钢筋混凝土梁制造成本较低、施工工艺相对简单,是目前修建桥梁中主体结构类型应用最多的一种。在正常服役中,钢筋混凝土梁作为受弯构件带裂缝工作,在汽车荷载等循环荷载作用下其刚度、强度都会随着循环荷载次数的增大而降低,损伤会随循环荷载次数的增加而累积; 刚度、强度的降低以及损伤的增加发展到一定的程度会导致桥梁结构的破坏,并且这种破坏具有随机性和不可预见性。因此,受循环荷载作用的钢筋混凝土梁力学性能衰退问题己是桥梁结构防灾与减灾领域的突出问题 ^[1,2]。

　　 钢筋混凝土梁刚度可以根据挠度反算得到,而挠度测试简单且操作性也强。所以,针对疲劳刚度退化进行的试验也比较多,但是成果主要集中在退化现象的描述,对疲劳刚度退化规律的研究还不太充分。众所周知,疲劳荷载下钢筋混凝土梁的剩余承载力试验是破坏性试验,研究其退化规律需制备大量的构件,要耗费较多人力、物力与财力,并且得到数据很有限。钢筋混凝土梁刚度退化和承载力退化都可以反映结构的损伤状况。如果得到疲劳刚度退化规律并将其作为结构损伤状况的量化指标,挖掘出基于疲劳刚度的损伤与基于剩余承载力的损伤之间的关联,则钢筋混凝土梁在疲劳荷载作用下剩余承载力及其退化规律的研究不但简单易行而且可节约大量的人财成本。所以,本文以汤红卫 ^[3]试验数据为依据,研究了梁的刚度变化规律,在此基础之上提出了基于刚度退化的钢筋混凝土梁承载力退化模型。

　　 钢筋混凝土梁正常工作时带有裂缝,其截面属于两种材料组成的复合截面,抗弯刚度并非常数,计算时必须考虑几何非线性和材料非线性。根据材料力学,可计算短期荷载下梁跨中挠度f:

　　 $f=\alpha \frac{{\rm M}L{}^2}{B{}_{\text{s}}}(1)$

　　 式中:α为梁的挠度系数,与支撑、荷载等有关; M为梁跨中截面最大弯矩; L为梁的计算跨径; B_s为梁的抗弯刚度。

　　 截面有效惯性矩通过钢筋与混凝土两种材料弹性模量的换算将复合材料截面等效换算成匀质材料截面,再建立刚度计算表达式。换算如下:将纵向主筋截面换算成假想的能受同等拉力的混凝土截面,如图1所示,并假定:1)虚设混凝土块依然位于钢筋重心处而且混凝土的拉应变与钢筋的拉应变一样; 2)虚设混凝土块承担的内力与钢筋承担的内力相同。

　　 如果受拉主筋截面面积为A_s,则换算后为α_ESA_s,其中α_ES=E_s/E_c,其中E_s,E_c分别为钢筋与混凝土的弹性模量,那么换算后整个截面的总面积A为:

　　 $A=bh+(\alpha {}_{\text{E}\text{S}}-1)A{}_{\text{s}}(2)$

　　 根据拉压区对中性轴静矩相等原则,可以得到:

　　 $\frac{1}{2}bx{}_0{}^2=\alpha {}_{\text{E}\text{S}}A{}_{\text{s}}(h{}_0-x{}_0)+\frac{1}{2}b(h-x{}_0){}^2(3)$

　　 求解式(3)得受压区高度x₀为:

　　 $x{}_0=\frac{\alpha {}_{\text{E}\text{S}}A{}_{\text{s}}h{}_0+\frac{1}{2}bh{}^2}{\alpha {}_{\text{E}\text{S}}A{}_{\text{s}}+bh}(4)$

　　 截面抗弯惯性矩I₀为:

　　 ${\rm I}{}_0=\frac{1}{3}bx{}_0{}^3+(\alpha {}_{\text{E}\text{S}}-1)A{}_{\text{s}}(h{}_0-x{}_0){}^2+\frac{1}{3}b(h-x{}_0){}^3(5)$

　　 式中h₀为受拉主筋的重心位置到受压混凝土边缘高度。

　　 因此,开裂前截面刚度B₀为:

　　 $B{}_0=E{}_{\text{c}}{\rm I}{}_0(6)$

　　 钢筋混凝土梁正常工作时带有裂缝,其刚度在开裂前最大、受拉混凝土完全停止工作时最小,若开裂前刚度为E_cI₀,受拉混凝土完全停止工作时刚度为E_cI_cr(I_cr为开裂后惯性矩),上述基于截面有效惯性矩理论的计算刚度应该在E_cI₀～E_cI_cr范围内。正常服役中梁受拉混凝土并未完全退出工作,精确计算截面惯性矩比较困难。因此为考虑裂缝对刚度影响,在开裂前刚度E_cI₀基础上引入刚度折减系数α_z来计算开裂后的截面刚度B_s1:

　　 $B{}_{\text{s}1}=\alpha {}_{\text{z}}E{}_{\text{c}}{\rm I}{}_0(7)$

　　 根据式(5),(7),梁刚度计算表达式可写为:

　　 $B{}_{\text{s}1}=\alpha {}_{\text{z}}E{}_{\text{c}}\left[\frac{1}{3}bx{}_0{}^3+(\alpha {}_{\text{E}\text{S}}-1)A{}_{\text{s}}(h{}_0-x{}_0){}^2+\frac{1}{3}b(h-x{}_0){}^3\right](8)$

　　 《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010) ^[4](简称混规)中带裂缝的钢筋受弯混凝土矩形梁的短期刚度B_s2为:

　　 $B{}_{\text{s}2}=\frac{E{}_{\text{s}}A{}_{\text{s}}h{}_0^2}{1.15\phi +0.2+6\alpha {}_{\text{E}\text{S}}\rho }(9)$

　　 式中:φ为纵向主筋应变不均匀系数,依据混规第7.1.2条确定; ρ为纵筋的配筋率,ρ=A_s/bh${}_0^2$。

　　 采用汤红卫 ^[3]试验数据对基于截面有效惯性矩的刚度计算表达式(式(8))以及基于混规的刚度计算表达式(式(9))进行了分析与验证。汤红卫 ^[3]试验中制备了7片钢筋混凝土矩形截面梁,其尺寸、断面和钢筋配置如图2所示。

　　 由试验测得的混凝土弹性模量E_c与钢筋弹性模量E_s分别为3.2×10⁴,1.876×10⁴MPa。其试验用四分点进行加载,L-1～L-3梁做静载试验,取3组数据平均值后可得到梁的开裂荷载为14.87kN、极限荷载为79.62kN。L-4～L-9梁做疲劳试验,具体试验参数为:最大荷载水平(加载下限/加载上限)0.8,频率5Hz,应力比0.1。试验前先预加载,即荷载从零逐步增加至疲劳荷载平均值25kN之后再进行疲劳试验。

　　 首先由式(4)得到开裂之前混凝土的受压高度为103.9mm,再通过式(5)得到开裂前截面抗弯惯性矩为0.859 3×10⁸mm⁴,然后由式(6)得到开裂前刚度为2.750×10¹²N·mm²。对L-4～L-9梁第一次静力加载下的数据用考虑裂缝影响的截面刚度计算表达式(式(7))进行线性回归分析可得α_z=0.240 2。根据式(9)对各梁的短期刚度B_s2进行计算,其中,A_s=226.08mm²,h₀=175mm,φ=1.0,α_ES=5.862 5,ρ=0.010 77。

