0 引言

　　 工程竹是原竹经工业化制造而成的竹基复合材料。根据胶合单元不同，工程竹通常有重组竹、集成竹、竹胶板等。在工程竹制造过程中，对原竹材进行了筛选，仅截取竹茎中材质比较均匀的部分，剔除其中的缺陷，并将不同部位进行分散搭配，经高温干燥处理后，再进行胶合。因此，工程竹不仅显著减少了原竹几何尺寸和力学性能的变异性，且强度较高，收缩和翘曲小，适用于制作建筑梁、柱和楼板等基本构件，是一种理想的建筑结构材料 ^[1]。

　　 近十年来，我国学者针对工程竹结构的基础和应用研究开展了许多工作 ^[2,3,4,5],发展了轻型工程竹结构、工程竹框架结构、钢-竹组合结构等多种结构形式，取得了一系列成果。工程竹作为一种可再生、绿色环保材料，也已逐渐被人们接受，我国各地已陆续建造了许多现代竹结构建筑 ^[6]。由于目前还没有工程竹结构设计标准，现代竹结构建筑设计与建造主要参考现行《木结构设计标准》(GB 50005—2017) ^[7](简称木结构设计标准)。然而，研究证实，工程竹材料力学性质与木材力学性质并不完全相同。通常，木材的顺纹受压比例极限与其顺纹受压强度差异并不太大，有的文献甚至以理想弹塑性关系描述木材的顺纹受压应力-应变关系 ^[8]。因此，采用线弹性理论计算木构件的极限承载力与其实际承载力比较接近，且偏于安全，在工程上可以接受。然而，竹材的受压应力-应变曲线则表现出显著的非弹性特点，其受压比例极限约为其极限受压强度的50% ^[1]。工程竹的这种非弹性特点，对受弯构件或压弯构件的力学行为影响显著 ^{[9,10,11,12,13,14]}。准确预估工程竹结构的极限承载力，应该考虑材料的非弹性性质。若采用木结构设计公式 ^[15,16,17],将会显著低估工程竹构件的极限承载力。

　　 近年来，笔者所在课题组以重组竹和集成竹为研究对象，系统开展了材料基本力学性能、受弯构件和压弯构件的极限承载力非弹性分析方法研究，建立了此类构件极限承载力与变形计算方法 ^{[1,5,9,10,11,12,13]}。本文系统总结了这些成果，给出了相应的承载力与变形计算主要公式，以期为工程竹结构极限状态设计提供依据。

1 非弹性应力-应变关系

　　 重组竹一般选用毛竹为原料，首先将竹茎切成长2m左右的竹条，在80℃左右环境中烘干至含水率11%～16%,再将竹条碾成竹丝束，平行组坯，浸渍酚醛树脂胶，在一定压力和温度下胶合而成。集成竹是将长约3m、宽30mm、厚20mm的竹条在80℃环境中烘干至含水率6%～11%,再将酚醛树脂均匀涂抹于竹片表面，同方向组坯胶合而成。

　　 文献[1]和文献[11]的研究表明，不论是重组竹还是集成竹，其顺纹应力-应变关系均表现出类似的特性，即顺纹受拉呈完全弹性，而顺纹受压在弹性极限内呈线性，超过弹性极限后呈明显非线性特性。为了建立工程竹受弯构件和压弯构件的非线性分析模型，文献[1]采用如图1所示二次曲线模拟工程竹的顺纹本构关系：

　　 图1 工程竹顺纹应力-应变关系  

　　 σ(ε)={λ1ε2+λ2ε+λ3Eε(−εcu≤ε≤−εce)(−εce≤ε≤εtu)         (1)σ(ε)={λ1ε2+λ2ε+λ3(-εcu≤ε≤-εce)Eε(-εce≤ε≤εtu)         (1)

