螺栓连接是钢结构建筑中广为使用的连接方式之一。尽管国内外的钢结构设计标准^[1,2]均规定了单个螺栓的承载力公式,但由于近年来新的抗滑移面加工工艺的出现以及高强度结构钢的不断应用,螺栓群的承载性能仍得到了广大学者的关注^{[3,4,5,6,7,8]}。

　　 偏心受剪的螺栓群在实际工程中的应用较为普遍,如偏心受剪的牛腿螺栓群、钢梁腹板的螺栓拼接连接等^[1]。在偏心剪力作用下,螺栓群中的螺栓承受剪力,其抗剪承载力可按国内外的钢结构设计标准^[2,9]的公式进行计算。螺栓群的偏心剪力可以等效为过螺栓群形心的剪力和绕螺栓群形心的扭矩。根据剪力的数量和方向不同,可把偏心受剪的螺栓群分为单向剪力(V_x或V_y)与扭矩T共同作用和T-V_x-V_y作用两种工况,其中水平剪力V_x和竖向剪力V_y的方向正交。

　　 对于T-V_x-V_y作用的并列布置螺栓群,设计者不但需要准确计算受力最大螺栓的剪力,而且还需要准确判定出受力最大螺栓的位置和数量。然而,当前文献^[10,11]要么给出最不利螺栓所承受剪力的计算式,要么确定偏心受剪螺栓群的螺栓数量^[12],而对最不利螺栓所在位置和数量的判定,要么仅分析顺时针扭矩T、水平向右的剪力V_x、竖直向下的剪力V_y共同作用的最不利螺栓的位置^[13,14],要么直接指出最不利螺栓的位置而进行计算^[15]。

　　 由于扭矩具有顺时针和逆时针之分,竖向剪力有向下、向上之分,而水平剪力有向左、向右之分,因此扭剪作用下螺栓群的最不利螺栓位置的判定较为复杂。根据现有文献的方法,需首先一一分析扭矩作用下最不利螺栓的位置,而后根据力的叠加找出最不利螺栓的位置和数量,这种方法费时且易出错。此外,对于螺栓拼接连接,当前的研究也未涉及到连接两侧最不利螺栓位置和数量的判定。

　　 本文通过分析纯扭、扭矩与单一剪力以及扭矩与双向剪力共同作用螺栓群最不利螺栓的位置,提出了扭剪作用下最不利螺栓位置的快速判定法(简称速判法),采用速判法判定了梁腹板螺栓拼接的情况下连接两侧的最不利螺栓的位置,为结构设计中快速判定最不利螺栓位置提供了参考。

　　 对于图1所示的承受顺时针扭矩T的并列布置螺栓群,假定所有螺栓的规格都相同。以螺栓群的形心为坐标原点,建立平面直角坐标系oxy,其中螺栓群的行和列分别与x轴、y轴平行。

　　 根据螺栓群的弹性分析可知,扭矩T、第i个螺栓的水平分力V^T_x,i和竖向分力V^T_y,i的关系为:

　　 $\begin{array}{l}{\rm T}={\displaystyle \sum (}V{}_{\text{x},i}^{\text{Τ}}y{}_i+V{}_{\text{y},i}^{\text{Τ}}x{}_i)(1)\\ V{}_{\text{x},i}^{\text{Τ}}=\frac{{\rm T}y{}_i}{{\displaystyle \sum (}x{}_i^2+y{}_i^2)}(2)\\ V{}_{\text{y},i}^{\text{Τ}}=\frac{{\rm T}x{}_i}{{\displaystyle \sum (}x{}_i^2+y{}_i^2)}(3)\end{array}$

　　 式中x_i和y_i分别为第i个螺栓的x向、y向的坐标。

　　 距离螺栓群形心最远的螺栓的受力最大,则图1中螺栓Ⅰ、螺栓Ⅱ、螺栓Ⅲ和螺栓Ⅳ在扭矩T作用下的最大分力V^T_x,max 和V^T_y,max的计算式分别为^[11]:

　　 $\begin{array}{l}V{}_{\text{x},\max }^{\text{Τ}}=\frac{{\rm T}y{}_{\max }}{{\displaystyle \sum (}x{}_i^2+y{}_i^2)}(4)\\ V{}_{\text{y},\max }^{\text{Τ}}=\frac{{\rm T}x{}_{\max }}{{\displaystyle \sum (}x{}_i^2+y{}_i^2)}(5)\end{array}$

