0 概述

　　 拱结构是一种主要承受轴向力作用的受力较为合理的结构,由于其具有重量轻、强度高等优点,常应用于桥梁、体育场等大跨度和超大跨度结构,成为现代工程建设常见的结构形式之一。

　　 国内外已经对拱结构进行了相当多的研究,积累了不少研究成果,SUN JIANPENG等 ^[1]基于精确传递矩阵法和平面圆拱微分方程理论,推导了一种均布荷载下圆拱平面屈曲分析的新方法,计算了圆拱与两个铰链支撑的临界载荷。JIANG LIYUN等 ^[2]采用大变形弹性屈曲有限元法,研究了分布式径向荷载作用下侧支撑腹板开口圆形钢拱的平面外稳定性。HUANG YONGHUI等 ^[3]将带有侧支撑的平行双拱平面外屈曲现象与独立式拱形进行相比,研究了在均匀径向荷载作用下圆形平行双拱平面外极限抗力。项海帆等 ^[4]使用静止力平衡方程对平面内拱结构的基本方程进行推导,并对拱结构在均布荷载作用下的屈曲荷载进行推导。杨晓明 ^[5]用非线性有限元法讨论了不同索的布置对于拱结构稳定性的影响。康厚军 ^[6]采用能量原理从理论上推导悬索桥的屈曲荷载。陈坤等 ^[7]采用非线性有限元法分析曲线索对于拱结构屈曲模态的约束效果。MEEK等 ^[8]推导出三维梁单元的单元刚度矩阵、几何刚度矩阵及空间坐标变换方程,并提出以定量位移增长法的迭代方式对集中荷载作用下的拱结构的几何非线性特征进行跟踪。

　　 本文由拱结构平面内的基本平衡方程出发,针对刚性构件补强下拱结构面外稳定问题,提出一种圆拱-弹簧模型,用弹簧代替补强构件,应用理论推导的方式,通过约束拱结构的低阶屈曲模态从而提高拱结构的屈曲强度。并利用有限元的线性屈曲分析方法验证了本文中推导的屈曲控制方程的正确性。

1 拱结构平面外基本方程

　　 拱结构的位移示意见图1,由图1可得曲率K_y,K_z为:

　　 Ky=d2uds2+θR         (1)Kz=dθds−1Rduds         (2)Κy=d2uds2+θR         (1)Κz=dθds-1Rduds         (2)

　　 图1 拱结构的位移示意图  

　　  

　　 图2 平面外内力的平衡状态  

　　  

　　 图2为拱结构发生面外屈曲失稳时结构的内力图。内力主要包括弯矩M_η、扭矩M_ζ、剪切力Q_ξ、轴向力N_ζ、均布荷载q_ξ、均布弯矩m_η及m_ζ。LOVE A. E. H. ^[9]假定拱结构在发生面外屈曲失稳的时候,拱结构平面内的弯矩M_ξ很小,可以忽略,且此时的轴向力N_ζ=qR。不考虑m_η及m_ζ的影响后,由轴向力、弯矩和扭矩的平衡出发,可以得到:

　　 ⎧⎩⎨d2Mηds2+1RdMζds+NζKy−qξ=0dMζds−MηR=0         (3){d2Μηds2+1RdΜζds+ΝζΚy-qξ=0dΜζds-ΜηR=0         (3)

　　 M_η,M_ζ为:

　　 {EIyKy=MηGJzKz−(EJwKz′)′=Mζ         (4){EΙyΚy=ΜηGJzΚz-(EJwΚz′)′=Μζ         (4)

　　 式中:I_y为y轴的惯性矩;K_y为y轴的曲率;K_z为z轴的曲率;GJ_z为扭转刚度;EJ_w为翘曲刚度。

　　 将式(1),(2)和(4)带入式(3),且考虑当拱结构发生面外屈曲失稳时,有q_ξ≈qθ 和N_ζ=qR的假定条件,则式(3)变换为:

　　 ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EIyd4uds4+(qR−GJzR2)d2uds2+(EIy+GJzR)d2θds2=0−(GJz+EIyR)d2uds2+GJzd2θds2−EIyR2θ=0         (5){EΙyd4uds4+(qR-GJzR2)d2uds2+(EΙy+GJzR)d2θds2=0-(GJz+EΙyR)d2uds2+GJzd2θds2-EΙyR2θ=0         (5)

　　 定义两个无量纲系数λ 和 ω 为:

　　 ⎧⎩⎨λ=EIyGJzω=qEIy/R3         (6){λ=EΙyGJzω=qEΙy/R3         (6)

