F.柏拉希开篇即指出, 在材料力学的研究工作中, 没有一个领域会像金属结构压杆屈曲强度理论那样, 具有那么复杂变化的历史。

　　 欧拉 (Euler) 于1744年首次提出弹性屈曲问题, 并于1759年推导出欧拉公式。拉格朗日 (Lagrange) 于1770年扩展了欧拉的结论。

　　 由于欧拉公式不能解释短柱和中长柱的屈曲问题, 以至于其后的若干年中, 对欧拉理论和柱试验的不一致问题引起的困惑没能得到很好的解释, 理论上也没有取得进展。

　　 1845年, 比利时的E.拉马利 (E.Lamarle) 指出, 欧拉公式只是在弹性极限内有效。“假使弹性极限荷载小于欧拉极限荷载, 那么理想柱就会由于直接受压而破坏, 而不是由于弯曲而破坏。根据这种情况可以确定一个长细比l/r的值, 小于此值时欧拉公式就不能应用”。

　　 1889年, 法国的康西德尔 (Considere) 和德国的恩格塞尔 (Engesser) 各自独立地指出, 以广义形式来表示的欧拉公式在任何情况下都是有效的。恩格塞尔于1895年发表了双模理论, 之后卡门 (Karman) 进行了一系列精确试验。他们的工作成功地在理论上解决了整个弹性及非弹性屈曲方面的难题, 可以看成屈曲问题在悠久历史过程中的里程碑。

　　 在本节的最后F.柏拉希指出, 对于细长柱、薄板或薄壳, 会在弹性极限到达之前, 发生弹性范围内的失稳。但对于通常情况, 比如中长柱, 可能先进入屈服状态而不是弹性屈曲, 但由于超过弹性极限后达到屈服前弹性模量会迅速降低, 这样使不稳定系统的范围大大地扩展了。超过弹性极限后, 材料的部分崩溃使屈曲临界状态加速, 这充分说明稳定问题在金属结构设计中占有重要位置。

　　 自欧拉提出著名的弹性杆屈曲临界力公式——欧拉公式之后, 至本书作者F.柏拉希写本书的年代, 已过了近二百年。这期间前人对于稳定理论的研究可谓波澜壮阔, 进步长足。将欧拉公式由弹性范围扩展到整个弹性和弹塑性、塑性范围, 既具有理论价值, 又具有工程意义。一般来说, 对于多高层钢结构, 由于竖向构件要为结构提供侧向刚度, 因此柱的长细比通常在短柱至中长柱的弹塑性范围, 其稳定为弹塑性屈曲, 而非传统的欧拉失稳。对于大跨度钢结构, 其竖向刚度一般通过结构造型而非构件本身提供, 因而无论是杆系构件还是板系构件, 通常为细长杆和薄板, 其稳定为弹性屈曲, 属于传统的欧拉失稳范围。认清这一点才能理解稳定问题的本质, 进而才能在工程中合理地利用稳定的这一特点设计出精妙的结构。

　　 直柱受竖向力P作用 (图1) , 同时在横向力下产生弯矩m_x, 其弹性曲线的微分方程为:

　　 $E{\rm I}\frac{\text{d}y{}^2}{\text{d}x{}^2}+{\rm P}y+m{}_{\text{x}}=0(1)$

　　 令$\alpha =\sqrt[]{\frac{{\rm P}}{E{\rm I}}}$, 则:

　　 $y=\frac{m{}_{\text{x}}}{{\rm P}}\left(\frac{\sin \alpha x}{\alpha x\text{c}\text{o}\text{s}\frac{\alpha l}{2}}-1\right)(2)$

　　 当m_x≠0时, P以欧拉临界力P_E为极值, 而此时y趋于无穷大。

　　 ${\rm P}{}_{\text{E}}=\frac{\text{π}{}^{2}E{\rm I}}{l{}^2}(3)$

　　 当m_x=0时, 解齐次方程 (1) 的特征值为:

　　 ${\rm P}=\frac{n{}^2\text{π}{}^{2}E{\rm I}}{l{}^2}$

　　 其中只有n=1即P=P_E有意义, 其他n值时柱的形状需要人为控制。

　　 以上的推导只为得出以下结论:1) P<P_E时, 没有m_x, 柱保持直立;施加m_x, 柱挠度符合式 (2) , 此时去掉m_x, 柱恢复直线状态。2) P=P_E时, 没有m_x, 柱可以处于正弦曲线状态;施加m_x, 柱会有非常大的挠曲, 再去掉m_x, 柱不会回到初始状态。

　　 至此得到不稳定 (屈曲) 准则:达到临界荷载P_E时, 有两种平衡状态, 即直线形式和与直线无限接近的挠曲形式。这种“平衡状态的分叉”是不稳定状态准则。

　　 前面的公式中, 假定弹性模量E不变, 即式 (3) 只适用于弹性范围内的屈曲, 它对应于长细比l/r超过某一限值的长杆的情况。此时作者感叹道, “令人难以理解的是, 从欧拉到E.拉马利, 经历了一个世纪后, 这一基本事实方才为人们所发现”。

　　 式 (3) 可以写成临界应力的形式, 引入表示端部情况的系数k, 则有:

　　 $\sigma {}_{\text{c}}=\frac{\text{π}{}^{2}E}{(kl/r){}^2}(4)$

　　 式中:k为有效长度系数;kl为有效长度。

　　 由于初挠度和初偏心的存在, 两端铰接的实际压杆的承载力永远小于式 (3) 的欧拉临界力P_E, 而这更加反衬出欧拉的精妙和伟大。

　　 前面讨论的欧拉临界力P_E是对应细长柱的, 此时截面压应力未达到弹性极限。对于短柱, 屈曲前应力已超过弹性极限, 此时弹性模量不再是常数, 而是临界应力σ_c=P_c/A的函数。

　　 康西德尔和恩格塞尔均采用引入一个变化的弹性模量使欧拉公式可用于非弹性范围的屈曲。恩格塞尔于1889年提出切线模量理论。此时康西德尔提出以$\overline{E}$代替E用于非弹性屈曲, $\overline{E}$值在E值和切线模量值之间:当中心受压柱在超过比例极限的应力作用下开始挠曲时, 在凹侧的应力是根据受压的应力-应变曲线规律增长的, 而在凸侧的应力则与应变成正比例地减小。受此启发, 恩格塞尔于1895年又提出了改进的双模量理论。这里有一个小插曲, 1912年苏斯威尔 (Southwell) 提出了双模量理论, 显然, 他没有好好读文献。

　　 双模量理论一度占优。但后来的试验发现, 屈曲荷载介于切线模量理论和双模量理论之间, 并更接近于切线模量理论。直到1947年, 香莱 (Shanley) 的研究证明了恩格塞尔原先的切线模量理论的正确性。

　　 对于切线模量理论和双模量理论的争执、论证与确认, 是稳定问题研究中极具思辨与探索的经典时刻, 后续我们将看到前辈大咖对此做出的不懈努力和香莱的精妙解答。 (待续)