建筑结构中, 钢结构和相对高柔的混凝土结构, 往往变形较大, 容易产生明显的二阶效应, 甚至可能发生稳定问题。根据弹性屈曲理论, 采用数值方法对结构进行分析时, 稳定问题可归结为如下特征值问题:

　　 ${\rm K}{}_{\text{E}}\Phi =\lambda {}_{\text{c}\text{r}}{\rm K}{}_{\text{G}}\Phi (1)$

　　 式中K_E, K_G, Φ, λ_cr分别为结构的弹性刚度、几何刚度、屈曲模态和临界屈曲荷载因子。

　　 理论上的结构稳定条件是临界屈曲荷载因子λ_cr>1, 但考虑到弹性屈曲理论的近似性, 工程中通常保守控制λ_cr的值。目前《高层建筑混凝土结构技术规程》 (JGJ 3—2010) ^[1] (简称高规) 中的稳定条件相当于控制λ_cr≥10, 即便考虑结构刚度退化50%, 仍能保证λ_cr≥5, 充分考虑了结构整体稳定的安全裕度^[1,2,3]。

　　 规则的弯曲型高层建筑形式简单, 其稳定条件可以参考悬臂柱稳定的欧拉公式, 用刚重比来控制, 而不必求解稳定特征值问题, 高规就采用了这种做法。高规中的刚重比公式形式简洁, 方便应用, 适用于竖向荷载分布相对均匀的弯曲型结构。然而随着超高层建筑的发展, 有些工程出现竖向荷载从下到上显著渐变甚至突变的情况, 这种情况就超出了现行高规刚重比公式的适用范围, 其刚重比公式需要在现行高规公式基础上补充修正。

　　 在超限审查的某些超高层建筑中竖向荷载从下到上显著减少, 设计中通常采用下式计算结构的临界屈曲荷载因子^[4,5], 以对高规中的刚重比公式进行补充修正:

　　 $\lambda {}_{\text{c}\text{r}}=\frac{\text{π}{}^{2}E{\rm I}}{4l{}^2{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j\left(\frac{l{}_j}{l}\right){}^2}(2)$

　　 式中:EI, l, l_j, G_j, n分别为结构等效抗弯刚度、结构总高度、第j楼层标高、第j楼层重力荷载代表值的设计值和楼层数。

　　 实际上, 式 (2) 为悬臂柱上作用多个大小任意的集中荷载时, 临界屈曲荷载因子的近似估算公式。将其用于高层建筑的优点是可以反映各楼层重量分布的不均匀性, 不足之处则是对于竖向荷载均匀分布的结构, 它与高规刚重比公式的计算结果有偏差, 不能很好地衔接, 而在竖向荷载均匀分布时, 高规刚重比公式是适用且合理的。当竖向荷载均匀分布时, 高规按照均布荷载的1/3总量置顶^[2,3]的原则计算稳定因子。若记结构总重量$G={\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j$, 一般地, 式 (2) 对应的均布荷载下的荷载总量置顶比例α可以写为:

　　 ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j\left(\frac{l{}_j}{l}\right){}^2=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n{}^2}G=\alpha G(3)$

　　 荷载总量置顶比例随楼层数变化而变化, 详情见表1。

　　 显然在竖向荷载均匀分布的前提下, 对于楼层数越多的结构, 式 (2) 越接近高规公式, 但对于楼层数不太多的结构则误差较大。

　　 基于以上情况, 本文针对竖向荷载分布不均匀的弯曲型结构, 探讨并提出适用的刚重比验算公式, 期望一方面合理反映竖向荷载不均匀分布对刚重比的影响, 一方面能够适用于竖向荷载均匀分布的情况, 与现行高规刚重比公式充分衔接。

　　 当悬臂柱顶部作用集中荷载时, 其临界屈曲荷载P_cr为:

　　 ${\rm P}{}_{\text{c}\text{r}}=\frac{\text{π}{}^{2}E{\rm I}}{(2l){}^2}(4)$

　　 式中EI, l分别为悬臂柱的抗弯刚度和高度。

　　 若考虑悬臂柱上作用沿高度均匀分布的竖向荷载q, 按1/3荷载总量向柱顶等效, 则临界屈曲荷载为:

　　 $(ql){}_{\text{c}\text{r}}=\frac{3\text{π}{}^{2}E{\rm I}}{(2l){}^2}\approx 7.402\frac{E{\rm I}}{l{}^2}(5)$