　　 利用ds=Rdφ和式(6),式(5)变换为:

　　 ⎧⎩⎨⎪⎪d4udφ4+(ωλ−1)λd2udφ2+(λ+1)Rλd2θdφ2=0−1+λRd2udφ2+(d2θdφ2−λθ)=0         (7){d4udφ4+(ωλ-1)λd2udφ2+(λ+1)Rλd2θdφ2=0-1+λRd2udφ2+(d2θdφ2-λθ)=0         (7)

　　 由式(7)中的第二个式子,可得:

　　 u=R1+λθ−λR1+λ∫(∫θdφ)dφ         (8)u=R1+λθ-λR1+λ∫(∫θdφ)dφ         (8)

　　 同时,将式(7)的两个式子进行合并,可得:

　　 d4θdφ4+(ω+2)d2θdφ2+(1−λω)θ=0         (9)d4θdφ4+(ω+2)d2θdφ2+(1-λω)θ=0         (9)

　　 此时,定义参数a=ω+22,b=1−λω,k1=a+a2−b−−−−−√−−−−−−−−−−√,k2=−a+a2−b−−−−−√−−−−−−−−−−−√a=ω+22,b=1-λω,k1=a+a2-b,k2=-a+a2-b,可得:

　　 θ=Asink1φ+Bcosk1φ+Csinhk2φ+Dcoshk2φ         (10)θ=Asink1φ+Bcosk1φ+Csinhk2φ+Dcoshk2φ         (10)

　　 图3 拱结构-弹簧模型的面外失稳  

　　  

　　 式(10)是θ的一般解,同时将式(10)代入式(8)可得u的一般解。

2 拱结构平面外的屈曲模型

　　 图3(a)中在拱结构的面外设置一弹簧约束拱结构发生侧倾,弹簧系数为k且垂直拱平面。假定拱结构受到法线方向的均布荷载作用。图3(b)是拱结构中点位置发生u₀大小的垂直拱平面的位移时切向力的平衡状态,下标“R”和“L”分别表示拱结构中点的左侧和右侧。

　　 图(3)的剪切力用下式计算:

　　 Qξ=−1RdMηdφ−MζR         (11)Qξ=-1RdΜηdφ-ΜζR         (11)

　　 假定拱结构的边界条件为面内铰接点、面外刚接点的情况。边界条件可表示为:

　　 θL=0,uL=0,uL′=0 (在φ=0处)θR=0,uR=0,uR′=0 (在φ=α处)uL=uR=u0,uL′=uR′QξL+ku0=QξR,θL=θRθL′=θR′,θL˝=θR′′ (在φ=0.5α处)θL=0,uL=0,uL′=0 (在φ=0处)θR=0,uR=0,uR′=0 (在φ=α处)uL=uR=u0,uL′=uR′QξL+ku0=QξR,θL=θRθL′=θR′,θL˝=θR″ (在φ=0.5α处)

　　 定义参数如下:

　　 ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪g1=sinαk1g2=sinhαk2h1=cosαk1h2=coshαk2m1=sin0.5αk1m2=sinh0.5αk2n1=cos0.5αk1n2=cosh0.5αk2         (12){g1=sinαk1g2=sinhαk2h1=cosαk1h2=coshαk2m1=sin0.5αk1m2=sinh0.5αk2n1=cos0.5αk1n2=cosh0.5αk2         (12)

　　 此时上述的边界条件可用矩阵的形式表示为:

　　 S3D−SF=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢00k1+λk1000m1+λk21m10−n1k1k31n1m1k1n1−k21m11−1k210000n1+λk21n10m1k1−k31m1n1−k1m1−k21n100k2−λk2000m2−λk22m20n2k2−k32n2m2k2n2k22m211k220000n2−λk22n20m2k2−k32m2n2k2m2k22n200−λ000−0.5αλ010000010000−λ000000000g1−g1k21k1h1+λk1h10m1+λk21m1n1k1−k31n1−m1−k1n1k21m1000h1−h1k21−k1g1−λk1g10n1+λk21n1−m1k1k31m1−n1k1m1k21n1000g2g2k22k2h2−λk2h20m2−λk22m2−n2k2k32n2−m2−k2n2−k22m2000h2h2k22k2g2−λk2g20n2−λk22n2−m2k2k32m2−n2−k2m2−k22n20000α−λ0−0.5αλ−100000000100−λ00000000000−1+λR−1+λR0(1+λ)R2kEIy000⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥         (13)S3D-SF=[01010000000000-1k1201k22010000000k1+λk10k2-λk20-λ00000000000000g1h1g2h2000000000-g1k12-h1k12g2k22h2k22α10000000k1h1+λk1h1-k1g1-λk1g1k2h2-λk2h2k2g2-λk2g2-λ00m1+λk12m1n1+λk12n1m2-λk22m2n2-λk22n2-0.5αλ-λ000000-1+λR000000m1+λk12m1n1+λk12n1m2-λk22m2n2-λk22n2-0.5αλ-λ-1+λR-n1k1m1k1n2k2m2k210n1k1-m1k1-n2k2-m2k2-100k13n1-k13m1-k23n2-k23m200-k13n1k13m1k23n2k23m200(1+λ)R2kEΙym1n1m2n200-m1-n1-m2-n2000k1n1-k1m1k2n2k2m200-k1n1k1m1-k2n2-k2m2000-k12m1-k12n1k22m2k22n200k12m1k12n1-k22m2-k22n2000]         (13)

