石家庄国际展览中心为特大型展览项目,位于石家庄市正定新区,总建筑面积为35.6万m²。图1为展厅平面布局。D展厅为甲等展厅,面积为13 740m²;7个乙等标准展厅,即A展厅(A1,A2为同一单体)、C展厅(C1,C2为同一单体)、E展厅(E1～E3为同一单体),单个展厅面积为7 250m²;B1～B9为核心会议区,为钢框架结构,本文不述及;展厅部分屋盖采用双向悬索结构体系,结合其特点,设计过程中结合参数化技术进行了找形和优化分析 ^[1,2],本文重点介绍其中的找形及变形控制部分。

　　 建筑立面造型吸取了正定隆兴寺摩尼殿悬山式屋顶样式(图2)。结构则相应采用了悬索体系与建筑样式相吻合(图3)。

　　 在纵向上,结构仍采用悬索式承重构造,使曲线形态与屋面横向相统一(图4)。

　　 结构纵向主悬索跨度为105m,横向受力方向最大跨度为108m(纵向主悬索间距)。主次双向索承重方案既符合建筑形态,也清晰简洁地构建出了最为合理的受力体系。

　　 本项目屋面双向主受力构件均为悬索,而双向索在施工张拉过程中存在相互的影响,另外,刚性构件与索之间亦存在相互支承和约束关系,这些都给索的找形与控制带来了一定的困难。为此,本文对结构初始找形和施工过程中的变形控制两个环节,均进行了深入细致的研究。

　　 通常情况下,对于刚性结构来说,由建筑师确定的建筑形状可以作为结构的几何定义形态。由于刚性结构具备维持自身形状所需的刚度,一般不存在初始形状是否成立的问题。而对于柔性结构而言,通常在不同荷载的作用下,其形状也会随之变化。因此,需通过找形分析获得与特定控制工况荷载对应的初始形状作为结构成形态,后续工况作用下,结构的有限元分析则要以控制工况找形分析的结果为基础 ^[3,4]。

　　 对于柔性结构,施工过程中的结构与施工完成后的结构不同,后者事实上已具备与刚性结构相似的抵抗各类变形的刚度,结构计算与刚性结构亦基本相似。

　　 而在施工过程中,刚度尚未形成,荷载以及边界条件等情况都在不断发生变化,从初始态到施工完成态需要经历刚性构件安装、索体就位、张拉、结构加载,增减临时支撑等多个环节,这是一个包含众多复杂因素的非线性过程 ^[2,5]。本文重点讨论施工过程分析所需的技术策略与注意事项。

　　 参考图5,沿纵向共分布有10道屋面次索,次索之间的檩条两端铰接搭于次索之上。由于铰接,檩条对各道次索在竖向刚度上的协调作用可以忽略,檩条可以仅看作次索上的荷载。因此,在竖向荷载作用下,各道次索可以单独找形。

　　 屋面次索两端(位于屋脊线处)通过竖杆支撑于主悬索之上(图4)。对于主悬索来说,各道次索传来的竖向压力的大小取决于次索的受荷面积,因此各次索传至主悬索的竖向压力也是确定的。据此,次索对主悬索的关系可以简化为荷载关系。

　　 综上所述,主悬索、次索均可以提炼为承受若干竖向集中荷载的悬索模型(图6中F₀～F₂₄为作用在索分段节点j₀～j₂₄上的集中荷载(可以互不相等),e₀～e₂₃为各索段的单元编号,单元长度亦可互不相等。注意图中索分段数与项目实际情况无关)。其中,次索承受的竖向荷载由檩条汇集并传来,主悬索的竖向荷载由次索汇集并传来。

　　 与檩条或次索传来的竖向力的影响相比,索自重造成的索段局部悬垂变形可以忽略不计。因此,图6可以进一步简化为在竖向节点力作用下的链杆模型。

　　 柔性结构找形通常包括力密度法 ^[6]、动力松弛法、有限元法等 ^[7]。本项目索结构布置及受力特点鲜明,根据研究可采取更加简洁明了的解法,其优点在于效率高,并且很容易嵌入到参数化建模及优化代码中,实现更高的编码效率。