　　 式中x_max和y_max分别为平面直角坐标系oxy中坐标x_i和y_i的最大值。

　　 扭矩作用下水平分力V^T_x,max和竖直分力V^T_y,max的方向分别如表1所示。

　　 当螺栓群在扭矩T和水平剪力V_x共同作用(图2(a))或扭矩T和竖向剪力V_y共同作用(图2(b))时,假定螺栓群的所有螺栓平均分担水平剪力V_x或竖向剪力V_y,则当水平剪力V_x的方向与V^T_x,max同向或竖向剪力V_y的方向与V^T_y,max同向时螺栓的受力最大,因此图2(a)中最不利螺栓为螺栓Ⅰ和螺栓Ⅱ,图2(b)中最不利螺栓为螺栓Ⅰ和螺栓Ⅳ。

　　 当螺栓群在扭矩T、水平剪力V_x和竖向剪力V_y共同作用时,只有水平剪力V_x的方向与V^T_x,max同向且竖向剪力V_y的方向与V^T_y,max同向时螺栓的受力才是最大的,因此可知图3中的螺栓Ⅰ是受力最大的螺栓。

　　 同样假定所有螺栓平均承受水平剪力V_x和竖向剪力V_y,则受力最大的螺栓Ⅰ在V_x和V_y作用下的剪力分别为^[11]:

　　 $\begin{array}{l}V{}_{\text{x}}^{\text{Ν}}=\frac{V{}_{\text{x}}}{n}(6)\\ V{}_{\text{y}}^{\text{V}}=\frac{V{}_{\text{y}}}{n}(7)\end{array}$

　　 式中n为螺栓的数量。

　　 按力的平行四边形合成法则可知,最不利螺栓的剪力V_max的计算式为:

　　 $V{}_{\max }=\sqrt{(V{}_{\text{x},\max }^{\text{Τ}}+V{}_{\text{x}}^{\text{Ν}}){}^2+(V{}_{\text{y},\max }^{\text{Τ}}+V{}_{\text{y}}^{\text{V}}){}^2}(8)$

　　 需要说明的是,采用式(4)～(8)计算的是最不利螺栓的内力,由于式(6)的V^N_x和式(7)的V^N_y仅给出了内力的大小,因此坐标x_max和y_max需均取正值。

　　 以上分析的最不利螺栓的位置与现有文献[13,14]的结果完全相同。然而,对于扭剪作用的螺栓群,由于扭矩T有顺时针和逆时针之分,竖向剪力V_y有向上和向下之分,水平剪力V_x有向左和向右之分,因此扭剪作用的螺栓群的荷载工况将出现8种(表2),与表2中工况1～8对应的最不利螺栓分别与图4(a)～(h)对应。尽管图4给出了扭剪作用的螺栓群的所有工况及各种工况下螺栓群的最不利螺栓位置,但在实际应用时仍需要通过对照表4的各种工况才能确定出最不利螺栓的位置。

　　 由于纯扭作用下并列布置螺栓群的最不利螺栓即4个角点处螺栓的水平分力和竖向分力绕螺栓群形心的方向与扭矩方向完全一致(图5),因此为方便应用,本文提出扭剪作用下最不利螺栓位置的速判法,即把正交的剪力V_x和V_y在并列布置螺栓群的角点螺栓处首尾相连且使得V_x和V_y绕螺栓群形心的方向与扭矩T的方向一致,则V_x和V_y相交处的螺栓为最不利螺栓。

　　 根据扭剪作用下最不利螺栓位置的速判法,分别重新判定图1～3最不利螺栓的位置和数量如下:

　　 (1)图1的螺栓群仅作用了顺时针扭矩T而无剪力V_x和V_y,则最不利螺栓在螺栓群的4个角点,数量为4。

　　 (2)图2(a)的螺栓群作用有顺时针扭矩T和水平向右的剪力V_x,由于满足剪力V_x绕螺栓群形心的方向为顺时针对应的螺栓Ⅰ和螺栓Ⅱ,则螺栓Ⅰ和螺栓Ⅱ为该连接的最不利螺栓;图2(b)的螺栓群作用有顺时针扭矩T和竖直向下的剪力V_y,由于满足剪力V_y绕螺栓群形心的方向为顺时针对应的螺栓Ⅰ和螺栓Ⅳ,则螺栓Ⅰ和螺栓Ⅳ为该连接的最不利螺栓。

　　 (3)图3的螺栓群同时作用有顺时针扭矩T、水平向右的剪力V_x和竖直向下的剪力V_y,由于满足V_x和V_y首尾相连且均绕螺栓群形心的方向为顺时针对应的螺栓Ⅰ,故该螺栓即为图3的最不利螺栓。

