钢筋混凝土板式楼梯考虑踏步作用的挠度计算及设计建议

引用文献：

许晓梁. 钢筋混凝土板式楼梯考虑踏步作用的挠度计算及设计建议[J]. 建筑结构，2020，50（13）：30-37.

XU Xiaoliang. Deflection calculation and design suggestions for reinforced concrete slab stairs considering the effect of steps[J]. Building Structure，2020,50（13）：30-37.

作者：许晓梁

单位：同济大学建筑设计研究院(集团)有限公司

摘要：对于钢筋混凝土板式楼梯考虑踏步作用的现有研究,均是建立在理想匀质弹性材料的基础上,其适用性尚缺乏全面的非线性有限元分析验证。以踏步单元为研究对象,根据应力扩散假定及应变能等效原则,推导了梯板等效厚度理论公式。利用ABAQUS软件进行了非线性有限元分析,验证了等效厚度理论公式对于钢筋混凝土材料是适用的。经与有限元计算结果对比,表明理论公式具有很高的精度并略偏于安全。实际工程中,可以利用该公式进行挠度计算,使楼梯设计更为合理。

关键词：板式楼梯应力扩散应变能等效厚度跨厚比

作者简介：许晓梁,硕士,高级工程师,一级注册结构工程师,Email:12XXL@tjad.cn。

基金：

0 引言

　　图1 板式楼梯示意图

　　钢筋混凝土板式楼梯是一种常见的楼梯形式,如图1所示。工程设计中,若不考虑楼梯踏步的作用,其挠度往往难以满足《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010) ^[1](简称混凝土规范)的要求。当梯板厚度取其水平投影长度的1/30～1/25 ^[2]时,往往只进行配筋设计,而不做挠度验算。然而这种经验方法缺少定量计算,难以合理地处理超常规跨度、超大附加荷载或超高强度钢筋的楼梯设计问题。因此,有必要研究板式楼梯考虑踏步作用的挠度计算方法。

　　目前的理论和试验研究均表明,踏步的存在会提高楼梯的刚度,挠度计算时可以将梯板等效为等厚度的斜板。肖芝兰等 ^[3,4]根据广义位移计算的一般公式推导了弹性齿状简支梁的挠度计算方法,建议梯板等效厚度取踏步齿形心至梯板底面的垂直距离;熊进刚等 ^[5,6]基于假定的截面应力分布,根据弹性材料抗弯刚度相等和应变能相等的原则,提出梯板等效厚度取原始厚度的1.12倍,并进行了试验研究;曾庆响等 ^[7]考虑不同跨高比和踏步尺寸等因素进行了试验试件设计,探讨了试验梯段的破坏和变形特征,对比分析了挠度试验实测值和按混凝土规范方法计算的计算值,建议梯板等效厚度可在原梯板厚度基础上增加0.2倍的踏步斜向高度;李兆宁 ^[8]考虑混凝土材料为弹性体,根据一个踏步单元截面刚度相等原则推导了梯板等效厚度表达式,得到综合修正系数,对按混凝土规范长期刚度计算的挠度值进行修正;宁潘芳等 ^[9]基于踏步单元长度内弯曲转角相等的准则推导了梯板等效弹性抗弯刚度公式,并通过修正系数得到了梯板短期弹塑性抗弯刚度;刘齐霞 ^[10]假定单个踏步单元弯矩相同,通过修正平均曲率得到梯板等效短期刚度,从而对按混凝土规范半理论半经验法计算的挠度值进行修正,得出楼梯实际挠度为计算挠度的0.4倍。

　　综上所述,目前对于钢筋混凝土板式楼梯考虑踏步作用的研究较为丰富,然而现有的研究均是建立在理想匀质弹性材料的基础上,采用变形 ^[3,4,9,10]、刚度 ^[5,6,8]或能量 ^[5,6]等效的原则推导梯板等效厚度或等效抗弯刚度,然后采用混凝土规范的方法,直接按照梯板等效厚度计算挠度,或者对按原始梯板厚度计算的挠度值进行折减。上述方法对于钢筋混凝土非线性材料的适用程度还缺乏全面的有限元分析和验证。此外,关于梯板齿状形态对于踏步应力分布的影响,已有的研究也很少涉及。本文在一定假定的前提下,基于应变能等效原则,考虑压应力在踏步范围的扩散,理论上推导了梯板等效厚度的计算公式,然后通过一系列考虑材料非线性的有限元分析,验证了本文方法对于钢筋混凝土非线性、非匀质材料的适用性,最后结合混凝土规范方法通过算例分析给出设计建议。

1 理论推导

1.1 基本假定

　　取板式楼梯一个踏步单元为研究对象(图2(a)),为了简化分析,采用以下基本假定:1)踏步单元位于正弯矩区段;2)仅考虑受弯变形,忽略轴向和剪切变形,一个踏步单元范围内弯矩相同;3)J,L截面为最不利截面,其压应力向踏步内扩散,扩散角假定为45°,扩散角外为零应力区域;4)如图2(a)所示,K截面混凝土处于受压状态,正应力扩散至K截面后,沿高度方向呈折线形分布,见图2(b),钢筋处于弹性受拉状态;5)如图2(c)所示,设置t_0y坐标系,K截面等效有效高度为t_0max,J～K和K～L截面间的等效有效高度t_0y为线性分布;6)按照应变能等效的原则,等效前后,一个踏步单元范围内的应变能相等。

　　图2 一个踏步单元分析假定

1.2 梯板等效厚度

　　设踏步高度为h,宽度为w,楼梯倾角为α,梯板厚为t,底筋直径为d,底筋保护层厚度为c,则J,L截面的有效高度t₀为:

　　 $t_{0} = t - c - d / 2 (1)$ $t_{0} = t - c - d / 2 (1)$

　　对于K截面,如图2(b)所示,设曲率为φ, x为梯板厚度受压区高度,δ为K截面踏步受压区高度。根据材料力学知识,底筋拉应力σ_s为:

　　 $σ_{s} = E_{s} (t_{0} - x) φ (2)$ $σ_{s} = E_{s} (t_{0} - x) φ (2)$

　　式中E_s为钢筋的弹性模量。

　　单位宽度底筋的拉力σ_sA_s为:

　　 $σ_{s} A_{s} = E_{s} A_{s} (t_{0} - x) φ (3)$ $σ_{s} A_{s} = E_{s} A_{s} (t_{0} - x) φ (3)$

　　式中A_s为单位宽度的底筋面积。

　　根据假定(4),混凝土受压区分为两部分,其最大压应力σ_c为:

　　 $σ_{c} = E_{c} x φ (4)$ $σ_{c} = E_{c} x φ (4)$

　　式中E_c为混凝土的弹性模量。

　　单位宽度内两部分混凝土受压区的合力为:

　　 $\frac{1}{2} σ_{c} x + \frac{1}{2} σ_{c} δ = \frac{1}{2} E_{c} x^{2} φ + \frac{1}{2} E_{c} x δ φ (5)$ $\frac{1}{2} σ_{c} x + \frac{1}{2} σ_{c} δ = \frac{1}{2} E_{c} x^{2} φ + \frac{1}{2} E_{c} x δ φ (5)$

　　则单位宽度力的平衡方程为:

　　 $E_{s} A_{s} (t_{0} - x) φ = \frac{1}{2} E_{c} x^{2} φ + \frac{1}{2} E_{c} x δ φ (6)$ $E_{s} A_{s} (t_{0} - x) φ = \frac{1}{2} E_{c} x^{2} φ + \frac{1}{2} E_{c} x δ φ (6)$

　　从而可求得梯板厚度方向截面受压区高度x为:

　　 $x = \frac{1}{2} [\sqrt{(δ + 2 n A_{s})^{2} + 8 n A_{s} t_{0}} - (δ + 2 n A_{s})] (7)$ $x = \frac{1}{2} [\sqrt{(δ + 2 n A_{s})^{2} + 8 n A_{s} t_{0}} - (δ + 2 n A_{s})] (7)$

　　式中n=E_s/E_c。

　　为了简化公式,在不产生较大误差时,后续推导过程将采取一定的近似处理。楼梯混凝土强度等级一般取C25～C40,常用受力筋牌号为HPB300～HRB500,因此n值在6.1～7.5之间。对于常规楼梯,δ和t₀差距不大,而配筋率A_s/t₀远小于1,因此nA_s/δ和nA_s/t₀均远小于1。以下推导采用小量运算处理,并忽略高阶小量,从而式(7)可近似处理为:

　　 $x \approx \frac{1}{2} [δ \sqrt{1 + 4 \frac{δ + 2 t_{0}}{δ} \frac{n A_{s}}{δ}} - (δ + 2 n A_{s})] (8)$ $x \approx \frac{1}{2} [δ \sqrt{1 + 4 \frac{δ + 2 t_{0}}{δ} \frac{n A_{s}}{δ}} - (δ + 2 n A_{s})] (8)$

　　利用泰勒公式展开,式(8)可整理为:

　　 $\begin{array}{l} x \approx \frac{1}{2} [δ (1 + \frac{1}{2} \times 4 \frac{δ + 2 t_{0}}{δ} \frac{n A_{s}}{δ}) - (δ + 2 n A_{s})] \\ = \frac{2 n A_{s}}{δ} t_{0} (9) \end{array}$ $\begin{array}{l} x \approx \frac{1}{2} [δ (1 + \frac{1}{2} \times 4 \frac{δ + 2 t_{0}}{δ} \frac{n A_{s}}{δ}) - (δ + 2 n A_{s})] \\ = \frac{2 n A_{s}}{δ} t_{0} (9) \end{array}$

　　由式(5)求得受压区对受拉钢筋受力点的合力矩,得到K截面的内力臂z为:

　　 $\begin{array}{l} z = \frac{\frac{1}{2} E_{c} x^{2} (t_{0} - \frac{1}{3} x) + \frac{1}{2} E_{c} x δ (t_{0} + \frac{1}{3} δ)}{\frac{1}{2} E_{c} x^{2} + \frac{1}{2} E_{c} x δ} \\ = \frac{x (t_{0} - \frac{1}{3} x) + δ (t_{0} + \frac{1}{3} δ)}{x + δ} (10) \end{array}$ $\begin{array}{l} z = \frac{\frac{1}{2} E_{c} x^{2} (t_{0} - \frac{1}{3} x) + \frac{1}{2} E_{c} x δ (t_{0} + \frac{1}{3} δ)}{\frac{1}{2} E_{c} x^{2} + \frac{1}{2} E_{c} x δ} \\ = \frac{x (t_{0} - \frac{1}{3} x) + δ (t_{0} + \frac{1}{3} δ)}{x + δ} (10) \end{array}$

　　将式(9)代入式(10),可得:

　　 $\begin{array}{l} z \approx \frac{\frac{2 n A_{s}}{δ} t_{0} t_{0} + δ (t_{0} + \frac{1}{3} δ)}{\frac{2 n A_{s}}{δ} t_{0} + δ} = \frac{\frac{2 n A_{s}}{δ} \frac{t_{0}}{δ} t_{0} + t_{0} + \frac{1}{3} δ}{1 + \frac{2 n A_{s}}{δ} \frac{t_{0}}{δ}} \\ \approx (\frac{2 n A_{s}}{δ} \frac{t_{0}}{δ} t_{0} + t_{0} + \frac{1}{3} δ) (1 - \frac{2 n A_{s}}{δ} \frac{t_{0}}{δ}) \\ = \frac{1}{3} δ (1 - \frac{2 n A_{s}}{δ} \frac{t_{0}}{δ}) + t_{0} (1 + \frac{2 n A_{s}}{δ} \frac{t_{0}}{δ}) (1 - \frac{2 n A_{s}}{δ} \frac{t_{0}}{δ}) \\ \approx t_{0} (1 - \frac{2 n A_{s}}{3 δ}) + \frac{1}{3} δ \end{array} (11)$ $\begin{array}{l} z \approx \frac{\frac{2 n A_{s}}{δ} t_{0} t_{0} + δ (t_{0} + \frac{1}{3} δ)}{\frac{2 n A_{s}}{δ} t_{0} + δ} = \frac{\frac{2 n A_{s}}{δ} \frac{t_{0}}{δ} t_{0} + t_{0} + \frac{1}{3} δ}{1 + \frac{2 n A_{s}}{δ} \frac{t_{0}}{δ}} \\ \approx (\frac{2 n A_{s}}{δ} \frac{t_{0}}{δ} t_{0} + t_{0} + \frac{1}{3} δ) (1 - \frac{2 n A_{s}}{δ} \frac{t_{0}}{δ}) \\ = \frac{1}{3} δ (1 - \frac{2 n A_{s}}{δ} \frac{t_{0}}{δ}) + t_{0} (1 + \frac{2 n A_{s}}{δ} \frac{t_{0}}{δ}) (1 - \frac{2 n A_{s}}{δ} \frac{t_{0}}{δ}) \\ \approx t_{0} (1 - \frac{2 n A_{s}}{3 δ}) + \frac{1}{3} δ \end{array} (11)$

　　则K截面的等效有效高度t_0max为:

　　 $t_{0 \max} = z / γ_{s} (12)$ $t_{0 \max} = z / γ_{s} (12)$

　　式中γ_s为K截面的内力臂系数。

　　如图2(c)所示,令任意截面的等效有效高度为t_0y,根据假定(5),t_0y在J～K和K～L截面之间线性分布。由混凝土规范可得梯段截面的短期抗弯刚度B_sy为:

　　 $B_{s y} = \frac{E_{s} A_{s} t_{0 y}^{2}}{1.15 ψ_{y} + 0.2 + 6 n A_{s} / t_{0 y}} (13)$ $B_{s y} = \frac{E_{s} A_{s} t_{0 y}^{2}}{1.15 ψ_{y} + 0.2 + 6 n A_{s} / t_{0 y}} (13)$

　　式中ψ_y为钢筋应变不均匀系数。

　　式(13)是在理论与试验研究的基础上提出的,在一定程度上隐含考虑了材料弹塑性等实际因素。

　　根据假定2),仅考虑受弯变形,设弯矩为M,则一个踏步单元内的应变能U ^[11]为:

　　 $U = \frac{1}{2} \int_{0}^{y_{Κ}} \frac{Μ^{2}}{B_{s y}} d y + \frac{1}{2} \int_{y_{Κ}}^{y_{L}} \frac{Μ^{2}}{B_{s y}} d y$ $U = \frac{1}{2} \int_{0}^{y_{Κ}} \frac{Μ^{2}}{B_{s y}} d y + \frac{1}{2} \int_{y_{Κ}}^{y_{L}} \frac{Μ^{2}}{B_{s y}} d y$ (14)

　　式中:y_K为J～K截面斜向距离,如图2(c)所示;y_L为K～L截面斜向距离,如图2(c)所示。

　　设等效斜板的厚度为t_eq,有效高度为t_0eq,短期抗弯刚度为B_eq,则等效斜板的应变能U_eq为:

　　 $U_{e q} = \frac{1}{2} \int_{0}^{y_{L}} \frac{Μ^{2}}{B_{e q}} d y (15)$ $U_{e q} = \frac{1}{2} \int_{0}^{y_{L}} \frac{Μ^{2}}{B_{e q}} d y (15)$

　　根据假定6),U=U_eq,整理可得:

　　 $\int_{0}^{y_{Κ}} \frac{1}{B_{s y}} d y + \int_{y_{Κ}}^{y_{L}} \frac{1}{B_{s y}} d y = \frac{1}{B_{e q}} \int_{0}^{y_{L}} d y = \frac{h}{B_{e q} \sin α} (16)$ $\int_{0}^{y_{Κ}} \frac{1}{B_{s y}} d y + \int_{y_{Κ}}^{y_{L}} \frac{1}{B_{s y}} d y = \frac{1}{B_{e q}} \int_{0}^{y_{L}} d y = \frac{h}{B_{e q} \sin α} (16)$

　　式中:α为楼梯倾角;h为踏步高度。

　　将式(13)代入式(16)可得:

　　 $\begin{matrix} \int_{0}^{y_{Κ}} \frac{1.15 ψ_{y} + 0.2 + 6 n A_{s} / t_{0 y}}{E_{s} A_{s} t_{0 y}^{2}} d y + \\ \int_{y_{Κ}}^{y_{L}} \frac{1.15 ψ_{y} + 0.2 + 6 n A_{s} / t_{0 y}}{E_{s} A_{s} t_{0 y}^{2}} d y \\ = \frac{(1.15 ψ_{e q} + 0.2 + 6 n A_{s} / t_{0 e q}) h}{E_{s} A_{s} t_{0 e q}^{2} \sin α} \end{matrix} (17)$ $\begin{matrix} \int_{0}^{y_{Κ}} \frac{1.15 ψ_{y} + 0.2 + 6 n A_{s} / t_{0 y}}{E_{s} A_{s} t_{0 y}^{2}} d y + \\ \int_{y_{Κ}}^{y_{L}} \frac{1.15 ψ_{y} + 0.2 + 6 n A_{s} / t_{0 y}}{E_{s} A_{s} t_{0 y}^{2}} d y \\ = \frac{(1.15 ψ_{e q} + 0.2 + 6 n A_{s} / t_{0 e q}) h}{E_{s} A_{s} t_{0 e q}^{2} \sin α} \end{matrix} (17)$

　　求解式(17)中的积分项可得:

　　 $\begin{matrix} \int_{0}^{y_{Κ}} \frac{1}{t_{0 y}^{2}} d y = \int_{t_{0}}^{t_{0 \max}} \frac{1}{t_{0 y}^{2} \tan β} d t_{0 y} \\ = (\frac{1}{t_{0}} - \frac{1}{t_{0 \max}}) \frac{1}{\tan β} = \frac{t_{0 \max} - t_{0}}{t_{0} t_{0 \max} \tan β} \end{matrix} (18)$ $\begin{matrix} \int_{0}^{y_{Κ}} \frac{1}{t_{0 y}^{2}} d y = \int_{t_{0}}^{t_{0 \max}} \frac{1}{t_{0 y}^{2} \tan β} d t_{0 y} \\ = (\frac{1}{t_{0}} - \frac{1}{t_{0 \max}}) \frac{1}{\tan β} = \frac{t_{0 \max} - t_{0}}{t_{0} t_{0 \max} \tan β} \end{matrix} (18)$

　　式中 $β = \arctan \frac{t_{0 \max} - t_{0}}{y_{Κ}}$ $β = \arctan \frac{t_{0 \max} - t_{0}}{y_{Κ}}$ 。

　　则式(18)可化简为:

　　 $\int_{0}^{y_{Κ}} \frac{1}{t_{0 y}^{2}} d y = \frac{y_{Κ}}{t_{0} t_{0 \max}} (19)$ $\int_{0}^{y_{Κ}} \frac{1}{t_{0 y}^{2}} d y = \frac{y_{Κ}}{t_{0} t_{0 \max}} (19)$

　　同理可得:

　　 $\int_{y_{Κ}}^{y_{L}} \frac{1}{t_{0 y}^{2}} d y = \frac{y_{L} - y_{Κ}}{t_{0} t_{0 \max}} (20)$ $\int_{y_{Κ}}^{y_{L}} \frac{1}{t_{0 y}^{2}} d y = \frac{y_{L} - y_{Κ}}{t_{0} t_{0 \max}} (20)$

　　由式(19),(20)整理可得:

　　 $\int_{0}^{y_{Κ}} \frac{1}{t_{0 y}^{2}} d y + \int_{y_{Κ}}^{y_{L}} \frac{1}{t_{0 y}^{2}} d y = \frac{h}{t_{0} t_{0 \max} \sin α} (21)$ $\int_{0}^{y_{Κ}} \frac{1}{t_{0 y}^{2}} d y + \int_{y_{Κ}}^{y_{L}} \frac{1}{t_{0 y}^{2}} d y = \frac{h}{t_{0} t_{0 \max} \sin α} (21)$

　　同理计算,并近似可得:

　　 $\begin{matrix} \int_{0}^{y_{Κ}} \frac{1}{t_{0 y}^{3}} d y + \int_{y_{Κ}}^{y_{L}} \frac{1}{t_{0 y}^{3}} d y \\ = \frac{1}{2} (\frac{1}{t_{0} + t_{0 \max}}) \frac{h}{t_{0} t_{\max} \sin α} \approx \frac{h}{t_{0 e q} t_{0} t_{\max} \sin α} \end{matrix} (22)$ $\begin{matrix} \int_{0}^{y_{Κ}} \frac{1}{t_{0 y}^{3}} d y + \int_{y_{Κ}}^{y_{L}} \frac{1}{t_{0 y}^{3}} d y \\ = \frac{1}{2} (\frac{1}{t_{0} + t_{0 \max}}) \frac{h}{t_{0} t_{\max} \sin α} \approx \frac{h}{t_{0 e q} t_{0} t_{\max} \sin α} \end{matrix} (22)$

　　令踏步单元范围内,钢筋平均应变不均匀系数ψ与等效后ψ_eq近似相等,即:

　　 $ψ \approx ψ_{e q} (23)$ $ψ \approx ψ_{e q} (23)$

　　将式(21)～(23)代入式(17),整理可得:

　　 $\begin{matrix} \frac{(1.15 ψ_{e q} + 0.2 + 6 n A_{s} / t_{0 e q}) h}{E_{s} A_{s} t_{0} t_{0 \max} \sin α} \\ = \frac{(1.15 ψ_{e q} + 0.2 + 6 n A_{s} / t_{0 e q}) h}{E_{s} A_{s} t_{0 e q}^{2} \sin α} \end{matrix} (24)$ $\begin{matrix} \frac{(1.15 ψ_{e q} + 0.2 + 6 n A_{s} / t_{0 e q}) h}{E_{s} A_{s} t_{0} t_{0 \max} \sin α} \\ = \frac{(1.15 ψ_{e q} + 0.2 + 6 n A_{s} / t_{0 e q}) h}{E_{s} A_{s} t_{0 e q}^{2} \sin α} \end{matrix} (24)$