　　 表1为由试验所得刚度B_exp ^[2]与基于截面有效惯性矩的截面刚度B_s1和基于混规的短期刚度B_s2对比。由表1可知,试验数据与基于截面有效惯性矩得到的计算刚度吻合度较好; 基于混规得到的短期刚度比试验数据偏大。在试验设计中梁的尺寸一样,所以结果具有局限性,普遍性不强。通过试验得到的钢筋混凝土梁截面刚度计算表达式为:

　　 $\begin{array}{l}B{}_{\text{s}1}=0.2402E{}_{\text{c}}[\frac{1}{3}bx{}_0{}^3+(\alpha {}_{\text{E}\text{S}}-1)A{}_{\text{s}}(h{}_0-x{}_0){}^2+\\ \frac{1}{3}b(h-x{}_0){}^3]\end{array}$

　　 因此,按式(1)、式(8)得到静载下钢筋混凝土梁跨中挠度f:

　　 $f=\alpha \frac{{\rm M}L{}^2}{\alpha {}_{\text{z}}E{}_{\text{c}}\left[\frac{1}{3}bx{}_0{}^3+(\alpha {}_{\text{E}\text{S}}-1)A{}_{\text{s}}(h{}_0-x{}_0){}^2+\frac{1}{3}b(h-x{}_0){}^3\right]}(10)$

　　 疲劳荷载作用于钢筋混凝土梁时,其材料性能衰减、变形逐步增大、刚度慢慢减小,且变形(或刚度)随着循环次数的增加呈现单调增大(或减小)。所以,本文将受到疲劳荷载之后进行静力加载得到的梁刚度定义为疲劳刚度。研究梁的疲劳刚度,最关键是研究其退化规律。

　　 假定钢筋混凝土梁受到疲劳荷载时结构的初始刚度为B_s(可取B_s1),破坏刚度为B_Nr,那么整个过程中刚度共损失了B_s-B_Nr。如果梁的刚度按照与疲劳寿命比有关的函数η(n/N)发生退化,则循环加载n次时梁刚度B_nr为:

　　 $B{}_{\text{n}\text{r}}=B{}_{\text{s}}-(B{}_{\text{s}}-B{}_{\text{Ν}\text{r}})\eta (n/{\rm N})(11)$

　　 将式(11)两边同时除以B_s,即:

　　 $B{}_{\text{n}\text{r}}/B{}_{\text{s}}=1-(1-B{}_{\text{Ν}\text{r}}/B{}_{\text{s}})\eta (n/{\rm N})(12)$

　　 式中η(n/N)为刚度退化函数。

　　 式(11),(12)即为钢筋混凝土梁受到疲劳荷载作用时的刚度计算公式,其中初始刚度B_s可基于试验通过测量挠度进行反算得到或基于截面有效惯性矩理论的方法进行计算。破坏刚度B_Nr可基于试验通过测量挠度进行反算得到。所以,要得到梁的疲劳刚度,关键在于确定刚度退化函数η(n/N)。

　　 按照目前研究成果,钢筋混凝土梁疲劳刚度退化函数B需要满足以下条件 ^[5,6]:

　　 (1)在受到疲劳荷载之前钢筋混凝土梁未损伤,也就是说当n/N=0时,梁的刚度退化函数η(n/N)=0,这时梁的刚度即为初始刚度B_s。

　　 (2)钢筋混凝土梁在破坏时损伤最大,也就是说当n/N=1时,梁的刚度退化函数η(n/N)=1,这时梁的刚度即为破坏刚度B_Nr。

　　 (3)钢筋混凝土梁的刚度在疲劳初期、构件接近破坏阶段下降较快,而中间较长时间基本呈线性退化,刚度退化曲线符合S形形态。

　　 符合前两个条件的函数构造较容易,但满足第3个条件的函数选取难度较大。经过不断尝试,选择了函数如下:

　　 $\eta (n/{\rm N})=1-\left(1-\frac{n}{{\rm N}}\right){}^u(13)$

　　 廉伟 ^[7]在研究复合材料刚度时采用的刚度退化函数,得到了不错的效果:

　　 $\eta (n/{\rm N})=1-\frac{1-\left(\frac{n}{{\rm N}}\right){}^u}{\left(1-\frac{n}{{\rm N}}\right){}^v}(14)$

　　 将式(13)与式(14)代入式(12)后,可得:

　　 $\begin{array}{l}\frac{B{}_{\text{n}\text{r}}}{B{}_{\text{s}}}=1-\left(1-\frac{B{}_{\text{Ν}\text{r}}}{B{}_{\text{s}}}\right)\left[1-\left(1-\frac{n}{{\rm N}}\right){}^u\right](15)\\ \frac{B{}_{\text{n}\text{r}}}{B{}_{\text{s}}}=1-\left(1-\frac{B{}_{\text{Ν}\text{r}}}{B{}_{\text{s}}}\right)\left[1-\frac{1-\left(\frac{n}{{\rm N}}\right){}^u}{\left(1-\frac{n}{{\rm N}}\right){}^v}\right](16)\end{array}$

　　 可知,要研究钢筋混凝土梁的疲劳刚度退化情况,关键在于确定选取的退化函数参数值。

　　 使用汤红卫 ^[3]试验数据对式(15),(16)采用Origin软件进行了拟合,所取用的试验数据如表2所示。拟合曲线见图3(N_f为疲劳寿命)。拟合得到的刚度退化函数参数见表3。式(15)中参数u的拟合平均值为1.779 1,式(16)中参数u的拟合平均值为0.485 6,参数v的拟合平均值为0.173 8,则式(15),(16)可以写为:

　　 $\begin{array}{l}\frac{B{}_{\text{n}\text{r}}}{B{}_0}=1-\left(1-\frac{B{}_{\text{Ν}\text{r}}}{B{}_0}\right)\left[1-\left(1-\frac{n}{{\rm N}}\right){}^{1.7791}\right](17)\\ \frac{B{}_{\text{n}\text{r}}}{B{}_0}=1-\left(1-\frac{B{}_{\text{Ν}\text{r}}}{B{}_0}\right)\left[1-\frac{1-\left(\frac{n}{{\rm N}}\right){}^{0.4856}}{\left(1-\frac{n}{{\rm N}}\right){}^{0.1738}}\right](18)\end{array}$

　　 分析计算过程可知:式(15)中只有一个参数,拟合相对简单,拟合得到的精度平均值R²=0.888 2; 式(16)中刚度退化函数参数拟合精度平均值R²=0.978 1。在分析计算过程中还发现,式(16)中参数u能反映退化曲线初始阶段的退化量及退化速率,参数v反映临近破坏时退化量及退化速率,中间阶段退化速率可以用参数与u和参数v来共同描述,通过改变参数u和参数v来反映不同类型刚度退化规律,因此,式(16)更能准确地描述刚度退化规律 ^[8]。

　　 结构的刚度退化外在反映了梁的损伤情况,而疲劳过程中的刚度可以通过测试挠度再经过反算得到,简单易行。为此,将钢筋混凝土梁疲劳刚度作为判定梁损伤的指标,在上述提出的疲劳刚度计算表达式基础之上,建立了疲劳刚度与梁结构损伤之间的关系式。

　　 参考廉伟 ^[7]提出的复合材料刚度与结构损伤关系,可将钢筋混凝土梁疲劳损伤的程度用以下规律表征:

　　 $D{}_{\text{B}}=\frac{B{}_{\text{s}}-B{}_{\text{n}\text{r}}}{B{}_{\text{s}}-B{}_{\text{Ν}\text{r}}}(19)$

