取正常使用极限状态正截面受力裂缝控制等级为二级。现行《混凝土结构设计规范》 (GB 50010—2010) ^[1] (简称混规) 第3.4.4条, 裂缝控制等级二级为一般要求不出现裂缝的构件, 按荷载标准组合计算时, 构件受拉边缘混凝土拉应力不应大于混凝土抗拉强度标准值。

　　 按规范第7.1.1条, 二级裂缝控制等级构件在荷载标准组合下, 受拉边缘应力应符合下列规定:

　　 式中:f_tk为混凝土轴心抗拉强度标准值;σ_ck为荷载标准组合下抗裂验算受拉边缘混凝土法向应力;σ_pc为扣除全部预应力损失后, 在抗裂验算受拉边缘由预加力产生的混凝土的预压应力, 按下式计算:

　　 对预应力悬挑梁结构, 近似用混凝土毛截面面积A代替净截面面积A_n, 用毛截面重心至预加力作用点的距离e_p代替净截面重心至预加力作用点的距离e_pn, 取毛截面惯性矩I代替净截面惯性矩I_n, 并略去次应力σ_p2项, 式 (2) 可改写为:

　　 式中:A为悬挑梁混凝土毛截面面积;I为悬挑梁混凝土毛截面惯性矩;e_p为预加力作用点至混凝土毛截面形心的距离, 即预加力偏心距;y为混凝土截面形心至悬挑梁上部受拉边缘纤维的距离;W为混凝土毛截面上部受拉边缘处的截面矩, W=I/y;N_p为后张法预应力悬挑梁的预加力, 按下式计算:

　　 略去受压区预应力钢筋项和收缩徐变引起的预应力损失项, 式 (4) 可改写为:

　　 式中:A_p为悬挑梁上部混凝土受拉区纵向预应力筋的截面面积;目前预应力筋通常采用七股钢绞线, 标记为1×7标准型, 常用的钢绞线规格是公称直径d=15.2mm, 其1根钢绞线的公称截面面积为140mm²;σ_pe为悬挑梁上部混凝土受拉区纵向预应力筋的有效预应力, 按下式计算:

　　 式中:σ_con为张拉控制应力, 采用钢绞线时, 按式 (7) 计算;σ_l为相应阶段预应力损失值, 估算预应力筋时可近似取σ_l=0.20σ_con;f_ptk为预应力钢绞线极限强度标准值, 通常采用1 860级低松弛钢绞线, f_ptk=1 860N/mm²。

　　 则1 860级低松弛钢绞线的有效预应力σ_pe为:

　　 令悬挑梁由外部荷载M_k产生的上部受拉边缘处混凝土法向拉应力σ_ck为:

　　 悬挑梁由预应力产生的上部边缘处混凝土的法向压应力σ_pc为:

　　 后张法预加力为:

　　 将σ_ck, σ_pc, N_p代入式 (1) 得:

　　 整理后得:

　　 则二级裂缝控制时, 预应力悬挑梁上部预应力钢筋截面面积为:

　　 式中:M_k为荷载标准组合悬挑梁根部截面弯矩设计值;f_tk为混凝土轴心抗拉强度标准值, 按混规第4.1.2条, 预应力混凝土强度等级不宜低于C40, C40混凝土f_tk=2.39N/mm²。

　　 当悬挑梁取正常使用极限状态正截面受力裂缝控制等级为二级时, 可用式 (14) 估算悬挑梁预应力钢筋截面面积A_p。

　　 悬挑梁根部截面预加力作用点及截面应力见图1。

　　 从图1和式 (12) 可知, 在荷载标准组合下被施加了预应力的悬挑梁根部截面受外弯矩M_k作用, 此时梁截面处于弹性工作阶段, 截面符合平截面假定, 应力与应变成正比, 梁的截面应力呈直线分布。外弯矩M_k使梁截面上部边缘产生拉应力σ_ck=M_ky/I, 下部边缘产生压应力σ_cc=M_k (h-y) /I。为改变截面上部受到拉应力的状况, 施加预加压力N_p, 且N_p作用点偏向受拉边缘 (悬挑梁截面形心上部) , 取偏心距为e_p, 将预加压力N_p向截面形心简化, 则截面形心轴处作用有压力N_p和弯矩M_p=N_pe_p, 分别产生两种应力:在N_p作用下, 梁全截面受均匀压应力σ_pc1=N_p/A, 在M_p=N_pe_p作用下, 梁截面上部边缘处产生压应力σ_pc2=N_pe_py/I, 下部边缘产生拉应力σ_pt=N_pe_p (h-y) /I。