　　由式(24)可得:

　　 $t_{0 e q} = \sqrt{t_{0} t_{0 \max}} (25)$ $t_{0 e q} = \sqrt{t_{0} t_{0 \max}} (25)$

　　考虑到实际施工存在踏步阴角区域浇筑质量稍差的问题,因此引入踏步施工质量修正系数γ_c对等效有效厚度进行折减,式(25)改写为:

　　 $t_{0 e q} = γ_{c} \sqrt{t_{0} t_{0 \max}} (26)$ $t_{0 e q} = γ_{c} \sqrt{t_{0} t_{0 \max}} (26)$

　　将式(12)代入式(26),可得:

　　 $t_{0 e q} = \frac{γ_{c}}{\sqrt{γ_{s}}} \sqrt{z t_{0}} (27)$ $t_{0 e q} = \frac{γ_{c}}{\sqrt{γ_{s}}} \sqrt{z t_{0}} (27)$

　　内力臂系数γ_s约为0.9 ^[12],假定γ_c=0.95,则式(27)化简为:

　　 $t_{0 e q} = \sqrt{z t_{0}} (28)$ $t_{0 e q} = \sqrt{z t_{0}} (28)$

　　将式(11)代入式(28),利用泰勒公式展开,可整理并近似为:

　　 $\begin{array}{l} t_{0 e q} \approx t_{0} [1 + \frac{1}{2} (\frac{δ}{3 t_{0}} - \frac{2 n A_{s}}{3 δ}) - \frac{1}{8} (\frac{δ}{3 t_{0}} - \frac{2 n A_{S}}{3 δ})^{2}] \\ \approx t_{0} [1 + \frac{δ}{6 t_{0}} - \frac{1}{8} (\frac{δ}{3 t_{0}})^{2}] (29) \end{array}$ $\begin{array}{l} t_{0 e q} \approx t_{0} [1 + \frac{1}{2} (\frac{δ}{3 t_{0}} - \frac{2 n A_{s}}{3 δ}) - \frac{1}{8} (\frac{δ}{3 t_{0}} - \frac{2 n A_{S}}{3 δ})^{2}] \\ \approx t_{0} [1 + \frac{δ}{6 t_{0}} - \frac{1}{8} (\frac{δ}{3 t_{0}})^{2}] (29) \end{array}$

　　根据图2(b),可知存在如下几何关系:

　　 $\sqrt{2} δ \sin (α + 45 °) = h (30)$ $\sqrt{2} δ \sin (α + 45 °) = h (30)$

　　因此式(29)可进一步整理为:

　　 $\begin{array}{l} t_{0 e q} = t_{0} [1 + \frac{h}{6 \sqrt{2} t_{0} \sin (α + 45 °)} - \\ \frac{1}{144} \frac{h^{2}}{t_{0}^{2} \sin^{2} (α + 45 °)}] (31) \end{array}$ $\begin{array}{l} t_{0 e q} = t_{0} [1 + \frac{h}{6 \sqrt{2} t_{0} \sin (α + 45 °)} - \\ \frac{1}{144} \frac{h^{2}}{t_{0}^{2} \sin^{2} (α + 45 °)}] (31) \end{array}$

　　则梯板的等效厚度t_eq为:

　　有了式(32)等效厚度公式,就可以方便地进行楼梯挠度计算。

2 有限元验证与对比分析

　　本文采用通用有限元软件ABAQUS进行非线性有限元计算,通过精细的有限元分析验证计算公式式(32)的适用性。

2.1 材料及本构关系

　　混凝土强度等级取C30,单轴受压和受拉应力-应变关系采用混凝土规范附录C的表达式和曲线,其中混凝土单轴强度代表值取标准值,考虑混凝土单调加载下的非线性,不考虑混凝土往复荷载作用下的损伤,不考虑荷载长期作用对挠度的增大影响。钢筋取HRB400,本构关系选用理想弹塑性双直线模型,弹性模量E_s取200GPa,钢筋在屈服点前完全弹性,在屈服点后完全塑性。

　　钢筋混凝土是由钢筋和混凝土两种力学性能差别较大的材料组成的复合材料。本文参照文献[13]的设定,按照分离式建模方法,通过软件“嵌入”功能,使得钢筋和混凝土自由度耦合,不考虑两种材料的粘结滑移作用。采用C3D8R三维八节点六面体实体单元模拟混凝土;采用T3D2二节点三维桁架单元模拟钢筋。

2.2 网格划分及边界条件

　　选用六面体网格,基本尺寸沿梯板跨度和宽度方向均为0.04m,沿厚度方向均为0.01m。边界条件为梯段上下端完全铰接,软件中设置参考点,使用“耦合”功能将参考点与端部绑定,通过约束参考点的位移实现两端铰接。

2.3 荷载及挠度设定

　　活荷载S_Q取3.5kN/m² ^[14],恒荷载S_G由下式计算得到:

　　 $S_{G} = S_{G 1} + S_{G 2} (33)$ $S_{G} = S_{G 1} + S_{G 2} (33)$

　　式中:S_G1为自重;S_G2为面层、抹灰和栏杆等附加恒载,取2.0kN/m²。

　　用于承载力计算的荷载基本组合q_s ^[15]为:

　　 $q_{s} = 1.3 S_{G} + 1.5 S_{Q} (34)$ $q_{s} = 1.3 S_{G} + 1.5 S_{Q} (34)$

　　用于挠度计算的荷载准永久组合q_c ^[14]为:

　　 $q_{c} = 1.0 S_{G} + 0.3 S_{Q} (35)$ $q_{c} = 1.0 S_{G} + 0.3 S_{Q} (35)$

　　如图3所示,荷载施加在楼梯水平投影方向,定义f为跨中斜向挠度,垂直于楼梯斜板方向。

　　图3 计算简图

2.4 算例设置

　　根据《混凝土结构构造手册》 ^[2](简称构造手册),楼梯倾角在30°左右,行走最为舒适。常规楼梯倾角不宜超过38°,踏步高不宜大于210mm,也不宜小于140mm,且踏步高宽满足:2h+w≈600mm。按照上述原则,综合考虑了楼梯板厚、跨度、跨厚比、踏步尺寸等因素,计算了一系列算例,其中梯板最小厚度取混凝土规范单向板最小厚度60mm,最大厚度取200mm,基本涵盖了板式楼梯可选的板厚范围。

　　定义跨厚比λ为:

　　 $λ = l_{0} / t (36)$ $λ = l_{0} / t (36)$

　　式中:l₀为楼梯水平投影计算跨度,当两端与支承构件整浇时l₀为梯板净跨l_n,当两端搁置时l₀为梯板净跨与板端支承长度之和 ^[12]。

　　取1m板带计算,楼梯纵筋直径d一般在8～12mm之间,模型中统一取d=10mm,钢筋保护层厚度c=15mm。部分常用板厚有限元算例参数设置见表1。

　　图5 踏步应力分布图/(N/m²)

　　图6 有限元模型荷载-挠度曲线

　　 部分有限元算例参数设置表1

算例编号	t/mm	l₀/mm	λ	h/mm	w/mm	α/°	A_s /(mm²/m)	t_eq /mm
1-1	100	2600	26.0	170	260	33.20	491	118
1-2	100	2800	28.0	160	280	29.76	561	117
1-3	100	2970	29.7	165	270	31.45	654	118
1-4	100	3240	32.4	165	270	31.45	785	118
2-1	120	3120	26.0	170	260	33.20	604	138
2-2	120	3360	28.0	160	280	29.76	714	138
2-3	120	3600	30.0	150	300	26.58	785	137
2-4	120	3780	31.5	165	270	31.45	873	138
3-1	140	3640	26.0	170	260	33.20	754	159
3-2	140	3920	28.0	160	280	29.76	873	158
3-3	140	4160	29.7	170	260	33.20	982	159
3-4	140	4420	31.6	170	260	33.20	1047	159
4-1	160	4160	26.0	170	260	33.20	873	179
4-2	160	4480	28.0	160	280	29.76	982	178
4-3	160	4800	30.0	150	300	26.58	1122	177
4-4	160	5130	32.1	165	270	31.45	1308	179

　　图4 有限元模型

　　每一个算例建立两个模型,分别为原始楼梯模型和等效斜板模型,如图4所示。需要指出,两种模型配筋和荷载均一致。原始楼梯模型自重由程序自动计算,附加恒荷载和活荷载通过外荷载施加。等效斜板模型自重、附加恒荷载和活荷载均通过外荷载施加,以保证等效前后荷载一致。

2.5 有限元计算结果

　　以算例1～3为例,取跨中两级踏步如图5所示,考察其压应力分布。从图5(a)可以看出,踏步45°扩散角外接近于零应力,基本与假定3)一致。沿图5(a)中K截面将踏步剖切,如图5(b)所示,剖切面的压应力在踏步面最小,最大应力出现在原始梯板上边缘附近,基本符合假定4)。压应力在踏步内呈折线分布,但在踏步范围接近抛物线分布,与假定4)双折线分布略有不同。由于1.2节关于K截面等效有效高度的推导是基于踏步区压应力直线分布得出,因此相对于实际近似抛物线的分布是偏于安全的。

　　综上,本文关于楼梯踏步应力扩散和分布的假定是合理的。

　　根据有限元分析结果,荷载准永久组合下钢筋均处于弹性状态;受压区混凝土最大压应力出现在踏步阴角处,局部应力集中区域压应力超过混凝土抗压强度设计值,但均小于混凝土抗压强度标准值。表1的16个算例的挠度计算结果如图6所示。图6中1-2A表示算例1-2原始楼梯模型的计算结果,2-3B表示算例2-3等效斜板模型的计算结果,其余类似。可以看出,各算例荷载-挠度曲线均呈现明显的非线性特征。

　　从图6可以看出,原始楼梯模型和等效斜板模型的挠度曲线较为吻合,且在相同荷载水平下,等效斜板模型的挠度均略大于原始楼梯模型。当梯板厚度为60,80,180,200mm等非常用厚度时,有限元计算表明等效斜板模型挠度也是略大于原始楼梯模型,与上述结果相符,限于篇幅,数据不再罗列。这说明等效斜板模型略偏安全。

　　研究各种梯板厚下,不同跨厚比时的挠度对比,见图7。图中曲线C为等效斜板按照混凝土规范短期刚度B_s计算的挠度值。引入差值系数ζ₁和ζ₂:

　　 $\begin{array}{l} ζ_{1} = \frac{f_{B} - f_{A}}{f_{A}} (37) \\ ζ_{2} = \frac{| f_{B} - f_{C} |}{f_{C}} (38) \end{array}$ $\begin{array}{l} ζ_{1} = \frac{f_{B} - f_{A}}{f_{A}} (37) \\ ζ_{2} = \frac{| f_{B} - f_{C} |}{f_{C}} (38) \end{array}$