　　 式中D_B为利用刚度定义的损伤变量,D_B∈[0,1]。

　　 和刚度情况相似,结构的承载力退化也外在反映了梁的损伤情况,即可认为梁的承载力退化是结构损伤的另一种表现方式。参考FONG ^[9]的损伤研究成果,本文得到3点假定:1)在疲劳加载过程中材料产生损伤,致使构件刚度和承载力两者都发生了下降; 2)随循环次数增大,损伤逐渐累积,此过程不可逆,则构件刚度和承载力一直单调下降; 3)同一疲劳时刻,内在损伤相同,其损伤值应该唯一,但是构件刚度与承载力这两个外在表现形式不同,所以,构件刚度和承载力必存在一确定关系。

　　 基于以上3点假定,参照用刚度定义的疲劳损伤,可将基于承载力的疲劳损伤定义如下:

　　 $D{}_{\text{S}}=\frac{S{}_0-S{}_{\text{n}\text{r}}}{S{}_0-S{}_{\text{Ν}\text{r}}}(20)$

　　 式中:D_S为利用承载力定义的损伤变量,D_S∈[0,1]; S₀为构件的初始承载力; S_nr为经过n次加载后的构件承载力; S_Nr为构件破坏时,即n=N_f时的承载力。

　　 由承载力定义的损伤也可表述为疲劳寿命比的函数,设其为g(n/N),即:

　　 $D{}_{\text{S}}=\frac{S{}_0-S{}_{\text{n}\text{r}}}{S{}_0-S{}_{\text{Ν}\text{r}}}=g(n/{\rm N})(21)$

　　 将式(21)进行正则化,变成与式(16)同样的形式:

　　 $\frac{S{}_{\text{n}\text{r}}}{S{}_0}=1-\left(1-\frac{S{}_{\text{Ν}\text{r}}}{S{}_0}\right)g(n/{\rm N})(22)$

　　 分析发现,与刚度退化函数相同,承载力退化函数S满足边界条件:1)构件在受到疲劳荷载前未损伤,即n/N=0时,函数g(n/N)=0,此时的承载力为初始承载力,用S₀表示,通过静载试验、数值计算或理论分析等方式获得; 2)构件破坏时损伤最大,即n/N=1时,函数g(n/N)=1,承载力退化为S_Nr,计算时可取构件破坏的试验加载最大值,即S_Nr=M_max。

　　 对比发现,由刚度定义的损伤D_B与承载力定义的损伤D_S有如下共同特性:1)D_B与D_S范围值都为[0,1]; 2)D_B与D_S疲劳初始值都为0,破坏时值都为1; 3)D_B与D_S在[0,1]上都是单调增函数。根据第3条特性,可将这两个损伤之间的关系做如下定义:

　　 $D{}_{\text{S}}=(D{}_{\text{B}}){}^w(23)$

　　 将式(19),(21)带入(23)得到:

　　 $\frac{S{}_0-S{}_{\text{n}\text{r}}}{S{}_0-S{}_{\text{Ν}\text{r}}}=\left(\frac{B{}_{\text{s}}-B{}_{\text{n}\text{r}}}{B{}_{\text{s}}-B{}_{\text{Ν}\text{r}}}\right){}^w(24)$

　　 将式(24)进行处理即为:

　　 $S{}_{\text{n}\text{r}}=S{}_0-(S{}_0-S{}_{\text{Ν}\text{r}})\left(\frac{B{}_0-B{}_{\text{n}\text{r}}}{B{}_0-B{}_{\text{Ν}\text{r}}}\right){}^w(25)$

　　 先将式(16)进行简单变换:

　　 $\frac{B{}_0-B{}_{\text{n}\text{r}}}{B{}_0-B{}_{\text{Ν}\text{r}}}=1-\frac{1-\left(\frac{n}{{\rm N}}\right){}^u}{\left(1-\frac{n}{{\rm N}}\right){}^v}(26)$

　　 将式(26)在带入式(25)中,得到:

　　 $\begin{array}{l}S{}_{\text{n}\text{r}}=S{}_0-(S{}_0-S{}_{\text{Ν}\text{r}})\left(1-\frac{1-\left(\frac{n}{{\rm N}}\right){}^u}{\left(1-\frac{n}{{\rm N}}\right){}^v}\right){}^w(27)\\ \frac{S{}_{\text{n}\text{r}}}{S{}_0}=1-\left(1-\frac{S{}_{\text{Ν}\text{r}}}{S{}_0}\right)\left(1-\frac{1-\left(\frac{n}{{\rm N}}\right){}^u}{\left(1-\frac{n}{{\rm N}}\right){}^v}\right){}^w(28)\end{array}$

　　 式(27)或式(28)即为本文建立的钢筋混凝土梁基于疲劳刚度退化的承载力退化模型。运用该模型,可依据刚度退化规律得到钢筋混凝土梁的承载力退化程度。

　　 通过钢筋混凝土梁的疲劳刚度试验,刚度退化函数中的参数u,v比较容易确定。承载力退化模型中的参数u,v取值可与刚度退化函数中一样,寿命比对构件刚度和承载力的不同影响可用一个关键参数w进行反映,其最少可通过一个剩余承载力试验点确定,也降低试验工作量和费用。

　　 利用建立的基于疲劳刚度退化的承载力退化模型对L-4～L-9梁进行承载力退化分析。由极限荷载79.62kN可知,L-4～L-8梁最大荷载为54kN,L-9梁最大荷载为60kN,计算得到梁的初始承载力S₀=23.886kN·m,L-4～L-8梁最大承载力S_Nr=16.2kN·m,L-9梁最大承载力S_Nr=18kN·m。因汤红卫 ^[3]没有进行疲劳承载力试验,因此计算模型(27)或模型(28)中参数w按照罗小勇 ^[10]在梁疲劳承载力研究时的试验数据确定,其中试验加载上限值为68.3MPa,疲劳寿命为305万次,循环加载200万次后进行静载破坏试验,测得极限承载力为137.2MPa,平行梁静载极限承载力S₀=161.4MPa,经过计算得到w=0.694 3。

　　 按式(27)得到的L-4～L-9梁疲劳承载力退化见图4(a)。按式(28)得到L-4～L-9梁的相对初始承载力退化规律如图4(b),(c)所示。

　　 由图4可知:1)当循环开始,梁的承载力等于初始承载力,即23.886kN·m; 当达到疲劳寿命时,剩余承载力衰减到试验破坏加载的最大值,L-4～L-8梁承载力为16.2kN·m,L-9梁承载力为18kN·m,并与承载力退化边界条件相符合。2)梁的承载力在疲劳初期、构件接近破坏阶段下降较快,而中间较长时间基本呈线性退化,并与刚度的衰减较为一致,退化曲线呈现为S形形态。

　　 (1)基于截面有效惯性矩理论并考虑刚度折减得到了静载作用下钢筋混凝土梁的短期刚度计算表达式; 利用汤红卫 ^[9]试验数据,将其刚度计算结果与基于混规的短期刚度计算结果和试验值进行了对比分析。 结果表明:基于截面有效惯性矩理论的计算刚度与试验值吻合得更好。

　　 (2)将基于截面有效惯性矩理论得到的静载短期刚度作为疲劳荷载作用下梁的初始刚度,通过选择退化函数、采用数据拟合确定了函数参数,最后建立了疲劳荷载作用下的刚度退化计算公式。结果表明建立的公式能很好地描述钢筋混凝土梁在疲劳荷载作用下的刚度退化规律。

　　 (3)以疲劳损伤作为纽带,通过挖掘基于刚度的损伤和基于承载力的损伤之间的内在关联,建立了疲劳荷载作用下钢筋混凝土梁基于刚度退化的承载力退化模型。结果表明,承载力在疲劳初期、构件接近破坏阶段下降较快,而中间较长时间基本呈线性退化,并与刚度的衰减较为一致,退化曲线都呈S形形态; 通过建立疲劳承载力退化模型,可以用最少量剩余承载力破坏性试验,实现疲劳后钢筋混凝土梁承载力退化规律的准确、快速、有效预测。