铝合金结构由于其轻质高强等优点, 被广泛地应用于建筑结构中。其中单层网壳结构是最常见的铝合金结构形式之一, 在我国被广泛应用于科技馆、展览馆、植物园等公共建筑以及干煤棚等工业建筑中。铝合金单层网壳结构的节点形式主要为板式节点, 该节点通过不锈钢螺栓将上下两块圆板与中间H型杆件连接。

　　 现有研究成果^[1,2,3]表明, 一般空间网格结构的节点刚度介于理想铰接节点和刚接节点之间, 且其节点刚度大小对结构的整体稳定性有很大影响。目前, 对铝合金板式节点的研究主要在国内展开。王元清等^[4]对铝合金板式节点进行了数值分析, 提出该节点应视为半刚性节点。徐帅等^[5]通过对网壳结构整体稳定性的分析指出, 铝合金板式节点平面外的半刚性性能会对网壳结构的整体稳定性产生一定的削弱。郭小农等^[6,7,8,9,10]通过试验得出了铝合金板式节点的抗弯承载力, 并在试验的基础上对铝合金板式节点的平面外抗弯刚度进行了理论分析, 提出了平面外抗弯刚度的四折线模型。然而, 尚未有学者对铝合金板式节点的平面内抗弯刚度进行研究。单层网壳多为三角形网格, 其节点的平面内抗弯刚度对网壳整体稳定性能影响不大;然而, 由于网壳构件两端被节点约束, 因此, 节点平面内抗弯刚度对构件稳定性能的影响不容忽视, 有必要对铝合金板式节点的平面内抗弯刚度进行研究。

　　 针对上述不足, 本文对铝合金板式节点平面内的弯曲变形机理进行了分析, 基于组件法的思想对节点平面内的抗弯刚度公式进行了理论推导, 并在数值分析结果的基础上拟合得到了公式的参数。

　　 铝合金板式节点的常见构造如图1所示, 6根H形截面杆件的上下翼缘通过圆盘盖板连接;根据位置的不同, 节点板可划分为自由区、连接区和中心区3个区域。

　　 文献[10]完成了4个铝合金板式节点的平面外弯曲刚度试验, 根据试验得到的平面外弯矩-转角曲线如图2所示。图2表明铝合金板式节点的变形分为螺栓嵌固阶段、螺栓滑移阶段、孔壁承压阶段和失效阶段共4个阶段。文献[6]在试验的基础上提出了四折线模型如图3所示。图中M_f为滑移弯矩, K_f为嵌固刚度, φ_f为滑移转角, M_s为承压弯矩, K_s为滑移刚度, φ_s为承压转角, M_c为极限弯矩, K_c为承压刚度, φ_c为极限转角。

　　 由于具有相同的弯曲变形机理, 铝合金板式节点在网壳平面内的弯曲变形同样可以划分为上述4个阶段, 只是各个阶段所对应的弯矩和转角变形有所不同。因此, 本文将基于组件法的思想, 通过理论分析和数值分析相结合的手段, 得出各个阶段刚度的计算公式。

　　 节点在弯矩M_x作用下局部变形如图4所示, 其变形主要由节点板中心域变形、节点板与杆件错动变形和杆件弯曲变形三部分组成, 各部件所对应的刚度分量分别记为K₁, K₂和K₃;各部件所对应的转角分量分别记为φ₁, φ₂和φ₃;则节点的弯曲刚度可以表达为:

　　 由于实际结构中杆件失效多表现为结构整体失稳或杆件屈曲, 此时节点板和节点板中心域内杆件未达到其材料屈服强度, 故可假定式 (1) 中的分量K₁和K₃在整个受力过程中保持不变。

　　 根据前文的弯曲变形机理分析可知, 在螺栓嵌固阶段, 嵌固刚度K_f由节点板中心域变形刚度K_1f、节点板与杆件错动刚度K_2f和杆件弯曲刚度K_3f组成。而嵌固阶段变形δ_f则由节点板中心区边缘截面的相对变形δ_1f、杆件翼缘和节点板由于静摩擦力引起的接触面错动变形δ_2f和节点板中心域范围内的杆件变形δ_3f组成。

　　 首先, 第一部分变形为节点板中心区边缘截面的相对变形δ_1f, 由左、右中心区变形δ_1fl和δ_1fr组成, 如图5所示, 其表达式为:

　　 式中:ε₁为单位力作用下节点板中心区边缘等效应变;R_c为杆件端部至节点板中心距离;E_p为节点板的弹性模量;α₁R_c为节点板承受薄膜力的等效宽度;t_p为节点板厚度;α₁为等效截面系数;Q为弯矩所引起的螺栓剪力, 可按式 (3) 计算:

　　 结合式 (2) 和式 (3) , 得到在螺栓嵌固阶段因节点板中心区相对变形产生的刚度K_1f, 其表达式为:

　　 式中:M_x为平面内杆端弯矩;φ_1f为螺栓嵌固阶段左、右节点板中心区相对变形引起的转角;d_b为左、右排螺栓间距。

　　 其次, 第二部分变形为杆件翼缘与节点板由于摩擦 (或板间摩擦) 产生的接触面错动变形, 该变形值与接触面的切向刚度S的关系表达式为:

　　 式中:f为接触面的静摩擦力;δ_2f为静摩擦力引起的接触面总错动变形, 由左、右侧错动变形δ_2fl和δ_2fr组成, 如图6所示。

　　 根据摩擦学基本理论^[11], 摩擦面的切向刚度与接触面面积以及摩擦系数成正比, 与杆件翼缘厚度成反比。根据板式节点的具体构造, 假定摩擦面的切向刚度近似与连接螺栓的数量以及接触面板的等效弹性模量成正比。则摩擦面的错动变形为:

　　 式中:A_c为单侧上、下两翼缘与节点板的接触面面积, 如图7所示;t_f为杆件翼缘厚度;μ为摩擦系数;n为单边螺栓数量;E_e为等效弹性模量, 取节点板和杆件翼缘弹性模量的平均值;α₂为待定系数, 与接触物体的材质及表面法向力有关。

　　 结合式 (3) 和式 (6) , 可以得到节点板与杆件错动刚度K_2f的计算式为:

　　 最后, 第三部分变形为节点板中心域范围内的杆件变形, 如图8所示。杆件变形刚度可近似按受弯构件计算, 则杆件在节点板边缘相对于节点中心的弯曲变形刚度可近似按式 (8) 估算:

　　 式中:E_b为杆件弹性模量;α₃为由于弯矩变化引起的刚度修正系数;R-R_c为节点区内杆件长度, 如图8所示;I为杆件绕弱轴截面惯性矩。

　　 结合式 (1) , (4) , (7) 和式 (8) , 得到螺栓嵌固阶段节点的嵌固刚度K_f为:

　　 由图3可知, 在螺栓嵌固阶段, 弯矩-转角曲线为一条斜率为K_f的直线。嵌固阶段结束的标志为螺栓所受剪力等于摩擦力, 此时螺栓即将开始滑移。假设每个螺栓的预紧力P相同, 则螺栓开始滑移时的滑移弯矩M_f为:

　　 嵌固阶段结束后, 即节点板单侧的单个螺栓所受剪力大于摩擦力时, 螺栓开始滑移直至螺杆与孔壁接触, 节点进入螺栓滑移阶段。记该阶段的节点刚度为滑移刚度K_s。由于仅考虑平面内弯矩M_x作用, 左、右排螺栓同时发生滑移。由于螺栓空隙的存在, 此时节点发生刚体位移, 变形为杆件翼缘与节点板错动变形δ_s。

　　 杆件翼缘与节点板错动产生的最终相对变形量δ_s由左、右排螺栓的错动分量δ_2sl, δ_2sr (图6, 9) 组成, 其表达式为:

　　 式中d_h为螺栓与螺栓孔的间隙。

　　 由前文分析可知, 在螺栓滑移阶段杆件仅发生刚体位移, 即滑移刚度K_s为:

　　 由图3可知, 在螺栓滑移阶段, 弯矩-转角曲线呈斜率为滑移刚度K_s的直线关系。螺栓滑移阶段结束的标志为螺杆与孔壁接触。则螺杆与孔壁接触时的承压弯矩M_s为:

　　 螺栓滑移阶段结束后, 螺杆与孔壁接触, 节点进入孔壁承压阶段。由前文假设, 在孔壁承压阶段, 承压刚度K_c分量中的节点板中心域变形刚度K_1c和杆件弯曲刚度K_3c与对应的嵌固刚度分量K_1f和K_3f相等, 仅杆件翼缘和节点板错动引起的刚度分量K_2c发生变化。而承压阶段变形δ_c则由节点板中心区边缘截面的相对变形δ_1c、杆件翼缘和节点板由于孔壁挤压变形引起的接触面错动变形δ_2c和节点域范围内的杆件变形δ_3c组成。

