0 引言

　　 单摆式调谐质量阻尼器(Pendulum Tuned Mass Damper, PTMD)一般包括提供刚度的摆绳、质量单元和阻尼单元。在外界激励(风荷载、地震等)作用下,主结构在产生动力响应时,PTMD通过质量单元对主结构施加的反向惯性力以控制其振动,并通过自身的阻尼单元耗散振动能量。PTMD的自振频率可容易地通过改变摆绳的长度进行调节,且当PTMD的频率调谐至与主结构的自振频率或瞬时振动频率一致时,PTMD能够起到良好的振动控制作用 ^[1]。然而,主结构的设计频率值由于分析和建造过程中的误差可能与实际值存在偏差 ^[2]; 主结构在正常使用过程中会由于累积损伤、使用功能改变等原因发生自振频率的变化,这些都会削弱PTMD的减振作用 ^[3]。同时,当外界动力荷载的频率偏离PTMD的自振频率时,PTMD甚至可能有放大主结构动力响应的负作用,即传统的PTMD有难以调节频率和减振频带狭窄的缺陷 ^[4]。

　　 为改善传统PTMD的不足,不同学者提出了不同的新型TMD(Pendulum Tuned Mass Damper)。孙万泉等 ^[5]提出了一种基于形状记忆合金的半主动TMD来对建筑结构进行自适应控制。Roffel等 ^[6]对频率失调的PTMD提出了一种自适应补偿方式。Li等 ^[7]利用一种混合主动TMD来控制主结构在地震下的动力响应。Nagarajaiah等 ^[8]基于短时傅里叶变换提出了一种半主动变刚度TMD及控制算法来控制风振敏感建筑的动力响应。Sun等 ^[9]提出了一种可同时实时改变TMD刚度和阻尼的半主动TMD来进行消能减震。

　　 本文提出了一种新型的自变频单摆式调谐质量阻尼器(Semi-Active Pendulum Tuned Mass Damper, SA-PTMD),SA-PTMD主要包括摆绳、质量块、阻尼器和用于实时调节摆长的伺服控制系统。它是用一个加速度计实时测量主结构顶部水平向的加速度响应,作为控制中枢的单片机电路板在采集该加速度信号后,对其进行Hilbert-Huang变换分解,计算出主结构的瞬时振动频率,然后通过实时操控步进电机的运作实现摆长(及刚度)的实时调节。本文介绍SA-PTMD的组成形式及基于Hilbert-Huang变换的控制算法,然后以一个数值算例验证其可行性。

1 原理分析

1.1 频率识别

　　 Hilbert-Huang变换(Hilbert-Huang Transform, HHT)在处理非线性、非平稳信号中有着广泛的应用,是由经验模式分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)和Hilbert变换(Hilbert Transform, HT)两部分组成 ^[10]。对于已采集得到的信号x(t),HHT首先通过EMD对其进行经验模态分解,得到若干阶能够满足HT基本条件的本征模态函数,以通过HT构建解析信号。此时,对分解得到的瞬时相位进行求导等运算,即可识别出主结构的瞬时振动频率 ^[11]。

　　 对x(t)进行HT后得x˜x˜(t):

　　 x˜(t)=HT[x(t)]=1πP∫∞−∞x(τ)t−τdτ         (1)x˜(t)=ΗΤ[x(t)]=1πΡ∫-∞∞x(τ)t-τdτ         (1)

　　 式中:P为柯西主分量; τ为积分时间步长。

　　 记瞬时幅值A(t)为:

　　 A(t)=[x2(t)+x˜2(t)]12         (2)A(t)=[x2(t)+x˜2(t)]12         (2)

　　 记瞬时相位θ(t)为:

　　 θ(t)=arctan(x˜(t)x(t))         (3)θ(t)=arctan(x˜(t)x(t))         (3)

　　 则解析信号Y(t)可构建为:

　　 Y(t)=x(t)+ix˜(t)=A(t)eiθ(t)         (4)Y(t)=x(t)+ix˜(t)=A(t)eiθ(t)         (4)

　　 主结构的瞬时频率ω(t)为:

　　 ω(t)=dθ(t)/dt         (5)ω(t)=dθ(t)/dt         (5)

1.2 动力方程

　　 本文主要研究SA-PTMD对主结构的风振控制作用。在风荷载F(t)作用下,加设SA-PTMD的主结构动力分析简图见图1; 其中,m_p为主结构质量,m_s为TMD质量,u_p为主结构位移,u_s为TMD位移,k_p为主结构刚度,k_s(t)为TMD时变刚度,c_p为主结构阻尼,c_s为TMD阻尼。

　　 图1 加设SA-PTMD的单自由度主结构动力分析简图  

　　 该双自由度动力系统的动力学方程为:

　　 (mp00ms)(u⋅⋅pu⋅⋅s)+(cp+cs−cs−cscs)(u˙pu˙s)+(kp+ks(t)−ks(t)−ks(t)ks(t))(upus)=(F(t)0)         (6)(mp00ms)(u⋅⋅pu⋅⋅s)+(cp+cs-cs-cscs)(u˙pu˙s)+(kp+ks(t)-ks(t)-ks(t)ks(t))(upus)=(F(t)0)         (6)

　　 式中:u˙pu˙p为主结构速度;u⋅⋅pu⋅⋅p为主结构加速度;u˙su˙s为TMD速度;u⋅⋅su⋅⋅s为TMD加速度。

　　 根据变频率算法实时改变k_s(t),在风荷载F(t)作用下,本文采用线性加速度法编程求解动力学方程式(6)得到主结构风振下的加速度和位移响应。

2 SA-PTMD的工作原理

2.1 SA-PTMD模型

　　 根据1.1节所述的瞬时频率识别方法,伺服控制系统应包括一个加速度传感器、单片机电路板和用于改变摆长的步进电机。安装PTMD的建筑结构一般较为高柔,一阶频率往往占主导地位,故可简化为单自由度模型进行分析 ^[8,12]。因此,一种合理的SA-PTMD模型如图2所示。

　　 图2中,加速度传感器安装于主结构一阶模态响应最大的顶层处,以实时测量采集主结构的加速度响应。PTMD的单摆缠绕在步进电机上。加速度传感器将主结构的瞬时振动响应实时输入到单片机电路板后,在单片机中利用HHT识别得主结构的瞬时频率f_i,也即SA-PTMD应调节至的瞬时频率,对应的摆长L₁=g/(4π²f_i²),其中g为重力加速度,然后启动步进电机实时进行摆长的调节。

　　 图2 SA-PTMD模型图  

　　 在工程应用中,可将图2中的加速度传感器安装于高层建筑结构顶层的侧向,阻尼器可采用在工程中较为广泛应用的黏滞阻尼器。为方便快捷地调节摆绳长度,可将质量块同时缠绕于多个步进电机上,并控制各个摆长相同。此时在进行半主动变摆长调节时,所有的步进电机在控制电路板的操控下同时同步调节相同的长度,以完成SA-PTMD的变刚度控制。

2.2 控制算法

　　 SA-PTMD是在传统的被动式PTMD中增加了摆绳(即刚度)的半主动控制功能,因此SA-PTMD的质量块、摆绳的原始长度和黏滞阻尼器等部分可参照传统的PTMD进行设计。步进电机根据式(7)实时调节摆绳的长度,在每一次的调节间隔中,需要利用上一时间步的摆长来求得摆长差值,进行摆绳的伸长或者缩短调节。因此,控制电路板即算法中需先烧入PTMD的摆长初始值L₀。在第一个时间步中,电路板根据式(1)～(6)计算得应调节至的摆长L₁后,会在程序中将L₁覆盖L₀作为下个时间步调节的参考长度。

　　 由于构造限制,SA-PTMD的调节幅度是有限的。因此,程序中预先输入主结构的自振频率f_p,以调频范围为50%为例,当由HHT识别得到的瞬时频率在[0.5f_p,1.5f_p]范围内时,调节SA-PTMD至识别得到的频率; 当识别得到的频率超出该范围时,则调节SA-PTMD的频率为f_p。SA-PTMD的工作流程图如图3所示。

　　 图3 SA-PTMD工作流程图  

3 数值模拟

　　 文献[8]指出,在现有硬件技术下,半主动控制的响应时间已能做到非常短暂,可不考虑可能存在的时滞效应。因此,在本节的数值模拟中,未考虑SA-PTMD时滞效应,认为SA-PTMD能够进行实时调节。

3.1 参数设置及模拟工况

　　 利用MATLAB中的Simulink模块进行数值模拟。图2中模型结构的质量设为1 000kg,自振频率设计值为1.0Hz,阻尼比为1%。SA-PTMD质量块质量为10kg,摆绳的初始长度设为0.176m,即初始频率为1.2Hz,与主结构有20%的频率偏差。以SA-PTMD的可调频范围50%为例,则当由HHT识别得的瞬时频率在[0.5Hz,1.5Hz]范围内时,SA-PTMD实时调节自身频率至由HHT计算得到的瞬时频率; 若识别频率不在[0.5Hz,1.5Hz]范围内,SA-PTMD则调节摆长至自振频率为1.0Hz。

　　 为验证SA-PTMD频率识别及对主结构的减振作用,3.2节首先进行简谐激励的对比分析。PTMD主要应用于高层建筑结构的风振控制中 ^[13],因此,3.3节又对主结构施加了脉动风激励,以进一步检验SA-PTMD的减振效果。