　　 将索简化为链杆模型后,需要根据项目的构件布置情况进行求解。本项目中,主悬索、次索均沿水平投影方向均匀分段,各分段节点的水平位置是确定的,而节点的竖向位置则是待求的未知量(图7)。

　　 图7中节点j_i的坐标表示为(x_i,z_i),节点外力为F_i,单元拉力为T_i。如前所述,水平坐标x_i是已知量,竖向坐标z_i是未知量,各节点所受荷载F_i是已知量,单元轴向拉力T_i是未知量。

　　 参考图8,根据节点j_i处的静力平衡条件,可以分别列出水平、竖向的平衡表达式:

　　 $\{\begin{array}{l}\frac{{\rm T}{}_{i-1}}{l{}_{i-1}}(x{}_i-x{}_{i-1})=\frac{{\rm T}{}_i}{l{}_i}(x{}_{i+1}-x{}_i)\\ \frac{{\rm T}{}_{i-1}}{l{}_{i-1}}(z{}_{i-1}-z{}_i)+\frac{{\rm T}{}_i}{l{}_i}(z{}_{i+1}-z{}_i)=F{}_i\end{array}\begin{array}{l}(1)\\ (2)\end{array}$

　　 式中:l_i为单元e_i的长度;$\frac{{\rm T}{}_i}{l{}_i}$为力密度法中的“力密度”。

　　 根据水平向的静力平衡条件式(1),对任意单元i均存在:

　　 $\frac{{\rm T}{}_i}{l{}_i}(x{}_{i+1}-x{}_i)=k(3)$

　　 即:

　　 $\frac{{\rm T}{}_i}{l{}_i}=\frac{k}{x{}_{i+1}-x{}_i}(4)$

　　 式(4)说明本模型中单元的力密度与单元的水平投影长度成反比,这是该问题的特殊性,这使得求解算法得以简化。

　　 将式(4)代入式(2),消去$\frac{{\rm T}{}_i}{l{}_i}$及$\frac{{\rm T}{}_{i-1}}{l{}_{i-1}}$,方程化为仅含有未知量z_i-1,z_i,z_i+1及待定系数k的线性方程组。将各节点的平衡方程组联立形成整体线性方程组,通过引入边界条件和矢高限制条件,即可求出所有节点的z坐标及系数k。其中,矢高限制条件可以通过指定任意一个中间节点的z坐标实现。

　　 以上算法可计算各节点承受任意竖向荷载,节点分布亦不要求均匀的链杆体系的精确形状,因此比悬链线方程具有更好的适用性,亦比常规的力密度法更加简洁。

　　 为对比证实算法的正确性,下面把自重作用下的悬链线划分为4段链杆结构按本文算法求解,并将结果与悬链线解析解进行对比。对比结果见表1,可以看到二者具有非常高的吻合度。表1给出了在自重作用下4段链杆体系与理想索体系采用本文算法分段链杆解与悬链线解析解的对比。

　　 应该说明的是,上述对比差值并非“误差”,实际上为4段链杆模型和理论悬链线模型的差别。对于本项目来说,拉索采用分段链杆模型更符合实际情况。

　　 对屋面次索来说,自重(包括索自重、屋面自重等)沿索长均匀分布,而对主悬索来说,次索传来的集中荷载与次索之间的间距成正比,相当于沿主悬索的水平投影长度均匀分布。当荷载分布集度沿索长分布时,所受节点荷载的大小与索长相关(图9,注意图中数字仅用于说明问题,与项目实际情况无关)。

　　 此时,荷载与待求的未知量坐标z_i相关,节点平衡方程变为高次方程。比较方便的办法是仍采用本文介绍的算法,由线性方程组迭代求解,索找形迭代算法见图10。找形计算开始时,索形状未知,此时先假定索为直线段,据此初步求出荷载分布,然后通过找形算法求出第一轮索形状。根据第一轮索形状,重新计算荷载分布,再据此求出第二轮索形状。如此循环迭代直到最后两次求出的索形状足够接近时中止计算。实际计算过程中,迭代逼近的速度非常快,需要的迭代次数通常只有几次。

　　 采用本文算法基于Rhino平台的Python接口 ^[8]编写的代码非常简短,直接嵌入到参数化建模代码中,非常方便地完成了整体结构的建模。与调用专用找形算法模块相比,采本文方式编码、数据交互的工作量均非常小,并且灵活性好,求解目标更有针对性。