　　 定义参数r_y如下:

　　 ry=kEIy/R3         (14)ry=kEΙy/R3         (14)

　　 此时的屈曲控制方程可表达为:

　　 det(S3D−SF)=0         (15)det(S3D-SF)=0         (15)

　　 将式(15)展开后,可知方程的解由式(14)所决定。

3 数值解析例子

　　 如图4所示的圆拱结构,拱结构为半圆形,半径为1m,刚度系数k的弹簧设置在拱结构中点垂直拱平面的位置,外荷载为均布荷载。在对于拱结构的有限元屈曲的模拟中,拱结构整体被分成48个直梁单元。拱结构的材料参数如表1所示。

　　 拱结构的材料参数 表1

杨氏模量/GPa	泊松比	内径/mm	外径/mm
205	0.3	6	12

 

　　  

　　 图4 拱结构的数值模型  

　　  

　　 首先我们求出拱结构在没有补强的线性屈曲模型和屈曲荷载。有限元分析中的梁单元采用文献[10]的直梁单元,同时考虑到拱结构可能发生面内屈曲的情况,因此使用考虑随动力影响的几何刚度的修正方程 ^[11]。拱结构的面外约束都为刚接点,面内约束分为铰接点和刚接点边界两种情况。

　　 面内为铰接点时拱结构的线性屈曲分析结果 表2

模态	第一阶屈曲	第二阶屈曲	第三阶屈曲
振型
qcr	2.52(EIyR3)2.52(EΙyR3)	5.83(EIyR3)5.83(EΙyR3)	13.61(EIyR3)13.61(EΙyR3)

 

　　 注:表中q_cr为面内径向均布荷载。

　　  

　　 屈曲荷载理论值可以由式(13)计算得到,分别为2.47EI_y/R³,5.71EI_y/R³,13.32EI_y/R³。

　　 表2中的结果均为只考虑面外屈曲情况的第一阶到第三阶的屈曲分析结果,实际上由于面内为铰接点的关系,拱结构面内的第一阶的屈曲荷载为3.00(EI_x/R³),因此面内的第一阶屈曲的发生会优先于面外的第二阶屈曲。图5为面内第一阶屈曲的模型,其有限元解为3.06(EI_x/R³)。

　　 图5 拱结构的面内 第一阶屈曲  

　　  

　　 由图6可知,当弹簧比例系数r_y 为 0.84时,拱结构的屈曲形态由平面外屈曲转为平面内屈曲。同时可以观察到,本文提出的圆拱-弹簧模型屈曲控制方程的计算结果与有限元的分析结果非常接近。

　　 图6 面内铰接点边界下r_y 和 q_cr的关系  

　　  

　　 当拱结构面内的边界条件为刚接点时,有限元分析结果及理论解如图7所示。由图7可知,拱结构在面外弹簧的约束下,逐渐由面外的一阶屈曲向面外的二阶屈曲过渡,当弹簧比例系数r_y 为5.24时,拱结构的线性屈曲模型变为二阶屈曲。此外,本文提出的理论解的计算结果和有限元的分析结果基本吻合,证明了本文的计算公式正确性。

　　 图7 面内刚接点边界下r_y 和 q_cr的关系  

　　  

　　 图8 单拱的刚性构件补强模型   

　　  