　　 式 (5) 可作为悬臂柱上作用沿高度均匀分布竖向荷载时, 临界屈曲荷载的保守估算解, 因为实际上均布荷载对应的理论解^[6,7]已知为 (ql) _cr=7.837EI/l²。考虑到建筑结构每一楼层的竖向荷载通常在楼面处较为集中, 而层间主要为竖向构件自重, 其荷载数值相对楼面处偏小, 为安全考虑, 采用式 (5) 作为弯曲型结构临界屈曲荷载的计算公式。将荷载总量用$G={\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j$替代, 并引入临界屈曲荷载因子λ_cr, 则:

　　 $\lambda {}_{\text{c}\text{r}}=7.402\frac{E{\rm I}}{l{}^2{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j}(6)$

　　 若把稳定控制条件和二阶效应控制条件分别取为:

　　 $\begin{array}{l}\lambda {}_{\text{c}\text{r}}\ge 10(7\text{a})\\ \lambda {}_{\text{c}\text{r}}\ge 20(7\text{b})\end{array}$

　　 结合式 (6) 和式 (7a) , (7b) 得:

　　 $\begin{array}{l}E{\rm I}\ge 1.35l{}^2{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j\approx 1.4l{}^2{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j(8\text{a})\\ E{\rm I}\ge 2.7l{}^2{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j(8\text{b})\end{array}$

　　 对应式 (7a) , (7b) 的二阶效应放大系数分别为:

　　 $\begin{array}{l}\alpha {}_1\le \frac{1}{1-1/\lambda {}_{\text{c}\text{r}}}=\frac{1}{1-1/10}\approx 1.1(9\text{a})\\ \alpha {}_2\le \frac{1}{1-1/\lambda {}_{\text{c}\text{r}}}=\frac{1}{1-1/20}\approx 1.05(9\text{b})\end{array}$

　　 显然, 式 (8a) , (8b) 即高规针对弯曲型结构的刚重比公式。当结构满足式 (8a) , 即刚重比大于1.4时, 二阶效应导致的结构反应增量不超过10%, 可认为结构通过稳定验算;当结构满足式 (8b) , 即刚重比大于2.7时, 二阶效应导致的结构反应增量不超过5%, 可以不考虑P-Δ效应。如果考虑钢筋混凝土高层建筑结构刚度折减50%, 则刚重比大于1.4时, 二阶效应导致的结构反应增量不超过20%, 刚重比大于2.7时, 二阶效应导致的结构反应增量不超过10%。

　　 由上述过程可见, 高规刚重比公式主要针对竖向荷载分布均匀或比较均匀的结构, 对于竖向荷载分布不均匀比较严重的结构, 会存在较大误差。具体说来, 当竖向荷载呈下大上小分布, 将过于偏安全, 反之如果竖向荷载呈下小上大分布, 则可能偏于不安全。

　　 为了适应结构竖向荷载的不均匀分布, 本节探讨悬臂柱在任意分段均布荷载作用下的稳定公式, 为此先讨论悬臂柱荷载的柱顶等效方法。

　　 令悬臂柱长度为l, 距嵌固端x处作用集中荷载G_x, 示意图见图1。

　　 根据欧拉公式, 并考虑悬臂柱长度系数为2, 得到临界屈曲荷载G^cr_x为:

　　 $G{}_{\text{x}}^{\text{c}\text{r}}=\frac{\text{π}{}^{2}E{\rm I}}{(2x){}^2}(10)$

　　 改写式 (10) , 可得:

　　 $G{}_{\text{x}}^{\text{c}\text{r}}\left(\frac{x}{l}\right){}^2=\frac{\text{π}{}^{2}E{\rm I}}{(2l){}^2}(11)$

　　 对比式 (10) 和式 (11) 可见, 当G^cr_x作用于位置x导致结构失稳时, G^cr_x (x/l) ²作用于柱顶位置l也刚好会导致结构失稳。因而, 作用于嵌固端x处位置的荷载G_x, 可等效为作用于柱顶位置l的荷载G_x (x/l) ²。值得注意的是, 此处的等效只是屈曲荷载等效, 屈曲模式则是近似的。

　　 假设悬臂柱上作用竖向分段均布荷载q₁, q₂, …, q_n (图2) , 作用位置的分点为0=l₀<l₁<…<l_n=l, 其中区段[l_j-1, l_j]上的均布荷载为q_j, 荷载总量G_j=q_j (l_j-l_j-1) 。

　　 考虑区段[l_j-1, l_j]上的荷载向柱顶等效, 利用第2.1节的结论, 对位于任意x (l_j-1≤x≤l_j) 处的荷载微元q_jdx, 其柱顶等效荷载P_j微元为:

　　 $\text{d}{\rm P}{}_j=q{}_j\left(\frac{x}{l}\right){}^2\text{d}x=\frac{G{}_j}{l{}_j-l{}_{j-1}}\left(\frac{x}{l}\right){}^2\text{d}x(12)$

　　 对式 (12) 积分, 得到:

　　 $\begin{array}{l}{\rm P}{}_j={\displaystyle {\int }_{l{}_{j-1}}^{l{}_j}\text{d}}{\rm P}{}_j=\frac{G{}_j}{l{}_j-l{}_{j-1}}{\displaystyle {\int }_{l{}_{j-1}}^{l{}_j}\left(\frac{x}{l}\right)}{}^2\text{d}x\\ =G{}_j\frac{l{}_j^2+l{}_{j-1}^2+l{}_{j}l{}_{j-1}}{3l{}^2}(13)\end{array}$

　　 将各个区段的等效柱顶荷载累加, 得到柱顶等效总荷载P:

　　 ${\rm P}={\displaystyle \sum _{j=1}^n{\rm P}}{}_j={\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j\frac{l{}_j^2+l{}_{j-1}^2+l{}_{j}l{}_{j-1}}{3l{}^2}(14)$

　　 结合式 (4) 并引入临界屈曲荷载因子:

　　 $\lambda {}_{\text{c}\text{r}}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j\frac{l{}_j^2+l{}_{j-1}^2+l{}_{j}l{}_{j-1}}{3l{}^2}=\frac{\text{π}{}^{2}E{\rm I}}{(2l){}^2}(15)$

　　 整理得到临界屈曲荷载因子算式:

　　 $\lambda {}_{\text{c}\text{r}}=\frac{7.402E{\rm I}}{{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j(l{}_j^2+l{}_{j-1}^2+l{}_{j}l{}_{j-1})}(16)$

　　 式 (16) 即为本文基于荷载等效推导出的竖向分段均布荷载作用下的悬臂柱稳定公式。

　　 任意竖向分段均布荷载作用下的悬臂柱稳定公式的理论解不易获得;采用通常的RITZ法, 要获得高精度显式公式则非常繁琐。比较而言, 式 (16) 相当简明, 且概念清晰, 方便应用。

　　 由于不同荷载微元等效过程中屈曲模式是近似的, 故式 (16) 通常为近似公式。下面选取集中荷载、均布荷载、三角形荷载和倒三角形荷载四种荷载模式分别考察其精度。鉴于大部分常见荷载都可以表示或近似表示为这四种荷载的组合, 如果这四种荷载模式有足够精度, 那么大部分荷载模式的精度也就有了保障。

　　 $\begin{array}{l}\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j(l{}_j^2+l{}_{j-1}^2+l{}_{j}l{}_{j-1})\\ =\underset{l{}_{k-1}\to l{}_{\text{k}}}{{\displaystyle \lim }}G{}_{\text{k}}(l{}_{\text{k}}^2+l{}_{\text{k}-1}^2+l{}_{\text{k}}l{}_{\text{k}-1})=3G{}_{\text{k}}l{}_{\text{k}}^2(17)\end{array}\\ \lambda {}_{\text{c}\text{r}}^{\text{a}}=\frac{7.402E{\rm I}}{3G{}_{\text{k}}l{}_{\text{k}}^2}=\frac{\text{π}{}^{2}E{\rm I}}{4G{}_{\text{k}}l{}_{\text{k}}^2}(18)\end{array}$

　　 可见式 (16) 对单一集中荷载是准确的, 当然这是唯一的特例。

　　 $\begin{array}{l}\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j(l{}_j^2+l{}_{j-1}^2+l{}_{j}l{}_{j-1})\\ ={\displaystyle \sum _{j=1}^{n}q}{}_j(l{}_j-l{}_{j-1})(l{}_j^2+l{}_{j-1}^2+l{}_{j}l{}_{j-1})\\ =q{\displaystyle \sum _{j=1}^n(}l{}_j^3-l{}_{j-1}^3)=ql{}^3=Gl{}^2(19)\end{array}\\ \lambda {}_{\text{c}\text{r}}^{\text{b}}=\frac{7.402E{\rm I}}{Gl{}^2}(20)\end{array}$

　　 显然式 (20) 等同式 (6) , 即式 (16) 在均布荷载情况下退化为高规公式。

　　 简单起见, 令各区段等长, 顶部区段荷载记为g, 则:

　　 $G={\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j=(1+2+\cdots +n)g=\frac{n(n+1)}{2}g(21)$

　　 第j区段荷载总量为:

　　 $G{}_j=(n+1-j)g=\frac{2(n+1-j)G}{n(n+1)}(22)$

　　 计算:

　　 $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j(l{}_j^2+l{}_{j-1}^2+l{}_{j}l{}_{j-1})\\ =\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{2Gl{}^2}{n{}^3(n+1)}{\displaystyle \sum _{j=1}^n(}n+1-j)[j{}^2+(j-1){}^2+j(j-1)]\\ =6Gl{}^2{\displaystyle {\int }_0^1(}x{}^2-x{}^3)\text{d}x=\frac{1}{2}Gl{}^2(23)\end{array}$

　　 则:

　　 $\lambda {}_{\text{c}\text{r}}^{\text{c}}=\frac{14.804E{\rm I}}{Gl{}^2}(24)$

　　 简单起见, 令各区段等长, 底部区段荷载记为g, 则:

　　 $G={\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j=(n+\cdots +2+1)g=\frac{n(n+1)}{2}g(25)$

　　 第j区段荷载总量为:

　　 $G{}_j=jg=\frac{2jG}{n(n+1)}(26)$

　　 计算:

　　 $\begin{array}{l}\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j(l{}_j^2+l{}_{j-1}^2+l{}_{j}l{}_{j-1})\\ =\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{2Gl{}^2}{n{}^3(n+1)}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}j}[j{}^2+(j-1){}^2+j(j-1)]\\ =6Gl{}^2{\displaystyle {\int }_0^{1}x}{}^3\text{d}x=\frac{3}{2}Gl{}^2(27)\end{array}\\ \lambda {}_{\text{c}\text{r}}^{\text{d}}=\frac{4.933E{\rm I}}{Gl{}^2}(28)\end{array}$

　　 显然, 各种情况下的临界屈曲荷载因子公式均可表示为$\lambda {}_{\text{c}\text{r}}=\eta \frac{E{\rm I}}{Gl{}^2}$的形式, 各个公式解的误差均体现在常数η上。把式 (16) 对应的四种荷载模式下η的误差汇总列于表2, 可见除了集中荷载模式时误差为零, 各分布荷载模式下式 (16) 总是偏于保守, 但最大误差不超过8.1%, 基本可以满足工程需要。

　　 高规适用高度范围内的高层建筑, 其竖向荷载分布一般是相对均匀的, 有时也会出现下大上小的近似梯形分布, 本节讨论高规针对均布荷载的式 (6) 用于梯形荷载时的偏差情况, 以了解式 (6) 的适用性。

　　 考虑梯形荷载底部和顶部荷载值分别为q₀, q_l, 沿高度坐标记为x, 荷载分布$q=q{}_0+\frac{x}{l}(q{}_l-q{}_0)$, 则有:

　　 $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j(l{}_j^2+l{}_{j-1}^2+l{}_{j}l{}_{j-1})\\ =\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle \sum _{j=1}^n[}q{}_0+\frac{l{}_j}{l}(q{}_l-q{}_0)](l{}_j^3-l{}_{j-1}^3)\\ =\frac{1}{4}(q{}_0+3q{}_l)l{}^3=\frac{1}{2}Gl{}^2\frac{1+3p}{1+p}(29)\end{array}$

　　 式中p=q_l/q₀为顶部和底部荷载的比值。

　　 由此可计算均布荷载与梯形荷载对应的临界屈曲荷载因子λ${}_{\text{c}\text{r}}^{\text{u}\text{n}\text{i}}$, λ${}_{\text{c}\text{r}}^{\text{t}\text{r}\text{a}\text{p}}$之间的相对差异:

　　 $r=\frac{\lambda {}_{\text{c}\text{r}}^{\text{u}\text{n}\text{i}}}{\lambda {}_{\text{c}\text{r}}^{\text{t}\text{r}\text{a}\text{p}}}-1=\frac{1}{2}\cdot \frac{1+3p}{1+p}-1=\frac{p-1}{2(1+p)}(30)$

　　 表3为p取0.6～0.9时对应的r值, 由此可以了解高规公式与梯形荷载公式 (式 (29) ) 的差异, 显然当p>0.8时, 均布荷载公式 (式 (6) ) 引起的差异小于6%, 基本可以适用, 但随着p进一步减小, 差异会逐渐加大。

　　 根据第1节的分析, 高规刚重比公式主要针对竖向荷载分布均匀或比较均匀的结构, 对于竖向荷载分布不均匀比较严重的结构, 会存在较大误差。根据第2节的理论分析, 可以建议一个新的刚重比公式, 使之同时适用于竖向荷载均匀分布和不均匀分布的情况。在式 (16) 中, 分别取λ_cr≥10和λ_cr≥20, 则可以得到:

　　 $\begin{array}{l}E{\rm I}\ge 1.35{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j(l{}_j^2+l{}_{j-1}^2+l{}_{j}l{}_{j-1})\\ \approx 1.4{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j(l{}_j^2+l{}_{j-1}^2+l{}_{j}l{}_{j-1})(31)\\ E{\rm I}\ge 2.7{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j(l{}_j^2+l{}_{j-1}^2+l{}_{j}l{}_{j-1})(32)\end{array}$

　　 式 (31) 、式 (32) 就是本文建议的新刚重比验算公式及不考虑P-Δ效应的条件。显然, 根据第2.3节的论证, 在竖向荷载均匀的条件下, 式 (31) 、式 (32) 直接退化到高规公式式 (8a) 和式 (8b) , 同时它们对竖向不均匀荷载具有满足工程需要的精度且偏于保守。

　　 平面布置见图3, 尺寸为46.6m×46.6m, 结构总高度294m。取全楼重力荷载代表值的设计值为285 196t, 考虑三种荷载分布模式:1) 上小下大的梯形荷载, 底层5 431t, 顶层2 717t, 中间层线性插入;2) 均布荷载, 每层4 074t;3) 下小上大的倒梯形荷载, 底层2 717t, 顶层5 431t, 中间层线性插入。分别用式 (6) 、式 (16) 以及PMSAP软件基于有限元法的屈曲分析计算这三种荷载分布模式下结构在X, Y两个方向的临界屈曲荷载因子, 结果见表4, 5。

　　 观察表4, 5的数据可知:式 (16) 得到的临界屈曲荷载因子的变化规律与有限元法的结果一致, 三种荷载分布模式下, 均由大到小变化, 这与概念判断也是一致的, 荷载总量相同的前提下, 荷载重心越高, 临界屈曲荷载因子越小;式 (16) 计算得到的临界屈曲荷载因子相对于有限元法的结果总是偏小, 即总是偏于保守。对于实际工程中常见的梯形荷载、均布荷载, 式 (16) 误差较小, 基本在10%以内;对于倒梯形荷载, 式 (16) 误差略大, 最大约11%;误差的出现, 一方面是式 (16) 本身存在误差, 另一方面是抗弯刚度EI的近似等效引起的。

　　 此外根据表4, 5的数据, 对于上小下大的梯形荷载, 式 (6) 相对于有限元结果的误差超过20%, 偏于保守较多;对于上大下小的倒梯形荷载, 式 (6) 相对于有限元结果的误差则较小, 不超过6%。式 (16) 改善了式 (6) 对梯形荷载过于保守的情况。

　　 值得指出的是, 将表4, 5中的临界屈曲荷载因子除以7.4, 就是结构的刚重比。

　　 对于特别复杂的结构, 可以采用基于有限元法的屈曲分析来计算结构的临界屈曲荷载因子, 然后除以7.4得到结构的刚重比。

　　 (1) 高规中弯曲型结构的刚重比公式概念清晰, 方便应用, 具有合适的安全裕度, 适用于结构竖向荷载分布相对均匀的情况。在高规的适用高度范围内, 绝大部分高层建筑的竖向荷载分布是相对均匀的。某些高层建筑的竖向荷载出现从下到上逐渐减小的梯形分布, 若结构顶部与底部的荷载比值不小于0.8, 高规刚重比公式仍可适用, 否则需考虑竖向荷载分布不均匀对刚重比的影响。

　　 (2) 根据悬臂柱荷载的柱顶等效, 推导了任意分段均布荷载作用下悬臂柱的临界屈曲荷载因子公 式 (式 (16) ) , 计算了该公式用于集中荷载、倒三角形荷载、均布荷载以及三角形荷载共四种荷载分布模式下的误差, 结果表明最大误差不超过8.1%且均偏于安全, 基本可以满足工程需要。式 (16) 相当于将式 (6) 中的$l{}^2{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j$项用${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}G}{}_j(l{}_j^2+l{}_{j-1}^2+l{}_{j}l{}_{j-1})$替代。

　　 (3) 建议的刚重比验算式 (31) 和不考虑P-Δ效应的条件式 (32) , 适用于结构竖向荷载分布不均匀的高层建筑, 延续了高规刚重比公式简明适用的特点。在竖向荷载均匀的情况下, 式 (31) 和式 (32) 直接退化为高规刚重比公式。

　　 (4) 对于特别复杂的高层建筑, 可以采用基于有限元法的屈曲分析来计算结构的临界屈曲荷载因子λ_cr, 对应的结构刚重比为λ_cr/7.4。