　　 显然,采用速判法判定的最不利螺栓的位置和数量与前述的结果完全一致,表明该方法简单易行且不易出错。需要说明的是,判定图3所示的螺栓群的最不利螺栓时,若按螺栓Ⅱ、螺栓Ⅲ、螺栓Ⅳ、螺栓Ⅰ的先后顺序进行判定,则共需分析4次才能确定最不利螺栓且容易出错;而按本文的速判法则一次就可以确定出最不利螺栓,因此至少可以节约判定时间75%。

　　 由以上判定结果也可发现,对于并列布置的普通螺栓群或高强度螺栓承压型连接螺栓群,仅有扭矩作用时螺栓群的最不利螺栓的数量为4;扭矩与单个剪力共同作用时螺栓群的最不利螺栓的数量为2;扭剪作用时螺栓群的最不利螺栓的数量为1。

　　 对于图6所示的螺栓拼接连接,连接左侧和连接右侧的螺栓群均由10个螺栓组成,其中连接左侧的螺栓群承受顺时针扭矩T、水平向右的轴心剪力V_x和竖直向上的偏心剪力V_y,而连接右侧的螺栓群承受逆时针扭矩T、水平向左的轴心剪力V_x和竖直向下的偏心剪力V_y。

　　 对于连接左侧的螺栓群,尽管其承受顺时针扭矩T,但由于偏心剪力V_y平移至其形心后将产生逆时针扭矩,因此当合扭矩T_L=T-V_ye_L为顺时针扭矩时,可由速判法判定出最不利螺栓为左下角的螺栓;而当合扭矩T_L=T-V_ye_L为拟时针扭矩时,可由速判法判定出最不利螺栓为右上角的螺栓(图6)。

　　 对于连接右侧的螺栓群,由于其承受逆时针扭矩T,且偏心剪力V_y平移至右侧螺栓群形心后也产生逆时针扭矩,则螺栓群的合扭矩为逆时针扭矩T_R=T + V_ye_R。由于剪力V_x和V_y首尾相连且使得V_x和V_y绕螺栓群形心的方向为逆时针对应的螺栓为左下角的螺栓,因此该螺栓即为连接右侧的最不利螺栓(图6)。

　　 由图6连接左右两侧最不利螺栓位置的判定可以发现,若连接两侧的合扭矩方向相反,则最不利螺栓的数量都为1,且位置完全相同,但内力不同;若连接两侧的合扭矩方向相同,则最不利螺栓的数量都为1,但位置和内力均不同。

　　 为验证速判法的有效性,分别取文献[13]第7.6节的算例和文献[14]第8.6节的算例和进行分析。

　　 文献[13]第7.6节的算例中拼接右侧螺栓群的行数为5,列数为2,螺栓群的顺时针扭矩T=48kN·m,水平向右的轴心剪力V_x=320kN,竖直向下的轴心剪力V_y=250kN。文献[14]第8.6节的算例中拼接左右侧螺栓群的行数均为5,列数均为2,且拼接处的扭矩T=49kN·m,水平轴心剪力V_x=300kN,竖向偏心剪力V_y=300kN且e_L=e_R=85mm(图6)。经计算可知连接左侧承受顺指针扭矩T_L=23.5kN·m,连接右侧承受逆时针扭矩T_R=74.5kN·m。

　　 根据文献[13]和文献[14]给出的x_i和y_i,计算得到各个螺栓的内力分别如表3和表4所示。

　　 由表3可知,文献[13]的算例中最不利螺栓的内力为76.73kN,其位于第1行第2列,与采用速判法判定的结果完全一致。由表4可知,文献[14]的算例中连接左侧螺栓群的最不利螺栓和连接右侧螺栓群的最不利螺栓的内力分别为70.60kN和135.66kN,且都位于第5行第1列,与采用速判法判定的结果也完全一致。由此可见,速判法的判断结果是准确的。

　　 (1)对于并列布置的普通螺栓群或高强度螺栓承压型连接螺栓群,仅有扭矩作用时螺栓群的最不利螺栓的数量为4;扭矩与单个剪力共同作用时螺栓群的最不利螺栓的数量为2;扭矩与双向剪力共同作用时螺栓群的最不利螺栓的数量为1。

　　 (2)本文提出的扭剪作用下最不利螺栓位置的速判法简单且易于操作,最多可节约判定时间75%。

　　 (3)梁腹板拼接连接的螺栓群在扭剪作用下,若连接两侧的合扭矩方向相反,则最不利螺栓的数量都为1,且位置完全相同,但内力不同;若连接两侧的合扭矩方向相同,则最不利螺栓的数量都为1,但位置和内力均不同。