　　 其中：

　　 λ1=fcu−fce(εcu−εce)2 λ2=2εcu(fcu−fce)(εcu−εce)2   λ3=−ε2ce fcu−2εceεcu fcu+ε2cu fce(εcu−εce)2λ1=fcu-fce(εcu-εce)2 λ2=2εcu(fcu-fce)(εcu-εce)2   λ3=-εce2 fcu-2εceεcu fcu+εcu2 fce(εcu-εce)2

　　 式中：λ₁,λ₂,λ₃均为材料常数；f_cu和ε_cu分别为极限抗压强度和极限压应变；f_ce和ε_ce分别为比例极限压应力和比例极限压应变；f_tu和ε_tu分别为极限抗拉强度和极限拉应变；E为顺纹杨氏模量。

2 受弯构件极限承载力

　　 木结构设计标准给出的受弯构件承载力计算公式为M/W_n≤f_m,其中，M,W_n, f_m分别为受弯构件控制截面的弯矩、截面净抵抗矩以及材料抗弯强度设计值。可见，木结构设计标准中极限承载力的计算采用了线弹性力学模型。由于工程竹受压本构关系非线性特性明显，故利用线弹性模型计算工程竹极限承载力会导致较大误差。试验 ^[9]表明，工程竹受弯构件破坏时，破坏截面受压区靠近构件上表面一定范围内的材料处于受压屈曲状态，使构件产生非弹性响应；而截面的其他区域，均处于弹性工作状态，如图2所示。因此，工程竹受弯构件的极限弯矩M_u可由下式得到：

　　 Mu=∫−yc−(yc+yp)f(y)ydy+∫yt−ycEkpy2dy         (2)Μu=∫-(yc+yp)-ycf(y)ydy+∫-ycytEkpy2dy         (2)

　　 式中：f(y)为受压区截面应力分布；y_c,y_p,y_t分别为弹性受压区(ECZ)、非弹性受压区(PCZ)和弹性受拉区(ETZ)的高度(图2),可通过截面平衡条件和几何条件求得；k_p为构件曲率。

　　 图2 极限状态下受弯构件截面的应力与应变分布 

　　 式(2)中的第1项积分为受压屈曲区对截面抵抗弯矩的贡献。准确计算该项积分值非常复杂。为了得到受弯构件极限承载力的解析解，文献[9]定义了一个参数α⎛⎝⎜α=∣∣∣∣∣∫−yc−(yc+yp)f(y)dyyp fce∣∣∣∣∣⎞⎠⎟α(α=|∫-(yc+yp)-ycf(y)dyyp fce|)来度量受压屈曲区应力分布的不均匀性。可见，以式(2)计算极限承载力的精度取决于系数α的精度，文献[9]假设梁破坏时，受压区最外层纤维达到极限压应变，给出了系数α的解析表达式：

　　 α=1fce(εcu−εce)[λ13(ε3cu−ε3ce)+λ22(ε2cu−ε2ce)+λ2(εcu−εce)]         (3)α=1fce(εcu-εce)[λ13(εcu3-εce3)+λ22(εcu2-εce2)+λ2(εcu-εce)]         (3)

　　 计算结果 ^[9,10,11]证明，采用式(2)计算重组竹与集成竹受弯构件的承载力具有较高的精度。然而，式(3)是一个与材料极限应变相关的参数，不便于工程应用。为此，文献[13]采用梯形分布代替受压屈曲区的非线性应力分布，得到了工程竹受弯构件的极限弯矩计算公式：

　　 Mu=bh2(2ftu fcu+ftu fce−fce fcu)6(ftu+fcu)         (4)Μu=bh2(2ftu fcu+ftu fce-fce fcu)6(ftu+fcu)         (4)

　　 式中b, h分别为梁截面宽度和高度。

　　 以课题组研发的空心竹楼盖单向板为例(图3),经计算表明，式(4)的计算结果与试验结果误差不大，且偏于安全，可以满足工程计算精度要求。

　　 图3 空心竹楼盖单向板试验与计算值比较 ^[11]  