　　 下面推导杆件翼缘和节点板错动引起的刚度K_2c的表达式。在孔壁承压阶段, 杆件翼缘与节点板错动产生的相对变形δ_2c为:

　　 式中:n为单边螺栓数量;K_hf为杆件翼缘的孔壁承压变形刚度;K_hp为节点板的孔壁承压变形刚度。

　　 文献[6]给出了孔壁承压刚度K_h与螺栓有效直径d、连接板厚度t的关系, 其表达式为:

　　 式中E为孔壁材料弹性模量。

　　 结合式 (3) , (14) 和式 (15) , 得到杆件翼缘和节点板错动引起的刚度K_2c为:

　　 结合式 (1) , (4) , (16) 和式 (8) , 可得到孔壁承压阶段的节点承压刚度K_c为:

　　 由前文所述变形机理可知, 当螺栓连接达到其承压极限承载能力时, 承压阶段结束, 节点进入失效阶段。此时, 节点的极限弯矩M_c为:

　　 式中f_u为材料的极限抗压强度。

　　 在式 (4) , (7) 和式 (8) 中, 有3个待定参数α₁, α₂和α₃, 拟采用有限元分析法对其进行拟合。

　　 利用ABAQUS有限元分析软件对铝合金板式节点进行模拟, 分析节点的平面内抗弯性能。模型取1/6节点体, 并考虑螺栓孔壁间隙的影响, 所有螺栓预紧力均相等。节点部件采用线性减缩积分单元C3D8R模拟。模型中各部件的相互联系关系通过接触对来模拟。弯矩通过位移场施加在杆端截面上, 为模拟实际节点受力, 将杆端延伸一段距离。模型约束及荷载的施加如图10所示。铝合金材料的本构关系采用了Ramberg-Osgood模型^[12], 不锈钢螺栓的本构关系采用双折线模型。铝合金材料特性采用文献[13]中的拉伸试验结果。

　　 图11给出了采用文献[6]中的数值模型模拟典型试件时的网壳平面外弯矩-转角曲线的对比情况。从图11可以看出, 文献[6]的数值模型计算结果与试验结果吻合良好。本文数值模型和文献[6]数值模型的单元类型、本构关系、接触设置完全一致, 仅在施加位移荷载时有所不同;由此可知本文数值模型也具有一定准确性。

　　 为了考察节点各参数对节点平面内初始弯曲刚度的影响, 以节点板厚度t、螺栓与节点中心区距离d_b、螺栓数量n及节点板半径R为变化参数, 建立4个系列共计14个铝合金板式节点有限元模型, 研究各参数对标准板式节点初始抗弯刚度的影响。各模型几何参数信息详见表1。有限元分析结果详见表2。其中K_{f, e}为螺栓嵌固阶段节点刚度的有限元分析结果;K_{f, c}为螺栓嵌固阶段节点刚度的理论计算结果, 可由式 (19) 计算得到。

　　 根据表3中数值分析结果, 采用回归分析方法对式 (4) , (7) 和式 (8) 进行曲线拟合, 得到α₁=0.166 04, α₂=4.901×10^-6, α₃=2.323×10^-3。故节点的嵌固刚度为:

　　 嵌固刚度K_f的拟合结果见表2。与有限元分析结果相比, 嵌固刚度K_f的误差平均值为3.5%, 表明本文拟合的嵌固刚度K_f的公式具有较高精度。

　　 由式 (15) 和式 (17) 可得孔壁承压阶段的节点承压刚度K_c的表达式为:

　　 表3给出了数值分析与拟合公式计算结果的对比。其中K_{2c, c}为根据式 (16) 计算的螺栓孔壁承压刚度, K_{c, c}为根据式 (20) 计算的节点承压刚度, K_{c, e}为节点承压刚度的数值分析结果。与有限元分析结果相比, 承压刚度K_c的误差平均值为3.51%, 表明式 (20) 计算的承压刚度K_c具有较高精度。

　　 通过上述分析可知, 铝合金板式节点平面内弯曲刚度四折线模型拟合公式如下:

　　 (1) 铝合金板式节点在平面内弯矩作用下的弯曲变形可以分为螺栓嵌固、螺栓滑移、孔壁承压和节点失效4个阶段, 并可采用四折线刚度模型来表达。

　　 (2) 铝合金板式节点各阶段的平面内弯曲刚度可以采用式 (21) ~ (26) 进行计算。各阶段对应的滑移弯矩M_f、承压弯矩M_s和极限弯矩M_c分别可采用式 (10) , (13) 和式 (18) 进行计算。数值分析显示, 本文拟合的四折线模型公式具有较高精度。