4 拱结构的补强模型分析

4.1 单拱补强模型

　　 图8为三种单拱结构在刚性构件补强下的模型,图中实线部分为拱结构,虚线部分为直线构件。拱结构的数值模型分析参数与第3节中相同。

　　 当拱结构的边界条件为面内铰接、面外刚接时,有限元的分析结果如图9所示(图中rp=EcAc/REI/R3)rp=EcAc/REΙ/R3)。

　　 图9 面内铰接点边界下单拱结构补强模型中 r_p与q_cr关系  

　　  

　　 由图9可知,当r_p大于1.19时,补强模型D屈曲荷载为固定值; 当r_p大于2.79时,补强模型E的屈曲荷载会高于补强模型D。从最终结果来看,补强模型DE的补强效果最好。这三种模型的最终屈曲模态如图10所示。对于补强模型DE,列举了其模型迁移过程中的几种形态,如图11所示。

　　 图10 单拱补强模型的最终屈曲模态 

　　  

　　 图11 补强模型DE的屈曲模态迁移 

　　  

　　 接下来分析拱结构边界条件为面内刚接点的情况,计算结果如图12所示。由图12可知,当r_p大于7.41时,补强模型D屈曲荷载为固定值; 当r_p大于35.78时,补强模型E的屈曲荷载会高于补强模型D。从最终结果来看,补强模型DE的补强效果最好。这三种模型的最终屈曲模态如图13所示。

　　 由图13可知,补强模型DE的杆件布置同时约束了补强模型D和E的面外屈曲模态,从而进一步提高拱结构的面外屈曲荷载。对于补强模型DE,列举了其模型迁移过程中的几种形态,如图14所示。

　　 图12 面内刚接点边界下单拱补强模型中 r_p与q_cr的关系 

　　  

4.2 交叉拱结构补强模型

　　 图15列举了作为分析对象的三种交叉拱结构的基本模型。此外,在这三种补强模型的基础上,又提出了两类结合基本模型的混合型的补强模型,如图16所示。

　　 首先分析未补强之前交叉拱结构的线性屈曲荷载和屈曲模态。交叉拱结构的有限元模型的单元选择、荷载类型和材料参数都和4.1节中相同。交叉拱的边界条件为铰接点。

　　 可得到前三阶屈曲荷载分别为1.16EI/R³,3.03EI/R³和4.67EI/R³。对应屈曲模态见图17。

　　 当交叉拱结构的边界为铰接时,补强模型F,G,H,FH和GH发生一阶屈曲的屈曲荷载q_cr与弹簧系数r_p之间的关系如图18所示。可以发现,补强模型F和G的屈曲荷载基本没有变化。同时比较补强模型H,FH和GH可以发现,当r_p低于30.57时,这三种补强模型的屈曲荷载很接近; 当r_p高于30.57时,补强模型FH增长相对最大,GH次之,H最小。同时此三种补强模型的最终屈曲荷载非常接近。

　　 图13 单拱补强模型的最终屈曲模态   

　　  

　　 图14 补强模型DE的屈曲模态迁移

　　  

　　 图15 交叉拱的三种基本补强模型   

　　  

　　 图16 两类混合型的补强模型  

　　  

　　 图17 铰接点边界下交叉拱的第一到第三阶屈曲模态  

　　  

　　 图18 铰接点边界下交叉拱结构补强模型中 r_p与q_cr的关系  

　　  

　　 图19 铰接点边界下交叉拱补强模型的最终屈曲模态 

　　  

　　 对比图17和图19可知, 补强模型F和G的屈曲模态与无补强的交叉拱结构的一阶屈曲模态非常相似,因此补强模型F和G没能约束屈曲模态的发生。补强模型H,FH和GH可对无补强拱结构的一阶和二阶的屈曲模型起到很好的约束效果,从而使得交叉拱结构往更高阶屈曲模态发生转变,进而提高屈曲荷载。

5 结论

　　 (1)提出了圆拱结构在补强条件下的圆拱-弹簧模型,利用圆拱结构在均布荷载下位移的广义解推导出该模型在铰接和刚接边界条件的屈曲控制方程。并利用有限元的线性屈曲分析方法验证了本文中推导的屈曲控制方程的有效性。

　　 (2)利用拱结构在未补强条件下的屈曲模型,通过约束拱结构的低级屈曲模型,可显著提高拱结构的屈曲荷载。同时补强后的拱结构屈曲模型会由面外失稳过渡到面内失稳的情况。而且补强后外荷载有上界,不能无限提高。

　　 (3)提出了三类单拱补强模型,分析出补强模型DE的补强效果最好,并列举其模型迁移过程中的几种形态。同时在三种交叉拱结构补强模型的基础上,又提出了两类结合基本类型的混合型的补强模型,并验证其合理性。