　　 综合以上分析, 施加的预加压力N_p在梁截面上部边缘产生的压应力部分抵消了外弯矩M_k产生的拉应力, 使剩余拉应力小于混凝土轴心抗拉强度标准值, 因而避免了受拉裂缝的产生, 满足了混规第3.4.4条正截面受力受裂缝二级控制等级的要求。

　　 在工程设计中, 施加的预加压力N_p要适度, 既要能满足裂缝控制要求, 又不可过大而产生影响使用的结构反拱。N_p的作用点应偏向受拉边缘, 其对截面形心的偏心距e_p越大, 抗裂效果越佳, 但要考虑钢筋排布构造, N_p的重心距梁受拉边缘的最小距离取70~80mm为宜。

　　 当估算出悬挑梁所需的预应力钢筋面积A_p后, 可按承载能力极限状态相关公式求得非预应力钢筋面积A_s, 由图2非预应力筋拉力A_sf_y与预应力筋拉力A_pf_py对混凝土受压区高度中点取矩, 则应得:

　　 式中:M为荷载基本组合下悬挑梁根部截面弯矩设计值;f_y为非预应力钢筋抗拉强度设计值, Ⅲ级钢f_y=360N/mm²;f_py为1 860级低松弛钢绞线抗拉强度设计值, f_py=1 320N/mm²;Z_s为非预应力钢筋合力点至混凝土受压区高度重心的距离;Z_p为预应力钢筋合力点至混凝土受压区高度重心的距离;a_s, a_p分别为非预应力筋和预应力筋合力点至受拉边缘的距离。

　　 求得A_s应大于或等于最小构造配筋, 取0.2%A_c或45f_t/f_y的较大值, 此处A_c应扣除翼缘取矩形梁的截面面积。

　　 混凝土受压区高度x为:

　　 式中:f_c为混凝土轴心抗压强度设计值, C40混凝土的f_c=19.1N/mm²;b, h分别为梁宽、梁高;h₀为截面有效高度, 悬挑梁上部预应力筋与非预应力筋合力点至梁下部受压边缘的距离, 按下式计算:

　　 式中a为预应力筋与非预应力筋合力点至梁上部边缘的距离, 该合力点可近似取两合力重心的中点, 见图3。

　　 通常采用预应力筋和非预应力普通钢筋混合配筋的所谓部分预应力混凝土, 既有利于控制裂缝, 又能提高能量消散能力, 有利于改善预应力混凝土的抗震性能。按《预应力混凝土结构抗震设计规程》 (JGJ 140—2004) 第4.2.3条, 应满足预应力强度比λ:

　　 从使用阶段看, 预应力筋适当多一些, λ大一些较好, 但从抗震角度看则λ不宜过大。

　　 按混规第7.2.3条, 要求不出现裂缝的预应力混凝土受弯构件短期刚度B_s为:

　　 式中:I₀为换算截面惯性矩, 可简化取毛截面惯性矩I;E_c为混凝土弹性模量, 混凝土强度等级为C40时, E_c=3.25×10⁴N/mm²。

　　 采用荷载标准组合时, 受弯构件考虑荷载长期作用影响的长期刚度B为:

　　 式中:M_k为荷载标准组合悬挑梁根部截面弯矩;M_q为荷载准永久组合悬挑梁根部截面弯矩;θ为荷载长期作用对挠度增大的影响系数, 按混规第7.2.5条, 预应力混凝土构件取θ=2.0。

　　 则式 (23) 改写为:

　　 悬挑梁梁端预应力反拱值f_A为:

　　 按混规第7.2.6条, 考虑预压应力长期作用的影响, 可将计算的反拱值乘以增大系数2.0。则:

　　 悬挑梁预应力反拱示意图见图4。

　　 预应力悬挑梁梁端的最大挠度采用长期刚度, 在标准组合荷载作用下, 按结构力学方法计算得到梁端下垂的挠度 (图5) , 减去梁端预应力反拱值f_反拱, 最终的挠度计算值不应超过混规表3.4.3规定的限值。

　　 某四层框架结构, 按7度抗震设防, 柱网为7.2m×7.2m, 结构局部布置见图6。端部悬挑4.6m (或5.0m) , 拟采用有粘结后张预应力悬挑梁结构, 裂缝控制等级为二级。端跨及悬挑跨部位梁板的混凝土强度等级采用C40, 柱混凝土强度等级采用C30, 楼面及屋面活载均为2.0k N/m², 试设计计算屋面中间部位预应力悬挑梁YL1 (YKL1) 。

　　 悬挑梁YL1 (YKL1) 取2种悬挑计算跨度:4 300, 4 700mm;YL1 (YKL1) 取3种梁高计算:700, 750, 800mm, 梁宽为400mm;边梁L1也有3种梁高:700, 750, 800mm, 梁宽为200mm。