　　 初始找形为结构提供了合理的基础形状,而施工阶段的分析则需要设计合理的施工模拟步骤,同时采取合适的计算方法以保证分析结果的有效性 ^[3,9,10]。

　　 几何非线性分析对于柔性结构的分析具有决定性的重要地位 ^[3]。柔性结构除变形较大之外,加载过程中还会产生比较大的刚度变化。弹性计算的假定是小变形以及固定的刚度和边界条件,而这些在柔性结构中都无法保证。非线性分析把加载过程切割为若干的子步,每一步均实时更新结构的形状及刚度,反映结构力学特性的变化,最终结果是一个稳定加载过程的积分。

　　 施工模拟方案应是真实的施工方案和有限元计算能力的折衷。施工模拟方案应保证准确的结果和良好的收敛性。

　　 采用隐式方法进行非线性分析时,收敛性是经常遇到的障碍之一。在不影响计算结果的前提下,可采取一定的方法提高计算的稳定性。如:弯曲刚度对计算结果影响很小时,可以由刚接代替铰接;次要的受压构件可以用等面积的大尺寸空心截面代替小尺寸的实心截面,以避免局部产生的零刚度或负刚度,使整体计算无法收敛。

　　 应该注意的是,为保证计算结果不受影响,所采取的策略必须进行专项对比试验。

　　 柔性结构中通常有许多未被约束的自由度或约束很弱的自由度,与该自由度对应的位移值经常出现异常,结果位移图常显示结构被“算飞了”。

　　 这种情况出现的原因很多,初始找形不理想或采用的计算策略不当时,容易出现异常。另外,施工步中添加构件时,在结构中已经出现的节点带有累积位移,而未出现的节点位移为0,节点之间会出现位移突变,这是程序的局限性所导致的,需要设计师鉴别并区别对待。

　　 在初始找形的基础上,合理设计的施工步骤以及适当的计算策略通常可以保证计算的准确性。

　　 图11为一榀主悬索及其刚性支撑构造。主悬索两端搭在相距105m的两组A形柱上,A形柱中间连有上弦杆、自锚杆及下弦杆三道刚性水平杆件,这三道刚性水平杆件和连接它们的竖杆共同形成支撑于A形柱上的空腹桁架。次索传来的压力通过竖杆传至主悬索。

　　 为精确控制主悬索的变形,必须控制好两部分干扰因素:一是空腹桁架平面内刚度;二是A形柱在桁架平面内的相对变形。

　　 表面上看,加大空腹桁架的面内刚度可以减小竖向变形,然而实际效果正好相反。本项目实际上将空腹桁架以及主悬索的竖向变形控制权全部交予了主悬索。只要控制好主悬索的拉力及下料长度,空腹桁架的水平度就是可控的。如果将空腹桁架的竖向刚度参与到调平控制中,会使得控制因素增多,反而形成干扰。

　　 基于这种考虑,只利用了上弦杆、下弦杆、自锚杆以及竖杆的轴向刚度,它们的端部均采取了铰接构造,从而使桁架的面内刚度降到最低。

　　 两端的A形柱在桁架平面内的相对变形由端斜索及竖向端拉索控制。通过张拉控制,使A形柱柱顶相对变形保持在控制范围内。

　　 由上述技术策略可以看出,主悬索桁架能否控制好水平度,关键因素在于:

　　 (1)主悬索准确找形。主悬索上的竖杆没有单独上下调整的可能性,如果主悬索初始找形有偏差,主悬索桁架建成后的水平度将无法保证。

　　 (2)排除干扰因素。如前所述,悬索所在的空腹桁架竖向刚度降至最低,不对悬索形状形成干扰。

　　 (3)计算策略。施工模拟步骤上,使主悬索加入到计算模型中时,将主悬索两端及中间节点的已有竖向变形控制在最小范围内。模型中,该条件通过施加竖杆顶部竖向约束来实现。

　　 另外,计算模型应保证索与竖杆间可滑动,否则张拉索体时,竖杆会被强制弯曲,索力会严重失真。

　　 从建成后的效果看,展厅桁架水平度控制非常到位(图12)。这说明初始找形、结构方案、分析策略及施工安装等各环节的工作均是非常到位的。

　　 屋面次索的主体策略与主悬索类似,即竖向变形控制由屋面次索的张拉过程完成。

　　 与主悬索不同的是,由于局部屋面风荷载可能超过屋面重量,因此,要求屋面次索具备向上的反向刚度,以防止局部屋面被风掀起。各展厅在结构上采取了布置反向稳定索的方式实现这一功能(图13～15)。反向索除抵御风荷载之外,还起到了增大屋面刚度和稳定性的作用。屋面次索、稳定索及中间的竖索共同构成次索桁架。

　　 对于主悬索的防风吸问题,由于对主悬索来说,整体屋面上的风荷载仍小于整体屋面重量,可保证主悬索总是处于受拉状态,因此没有必要布置反向索。

　　 图13～15所示的屋面次索桁架中,屋面次索需要经历两次张拉过程。首先是在自重及屋面重量的作用下被动张拉成形,之后,在稳定索张拉时,通过竖索产生的拉力再次被加载并被动张拉;对稳定索来说,只存在一次主动张拉的过程,但张拉时,竖索会牵引屋面索产生变形,并反过来影响稳定索的形状。

　　 针对这种相对复杂的情况,需要制定合理的找形与变形控制策略。该策略需要将找形算法与非线性有限元分析相结合,而后者本质上也是一种找形算法 ^[7,10]。

　　 首先完成初始找形。假定屋面次索与稳定索间的竖索拉力是均匀分布的,即竖索的作用相当于对屋面次索和稳定索施加水平投影均布荷载。对稳定索来说,这是它唯一承受的荷载,因此可以按此荷载模式找形;而对屋面索来说,它主要承受屋面荷载,由于屋面荷载远大于竖索荷载,加上竖索荷载未定,因此可以暂时忽略竖索拉力的影响,仅按屋面实际荷载分布找形。屋面次索、稳定索找形完成之后,竖索的位置及长度也就确定了。

　　 基于屋面次索、稳定索及竖索的原始形状,为了正确完成仿真,建模及非线性分析过程需要分多步进行。首先,将屋面次索及竖索一同引入模型并加载,完成屋面索的第一次被动张拉。如本文前面所述,竖索和屋面次索同时引入模型是非常重要的操作,它使得竖索下端跟随屋面次索正常变形,进而消除竖索变形与应力的不协调,是保证计算结果真实可靠的非常重要的技术手段。

　　 然后,再将稳定索引入模型,此时,稳定索的原始形状会被为自动修订为竖索下端连线的形状,并基本保持零应力状态(有自重产生的微小应力)。

　　 此时张拉稳定索,在拉应力作用下,由于几何刚度效应,屋面次索、竖索及稳定索形成了有刚度的索桁架。经统计发现,稳定索与屋面次索之间竖向拉索的拉力非常接近于均匀分布,说明所采取的假定以及找形策略和分析策略是合理可行的,反映了结构的真实情况。另外,本步竖索拉力对屋面次索及稳定索的影响在非线性有限元分析中得到了考虑,弥补了之前找形时忽略竖索拉力带来的误差。

　　 上述有限元计算均为考虑几何大变形的非线性计算,这种方法适合于在正确找形的基础上结合合理的施工步进行分析。如果初始找形不准确,例如用圆弧线近似悬链线建模,这种方法就很难得到理想的结果。

　　 通过上述过程,索桁架的变形控制可以通过迭代方式进行,即将变形量反向回馈到找形参数中,重新经历上述过程,经迭代可得到满意结果。迭代过程可以通过参数化手段进行自动化控制。

　　 本文针对石家庄国际展览中心项目,有针对性地研究了索结构高效找形算法,采用该算法提高了整体建模和优化的效率。

　　 施工过程分析是索结构设计的关键,项目综合采取了正确的结构策略与分析策略,提高了分析和变形控制的精度。

　　 复杂柔性结构存在多次相互影响的张拉、安装过程,无法简单地将结构划分为几个单线条的状态。本文介绍的找形及变形控制方法在石家庄国际展览中心项目上得到了很好的验证,希望本文内容能够对类似复杂项目的实施有所帮助。