3 压弯构件

3.1 单偏心受压构件

　　 各国主要规范，如NDS-2015 ^[14],CSA086-14 ^[15]和Eurocode 5 ^[16],给出了以轴向压力-弯矩方程表达的构件失效准则，以校核压弯构件是否满足极限状态下的承载力要求。尽管有些规范或标准给出的失效准则考虑了构件的非线性特征，但极限应力仍是基于线弹性理论给出的结果。如木结构设计标准给出的单向偏心受压柱极限承载力验算公式：

　　 NAn fc+M0+Ne0Wn fm≤1         (5)ΝAn fc+Μ0+Νe0Wn fm≤1         (5)

　　 式中：N和M₀分别为偏心受压构件承受的轴向压力和弯矩；e₀为轴向压力的初始偏心距；A_n和W_n分别截面净面积和净抵抗矩；f_c和f_m分别为材料抗压强度与抗弯强度设计值。

　　 与木结构设计标准类似的还有欧洲规范Eurocode 5 ^[16],该规范给出的单向偏心受压柱承载力验算公式与式(5)类似，只不过采用应力为基本变量。显然，式(5)依据线弹性理论，将轴向压力和弯矩产生的荷载效应进行线性叠加，未考虑材料的非弹性响应。有些设计标准考虑了压弯构件的非线性响应，将压弯构件的破坏准则表达为轴向压力与弯矩的二次曲线。如加拿大木结构设计手册 ^[18]给出的在偏心压力作用下中长柱的极限承载力计算公式：

　　 (PfPr)2+12Pre0Mr11−Pf/PE≤1         (6)(ΡfΡr)2+12Ρre0Μr11-Ρf/ΡE≤1         (6)

　　 式中：P_f为轴向荷载；P_r为轴向抗力极限值；M_r为抵抗弯矩极限值；P_E为Euler临界荷载。

　　 事实上，受压构件的承载力与其长细比密切相关。对于细长柱，整体失稳是其主要破坏模式，早在1744年，Euler就提出了细长柱的极限承载力计算公式 ^[19]。当柱的长细比介于短柱和细长柱之间(即中长柱)时，其极限承载力取决于材料抗压强度和长细比，柱破坏时，非弹性特征显著。

　　 为了计算承受轴向压力中长柱的极限承载力，Engesser于1889年提出了切线模量理论 ^[20],该理论以切线模量E_t,即应力-应变曲线某点的斜率，代替弹性模量E,得到的柱承载力计算公式和Euler公式具有相同的形式。此外，Von Karman于1919年提出割线模量理论 ^[21],该理论考虑材料卸载弹性应力-应变关系，得到的承载力公式也与Euler公式具有相同的形式，只不过以割线模量E_r代替Euler公式中的弹性模量E。试验结果 ^[10]表明，Engesser和von Karman公式能较好预估轴心受压工程竹中长柱的极限承载力，但不能用于计算偏心受压柱的极限承载力。

　　 文献[21]在Euler和Timoshenko梁理论基础上，建立了弯曲构件和压弯构件统一模型，即梁-柱模型，研究了杆件偏心受压或在轴向压力与端部弯矩的联合作用下，构件极限承载力计算问题，给出的压弯构件控制方程为弯矩关于曲率的二阶微分方程，材料的非线性则通过破坏面的弯矩-曲率-轴力关系表示。对端部同时承受轴力和弯矩联合作用的压弯构件，当轴力恒定时，采用梁-柱模型很容易得到微分方程的解。对于偏心受压柱，由于计算截面弯矩是轴力的函数，难以得到方程解析解，需采用数值方法对一系列荷载增量进行逐步计算，以逼近极限承载力真实值。采用这种方法进行结构设计计算非常繁琐。文献[22]提出一种基于应变的非弹性分析方法，该方法假设破坏截面上的应变已知，根据应力-应变关系得出破坏截面的应力分布，从而计算破坏截面的挠度和内力。文献[10]根据中长柱偏心受压试验结果，考虑工程竹拉、压应力-应变关系的差异和极限状态下受压应力-应变关系非弹性特点，将破坏截面分为弹性区域和受压屈曲区域(图4),得到中长压弯构件弯曲破坏时极限承载力计算公式：

