将大幅下降，其结构失效概率相应地有较大的提高。因此，当高层结构建立在相对较软的土体上时，基于刚性地基假设的减震设计将带来比较大的安全隐患，有必要考虑SSI效应的影响对减震效果进行验算。本文所提出的简化模型在工程实践中可对考虑SSI效应的黏弹性减震结构的抗震效果进行快速的评判，作为指导工程设计的参考，避免进行大量的有限元软件的试算过程，提高设计效率。