3.2 简谐激励振动模拟

　　 为验证SA-PTMD的减振效果,针对3.1节中1.0Hz的模型结构,首先施加1.0Hz的谐振激励,对比无TMD,PTMD,SA-PTMD控制下主结构的加速度和位移响应。

　　 其中,主结构的瞬时频率变化如图4所示。由图4可见,在最初的2s内,由于动力系统还不稳定,识别得到的频率有较大的变化,但快速稳定至激励的1.0Hz。在1.0Hz共振频率的简谐激励作用下,无TMD,PTMD,SA-PTMD控制下的主结构加速度和位移响应对比如图5所示。

　　 图4 1.0Hz谐振激励下主结构瞬时频率

　　 由图5可见,相比无TMD和PTMD,SA-PTMD控制下的结构加速度和位移响应幅值均有明显减小。这说明当PTMD频率偏离结构的自振频率时,SA-PTMD能实时调节自身频率以取得更好的减振效果。

　　 为验证SA-PTMD在整个频带内的减振效果,做出结构的加速度及位移响应谱,如图6所示。

　　 将图5及图6的结构响应峰值及最大动力放大系数汇总,并进行SA-PTMD的改良率计算,结果如表1所示。表1中,峰值指的是该1 000kg 主结构在1.0Hz的谐振激励下的响应最大值,最大放大系数是指当将主结构质量归一化为单位1时,在不同频率的简谐激励下,响应的最大值。

　　 图5 1.0 Hz谐振激励下主结构响应对比图  

　　 图6 结构响应谱对比  

　　 图7 脉动风时程及功率谱  

　　 由图6和表1可见,在整个简谐激励频带内,相比无TMD和PTMD,无论加速度响应还是位移响应,SA-PTMD均有最好的减振效果。这说明SA-PTMD能够有效改良传统PTMD频率难以调节和减振频带狭窄的缺陷。

　　 简谐激励下结构振动响应对比 表1

　　 注:对于无TMD,改良率的计算公式为:[(无TMD-SA-PTMD)/无TMD]×100%; 对于PTMD,改良率的计算公式为:[(PTMD-SA-PTMD)/PTMD]×100%; 表3同。

3.3 脉动风激励振动模拟

　　 线性白噪声ARMA模型在模拟脉动风中有着广泛的应用,且模型的精度和稳定性也好 ^[14]。为对比SA-PTMD对主结构风振的减振作用,本节利用ARMA模型模拟出一种脉动风,脉动风模拟基本参数见表2。

　　 脉动风模拟基本参数 表2

　　 以第10点脉动风为例进行分析,其风速时程曲线和功率谱如图7所示。由图7可见,模拟的脉动风的模拟功率谱与目标功率谱吻合良好,说明可以以此脉动风作为模拟的脉动风激励。在该脉动风作用下,SA-PTMD工况控制下的主结构的瞬时频率如图8所示。

　　 图8 脉动风激励下主结构瞬时频率  

　　 由图8可见,在脉动风作用下,结构的瞬时频率在预设的[0.5Hz,1.5Hz]范围内变化,且是以结构的自振频率1.0Hz为基线上下波动的。

　　 由于时程响应峰值具有较大的离散性,而整体均方根值(Root Mean Square, RMS)能较好地评估结构的整体振动水平。故以模型结构加速度和位移响应的峰值和RMS值作为评估指标。三种工况下模型结构的加速度和位移响应对比如图9所示。

　　 由图9可见,相比无TMD和PTMD工况,SA-PTMD工况控制下的结构加速度和位移响应幅值均有明显减小。模型结构的加速度和位移响应的峰值、RMS值及SA-PTMD的改良率如表3所示。

　　 脉动风激励下结构响应对比 表3 

　　 图9 脉动风激励下结构响应对比图  

　　 由表3可见,SA-PTMD控制下模型结构的加速度和位移响应的峰值及RMS值均有明显减小,且SA-PTMD对主结构加速度的改良率大于对主结构位移的改良率。

4 结论

　　 (1)提出了一种半主动控制的自变频单摆式TMD(SA-PTMD)。首先使用Hilbert-Huang变换(HHT)分解计算得到主结构的瞬时频率,然后通过步进电机实时调节PTMD的摆绳长度,以调节其自振频率与主结构的瞬时频率相近。

　　 (2)在不同频率的简谐激励激振下,相比无TMD和PTMD,SA-PTMD能有效降低模型的加速度和位移响应。

　　 (3)在利用ARMA模型生成的脉动风激励作用下,相比TMD和PTMD,SA-PTMD能够同时降低主结构加速度和位移响应的峰值和RMS值。

　　 (4)SA-PTMD有效改进了传统的被动PTMD对频率调谐敏感的缺陷,能够减小建筑结构在风振下的动力响应,提高建筑结构舒适度和安全性,有实际工程应用的潜力。