　　 N=be[∫−yc−(yc+yp)f(y)ydy+E∫yt−ycΦpy2dy]         (7)Ν=be[∫-(yc+yp)-ycf(y)ydy+E∫-ycytΦpy2dy]         (7)

　　 式中：Φ_p为破坏截面曲率，Φp=σt2+(2α−1)fce2+2αfceσt2E(αfce−σN)hΦp=σt2+(2α-1)fce2+2αfceσt2E(αfce-σΝ)h,σ_t为截面受拉区外侧拉应力，当外荷载达到极限承载力时，σ_t=f_tu,σ_N为轴力引起的压应力，σ_N=N/A_n;e为破坏截面偏心距；b为压弯构件的截面宽度。

　　 图4 单偏压柱及其破坏截面应力分布 

　　 为了计算柱破坏截面的挠度，文献[10]还提出了一种虚拟塑性铰法。该方法假定破坏面的挠度由弹性挠度和非线性变形挠度两部分组成，弹性挠度是指荷载达到比例极限时产生的挠度，由Euler方程求得；非线性变形挠度是指外荷载由比例极限增加至极限荷载过程中产生的挠度，在此过程中，破坏截面附近一定范围内由于非弹性压曲，沿柱纵向产生一定长度的塑性铰。通过塑性铰发展过程中的几何关系分析，可得偏心受压柱破坏时破坏截面(1/2柱高)处的非线性变形挠度δ_p:

　　 δp=l4εtu(1ytu−2h)Lp         (8)δp=l4εtu(1ytu-2h)Lp         (8)

　　 式中：L_p为塑性铰长度；y_tu为截面破坏时受拉区高度。

　　 可见，非线性变形挠度取决于塑性铰的长度。假设塑性铰长度等于破坏截面高度，即L_p=h,则非线性挠度为：

　　 δp=l4εtu(hytu−2)         (9)δp=l4εtu(hytu-2)         (9)

3.2 双向偏心受压构件

　　 双向偏心受压构件的非弹性分析模型研究较多 ^{[23,24,25,26,27]},大多数研究都假设材料具有理想弹塑性应力-应变关系以减少计算难度。文献[17]采用了与单向偏压构件类似的分析方法，建立了工程竹中长柱在双向偏心受压作用下的极限承载力分析模型。该模型假定柱破坏时，最外层纤维拉断，受压区纤维屈曲。根据平截面假定，将柱的破坏截面分为弹性受拉区、弹性受压区和非弹性受压区，由几何条件得到破坏截面应变分布方程，从而进一步得到极限承载力计算公式。由平截面假定可知，应变分布方程可表示为：

　　 ε(x,y)=Px+Qy+R         (10)ε(x,y)=Ρx+Qy+R         (10)

　　 式中P,Q,R为应变分布平面的外法线向量。

　　 根据文献[17]的研究结果，工程竹双向偏心受压构件破坏时，破坏截面上的非弹性压曲区有两种可能的几何形状，即三角形或梯形。以非弹性受压区为三角形为例，图5给出了破坏截面的应变和应力分布。

　　 图5 非弹性受压区为三角形时的截面应变和应力分布 

　　 由平衡条件可得上述两种情况下双向偏心受压构件的极限承载力计算公式：

　　 非弹性受压区为三角形时：

　　 Nu=EAR1−E6(a0−a)(b0−b)[(a0+2a)P+(b0+2b)Q−3R]−α2(a0−a)(b0−b)fce         (11)Νu=EAR1-E6(a0-a)(b0-b)[(a0+2a)Ρ+(b0+2b)Q-3R]-α2(a0-a)(b0-b)fce         (11)