　　式中:f_A为原始楼梯模型计算挠度;f_B为等效斜板模型计算挠度;f_C为规范方法计算挠度。

　　图7 有限元模型及规范方法挠度对比

　　根据图7数据,差值系数ζ₁在2.1%～10.2%之间,ζ₁平均值约为7.1%,可知等效斜板模型可满足工程精度要求。差值系数ζ₂在3.7%～13.2%之间,ζ₂平均值约为9.5%,等效斜板模型计算结果与规范方法计算值较为接近,且变化趋势一致,说明有限元方法与混凝土规范短期刚度方法基本相符,均不计算荷载长期作用影响。

　　以上有限元计算及对比分析,验证了本文基本假定的合理性和等效厚度理论推导的正确性,可以适用于钢筋混凝土非线性、非匀质材料。

2.6 几种等效厚度计算方法对比

　　为了方便描述踏步对等效板厚的贡献程度,提出一个等效厚度放大系数β_e:

　　 $β_{e} = \frac{t_{e q}}{t} (39)$ $β_{e} = \frac{t_{e q}}{t} (39)$

　　文献[3]提出等效厚度的计算方法为:

　　 $t_{e q} = t + \frac{h c o s α}{3} (40)$ $t_{e q} = t + \frac{h c o s α}{3} (40)$

　　文献[5]提出等效厚度的计算方法为:

　　 $t_{e q} = 1.12 t (41)$ $t_{e q} = 1.12 t (41)$

　　文献[7]提出等效厚度的计算方法为:

　　 $t_{e q} = t + 0.2 h c o s α (42)$ $t_{e q} = t + 0.2 h c o s α (42)$

　　文献[8]提出等效厚度的计算方法为:

　　 $t_{e q} = \sqrt[3]{\frac{\cos^{3} α h^{3}}{4} + \cos^{2} α h^{2} t + \frac{3}{2} \cos α h t^{2} + t^{3}} (43)$ $t_{e q} = \sqrt[3]{\frac{\cos^{3} α h^{3}}{4} + \cos^{2} α h^{2} t + \frac{3}{2} \cos α h t^{2} + t^{3}} (43)$

　　从本文及各文献等效厚度表达式可以看出,等效厚度t_eq与原始梯板厚t、踏步高度h及楼梯倾角α有关,计算发现常规楼梯的倾角对等效厚度影响很小。下文以α=30°,h=160mm为代表,对比各方法的等效厚度。对不同板厚的楼梯,分别采用了本文、文献中推荐方法以及有限元方法计算等效厚度,得到等效厚度放大系数曲线,如图8所示。其中有限元等效厚度是指有限元计算得到的,与原始楼梯模型具有相同挠度的等效斜板厚度。

　　图8 各种方法等效厚度比较

　　从图8可以看出,除文献[7]外,随着梯板厚度增加,β_e曲线呈下降趋势,踏步的贡献随之降低。按本文方法,图8梯板厚度为60mm时,β_e为1.25;梯板厚度为200mm时,β_e为1.09。

　　本文得出的等效厚度在梯板厚度小于140mm的情况下介于文献[5]与文献[7]之间;梯板厚度大于140mm时,本文计算得到的等效厚度位于文献[7]下方。

　　图8表明,仅本文的β_e曲线全部位于有限元方法曲线下方,说明本文的方法更加可靠;同时本文曲线与有限元曲线最接近,精度很高,说明在保证可靠性的前提下,本文的方法更为经济。

3 设计建议

　　根据式(32)的等效厚度,可以直接应用混凝土规范方法进行挠度计算,而不必进行齿状截面复杂的有限元建模和分析。根据构造手册,考虑支座不同的嵌固作用,楼梯跨中弯矩M可取为(1/10～1/8)ql $_{0}^{2}$ $_{0}^{2}$ 。为简化影响因素,以下基于梯板两端完全铰接的情况,研究配筋及跨厚比对挠度的影响,并提出设计建议。

　　配筋计算时,跨中弯矩设计值M_s为:

　　 $Μ_{s} = \frac{1}{8} q_{s} l_{0}^{2} (44)$ $Μ_{s} = \frac{1}{8} q_{s} l_{0}^{2} (44)$

　　底筋实配面积A_s由下式计算 ^[1,12]得到:

　　 $A_{s} = \frac{η Μ_{s}}{0.87 t_{0} f_{y}} (45)$ $A_{s} = \frac{η Μ_{s}}{0.87 t_{0} f_{y}} (45)$

　　式中:η为超配筋系数;t₀为原始梯板有效高度;f_y为钢筋抗拉强度设计值。

　　挠度计算时,跨中弯矩准永久值M_q为:

　　 $Μ_{q} = \frac{1}{8} q_{q} l_{0}^{2} (46)$ $Μ_{q} = \frac{1}{8} q_{q} l_{0}^{2} (46)$

　　考虑荷载长期作用下挠度增大影响系数θ ^[1],取θ=2,则楼梯跨中挠度f为:

　　 $f = \frac{5 Μ_{q} l^{2}}{48 B_{e q} / θ} = \frac{5 q_{q} l_{0}^{4}}{192 B_{e q} \cos^{2} α} (47)$ $f = \frac{5 Μ_{q} l^{2}}{48 B_{e q} / θ} = \frac{5 q_{q} l_{0}^{4}}{192 B_{e q} \cos^{2} α} (47)$