　　 屋面均布荷载为:屋面做法3.7k N/m²;120mm厚混凝土板3.0k N/m²;吊顶0.3k N/m²;静载合计7.0k N/m²;活载2.0k N/m²。

　　 沿边梁L1上的混凝土女儿墙荷载:

　　 边梁L1荷载:

　　 边梁L1荷载简图见图7。

　　 悬挑梁YL1 (YKL1) 荷载简图见图8。

　　 梁YL1 (YKL1) 自重为:

　　 悬挑梁根部截面弯矩标准值为:

　　 悬挑梁YL1 (YKL1) 根部截面组合弯矩见表2。

　　 选1 860级低松弛七股钢绞线, 公称直径d=15.2mm, 1根钢绞线的公称截面面积140mm², 其f_ptk=1 860 N/mm², 有效预应力σ_pe=0.6×1 860=1 116N/mm²。

　　 取预应力筋合力重心距离悬挑梁上表面距离a_p=80mm, 则3种梁高700, 750, 800mm预加力偏心距e_p为161, 182, 203mm, 见图9。

　　 按式 (14) , 预应力钢筋截面面积为:

　　 悬挑梁YL1 (YKL1) 的3种截面高度2种悬挑跨度所需预应力钢筋截面面积见表3。

　　 C40混凝土f_tk=2.39N/mm², 有效预应力σ_pe=1 116N/mm²。

　　 悬挑梁YL1 (YKL1) 3种截面高度2种悬挑跨度上部边缘剩余拉应力值见表4。

　　 剩余拉应力均小于混凝土抗拉强度标准值f_tk=2.39N/mm² (表4) , 满足裂缝控制等级二级的要求。

　　 4.5预应力悬挑梁YL1 (YKL1) 按承载能力极限状态计算非预应力钢筋截面面积

　　 预应力悬挑梁YL1 (YKL1) 按承载能力极限状态计算非预应力钢筋截面面积A_s, 结果见表5。

　　 1 860级钢绞线f_py=1 320N/mm², C40混凝土f_c=19.1N/mm², a_s=45mm, a_p=80mm, a= (a_s+a_p) /2=62.5mm。

　　 强度校核验算:A_sf_yZ_s+A_pf_pyZ_p≥M, 结果为:1 030k N·m>580.6k N·m, 1 106k N·m>680.2k N·m, 1 017k N·m>590.6k N·m, 1 017k N·m>692.2k N·m, 1 015k N·m>600.8k N·m, 1 207k N·m>703.6k N·m。

　　 以上计算所需非预应力筋截面面积A_s较小, 或小于0, 表明高强度预应力筋在强度计算时能起到主要作用, 但是非预应力筋也要配足够多, 除满足最小配筋率外, 还应满足预应力强度比λ≤0.75 (二级、三级抗震等级) 的要求, 结果见表6。

　　 预应力悬挑梁YL1 (YKL1) 斜截面承载力, 按混规第6.3.2条、6.3.4~6.3.7条计算, 具体计算略。预应力悬挑梁YL1 (YKL1) 挠度计算结果见表7。

　　 图10为预应力悬挑梁YL1 (YKL1) 详图。说明如下:1) YKL1为有粘结后张预应力混凝土悬挑梁。2) 预应力梁混凝土强度等级为C40, 预应力筋采用1×7标准型公称直径d=15.2, 极限强度标准值f_ptk=1 860MPa, 低松弛预应力钢绞线。3) 预应力筋张拉端采用QM夹片式锚具, 预应力筋固定端采用挤压式锚具, 其性能应达到Ⅰ类锚具的要求。锚具支承处应设置钢垫板和螺旋筋。4) 依据预应力钢绞线束的外径选用预应力混凝土所用金属波纹管。孔道压力灌浆的水泥砂浆强度等级不低于M20, 水灰比宜为0.4~0.5, 为减少收缩, 砂浆中宜掺入0.01%水泥用量的铝粉。5) 预应力筋下料切断或张拉后, 切断多余长度时, 应使用砂轮锯, 严禁采用电气焊切割。6) 混凝土必须达到设计强度的75%以上方可进行张拉, 张拉控制应力为0.75f_ptk, 锚固时张拉端预应力筋的内收缩量不得大于5mm。7) 预应力筋张拉结束后, 在距离锚具30~50mm处切去多余长度, 用专门的建筑防腐油脂密封夹片及外露的钢绞线封端帽, 然后用膨胀混凝土对锚具进行封堵。8) 悬挑构件必须在混凝土达到100%设计强度时, 方可拆除模板的支撑。