　　 非弹性受压区为梯形时：

　　 Nu=EAR2+Ea3{a(b1−b2)P−14[4b2−3(b1+b2)2−(b1−b2)2]Q−3(2b−b1−b2)R}−αa(2b−b1−b2)f         (12)Νu=EAR2+Ea3{a(b1-b2)Ρ-14[4b2-3(b1+b2)2-(b1-b2)2]Q-3(2b-b1-b2)R}-αa(2b-b1-b2)f         (12)

　　 式中：A为柱截面面积；R₁和R₂分别为系数，R1=(ab−a0b0−2ab0)ft+(ab0−a0b−2ab)fceA−(a+a0)(b+b0),R2=(b1+b2)ft+(b1−b2−2b)fce2(b+b2)R1=(ab-a0b0-2ab0)ft+(ab0-a0b-2ab)fceA-(a+a0)(b+b0),R2=(b1+b2)ft+(b1-b2-2b)fce2(b+b2);其余参数为中性轴与截面的交点坐标，参见图6。

　　 图6 双向偏心受压柱截面上的弹性和非弹性区域 

　　 由于求解高阶方程的困难，通过平衡条件和几何条件确定弹性受压区和塑性受压区的分界线方程在数学上很难实现，故难以给出应变平面的外法线向量显式解析解。试验和分析证实，双向偏心受压柱截面的破坏始于塑性受压区最外边缘纤维的屈服，弹性和非弹性区域分界线为直线且与中性轴平行，它始于塑性受压区的最远端，在截面发生损伤与破坏过程中，逐步平移至截面内部。因此，式(11)和式(12)提供了一个计算双向偏心受压构件非线性响应的渐近法，即通过应变分布平面方程，得到弹性和非弹性区域的分界线方程，逐渐将分界线从受压区最外点向截面内平移，计算相应的外荷载和受拉区最外端的应力，直至受拉区达到抗拉极限，停止计算，此时得到的外荷载值即为双向偏心受压柱的极限承载力。计算表明，上述方法可以得到满意的结果。计算与试验结果对比如表1所示。

　　 双向偏心受压柱极限承载力试验值与计算值对比 ^[17]17]表1

　　 注：误差=|Ntu−Ncu|Ntu×100%|Νut-Νuc|Νut×100%。

4 结语

　　 工程竹顺纹受拉和受压应力-应变差异显著，受压应力-应变关系呈明显非线性特征，因此，工程竹极限承载力与变形计算应考虑其非弹性响应。本文系统总结了笔者所在课题组关于工程竹受弯构件和偏心受压构件极限承载力与变形的计算方法，列出了相关计算公式。其中，受弯构件和单向偏心受压构件可通过本文公式直接计算相应的极限承载力，双向偏心受压构件则需要通过逐步渐进法进行计算。就作为实用计算公式而言，式(2),(3),(7),(11),(12)还需要进一步简化，以下工作还有待进一步开展：

　　 (1)受压屈曲区应力不均匀系数α的取值问题。研究 ^[9,11,17]表明，不论弯曲问题还是偏心受压问题，α值的计算公式完全相同，通过计算分析，给定α某一确定的近似值，则式(2),(3),(7),(11),(12)将大为简化，从而为得到工程竹极限承载力实用计算公式创造条件。

　　 (2)各国木结构设计标准(规范)只给出了偏心受压构件的承载力校核公式，没有给出极限承载力计算公式。本文所列公式均可计算偏心受压构件的极限承载力。因此，通过进一步分析、简化，给出偏心受压构件承载力实用计算公式，对编制工程竹结构设计标准具有理论意义。

　　 (3)本文讨论的偏心受压构件承载力计算公式均在受拉区纤维应力达到抗拉强度的假定下导出，即假设偏压构件的破坏模式为大偏心受压破坏。当偏心距较小时，受拉区纤维在构件破坏时达不到抗拉极限强度。因此，对于小偏心受压构件的非弹性分析，还需进一步研究。