　　式中:l为楼梯斜长;l₀为楼梯水平投影计算跨度;B_eq为按等效厚度计算的短期刚度。

　　容许挠度[f] ^[1]为:

　　 $[f] = l / 200 = l_{0} / 200 \cos α (48)$ $[f] = l / 200 = l_{0} / 200 \cos α (48)$

　　取倾角α=31.45°,踏步高h=165mm,混凝土强度等级C30,钢筋取HRB400,附加恒荷载2.0kN/m²,根据式(32)的等效厚度计算公式,采用式(45)～(47)进行了一系列楼梯配筋和挠度计算,结果如表2和图9所示,限于篇幅,表2仅列出超配筋系数η=1.0,梯板厚t=120mm的数据;图9仅列出部分常用梯板厚度的曲线。

　　 不同跨厚比下楼梯的配筋及挠度表2

λ	配筋率/%	f/mm	[ f ]/mm
25	0.54	13.0	17.6
26	0.59	14.4	18.3
27	0.63	15.8	19.0
28	0.68	17.3	19.7
29	0.73	20.0	20.4
30	0.78	23.1	21.1
31	0.83	26.3	21.8
32	0.89	29.7	22.5

　　图9 超配筋系数-跨厚比关系曲线

　　根据大量计算数据可知:1)当η=1.0时,100,120,140,160mm厚梯板跨厚比分别为30,29,28,27。说明本文结果与工程经验一定程度上是相符的,构造手册建议跨厚比取25～30,基本合理。2)适当增大配筋,可以放松跨厚比限值,当η=1.3时,100,120,140,160mm厚梯板跨厚比分别可达32,31,30,29。λ-η呈一定非线性关系,随着λ的增大,η随之快速增大,增大配筋对跨厚比的提高效率逐渐降低。必要时,可以通过提高配筋率以实现大跨厚比。若从经济性考虑,则建议η控制在1.3以内。当η>1.3时,不建议通过进一步增大配筋以满足挠度要求。3)相同超配筋系数下,梯板越薄,可以达到的跨厚比越大;相同跨厚比下,梯板越厚,要求的超配筋系数越大。当梯板较薄时,自重较小,且踏步对于梯板刚度的贡献更大。因此,较薄的梯板效率更高,建议优先选用,但不应小于受弯构件最小厚度60mm。

　　需要指出的是,上述算例采用HRB400钢筋,若配筋使用HRB500或更高强度的钢筋,在其他条件不变时,挠度计算值会有明显增大。

　　另外需要指出,本文等效厚度理论公式式(32)的推导时以一个踏步单元为对象,考虑其等效情况,并非以整个梯板作为考察对象,所以不涉及到梯板两端的约束情况。实际工程中许多混凝土板式楼梯梯板两端并非简支,当支座考虑半刚性约束或支座为完全刚接时,正弯矩区段的梯板仍然可以使用本文推导的等效厚度,负弯矩区段的梯板可采用原始厚度,按此进行挠度计算,可进一步提高跨厚比。但此时应同时考虑正弯矩设计值减小引起的配筋值及钢筋混凝土截面受弯刚度的减小。

　　同样本文挠度计算方法不仅适用于AT型楼梯,也可以推广应用于国标图集《混凝土结构施工图平面整体表示方法制图规则和构造详图(现浇混凝土板式楼梯)》(16G101-2) ^[16]中踏步区受压、两边支承类型的楼梯。设计时,带踏步的斜段可使用等效厚度,平段采用原始厚度。

4 结论

　　本文提出应力扩散等假定,基于应变能等效原则,通过近似处理,推导了钢筋混凝土板式楼梯考虑踏步作用的等效厚度理论计算公式。然后综合考虑了梯板厚、跨度、跨厚比、踏步尺寸等因素,通过大量的ABAQUS软件有限元分析,验证了本文的方法对于钢筋混凝土非线性、非匀质材料的适用性,并与其他文献的结果进行对比,表明本文等效厚度计算公式具有很高的精度,且计算结果略偏于安全。利用该公式可以方便地进行挠度计算,使楼梯设计更为合理。最后进行一系列算例分析,提出了跨厚比和配筋的设计建议,供设计人员参考。板式楼梯设计中应充分考虑跨度、跨厚比、实配钢筋等因素对挠度的影响。对于非常规跨度、荷载及钢筋强度等级的楼梯必须进行挠度验算。

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[16] 混凝土结构施工图平面整体表示方法制图规则和构造详图(现浇混凝土板式楼梯):16G101-2[S].北京:中国建筑标准设计研究院,2016.

Deflection calculation and design suggestions for reinforced concrete slab stairs considering the effect of steps

XU Xiaoliang

(Tongji Architectural Design (Group) Co., Ltd.)

Abstract: The existing researches on reinforced concrete slab stairs taking the effect of steps into account are based on the assumption of the ideal homogeneous elastic materials, but these studies have not been verified comprehensively by nonlinear finite element analysis. Taking the step elements as the object of study, a theoretical formula of equivalent thickness was deduced on the basis of the stress dispersion hypothesis and the strain energy equivalence principle. It is demonstrated that the formula is applicable to the reinforced concrete materials by nonlinear finite element analysis using ABAQUS program. The comparisons between the results of theoretical formula and finite element analysis show that the proposed formula of equivalent thickness is of high precision and the results of the formula are lean to security. The deflection can be calculated easily with the formula, resulting in a more reasonable design of slab stairs in practical engineerings.

Keywords: slab stairs; stress dispersion; strain energy; equivalent thickness; span to thickness ratio

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